Vstupní úroveň

Geometrická progrese. Komplexní průvodce s příklady (2019)

Posloupnost čísel

Tak si sedneme a začneme psát nějaká čísla. Například:

Můžete napsat libovolná čísla a může jich být tolik, kolik chcete (v našem případě jich je). Bez ohledu na to, kolik čísel napíšeme, vždy můžeme říci, které je první, které druhé a tak dále až do posledního, to znamená, že je můžeme očíslovat. Toto je příklad číselné řady:

Posloupnost čísel je sada čísel, z nichž každému lze přiřadit jedinečné číslo.

Například pro naši sekvenci:

Přiřazené číslo je specifické pouze pro jedno číslo v sekvenci. Jinými slovy, v pořadí nejsou žádná tři sekundová čísla. Druhé číslo (stejně jako th číslo) je vždy stejné.

Číslo s číslem se nazývá n-tý člen posloupnosti.

Obvykle nazýváme celou posloupnost nějakým písmenem (například) a každý člen této posloupnosti je stejné písmeno s indexem rovným číslu tohoto členu: .

V našem případě:

Nejběžnější typy progrese jsou aritmetické a geometrické. V tomto tématu budeme hovořit o druhém typu - geometrická progrese.

Proč je potřeba geometrická progrese a její historie?

Už ve starověku se italský matematik mnich Leonardo z Pisy (známější jako Fibonacci) zabýval praktickými potřebami obchodu. Mnich stál před úkolem určit, jaký nejmenší počet závaží lze použít k vážení produktu? Fibonacci ve svých dílech dokazuje, že takový systém vah je optimální: Toto je jedna z prvních situací, kdy se lidé museli vypořádat s geometrickou progresí, o které jste již pravděpodobně slyšeli a máte ji minimálně obecný koncept. Jakmile plně pochopíte téma, zamyslete se nad tím, proč je takový systém optimální?

V současné době se v životní praxi projevuje geometrická progrese při investování peněz do banky, kdy se výše úroku připisuje k částce nastřádané na účtu za předchozí období. Jinými slovy, pokud dáte peníze na termínovaný vklad do spořitelny, tak po roce se vklad navýší o původní částku, tzn. nová částka se bude rovnat příspěvku vynásobenému. V dalším roce se tato částka zvýší o, tzn. částka získaná v té době bude opět vynásobena a tak dále. Podobná situace popsané v úlohách pro výpočet tzv složený úrok- procento se bere pokaždé z částky, která je na účtu, s přihlédnutím k předchozímu úroku. O těchto úkolech si povíme trochu později.

Je jich mnohem víc jednoduché případy, kde se uplatňuje geometrická progrese. Například šíření chřipky: jeden člověk nakazil druhého člověka, ten zase nakazil dalšího člověka, a tak druhá vlna nákazy je člověk a ten zase nakazil dalšího... a tak dále... .

Mimochodem, finanční pyramida, stejný MMM, je jednoduchý a suchý výpočet založený na vlastnostech geometrické progrese. Zajímavý? Pojďme na to přijít.

Geometrická progrese.

Řekněme, že máme číselnou řadu:

Ihned odpovíte, že je to snadné a název takové posloupnosti je aritmetickým postupem s rozdílem jejích členů. Co třeba tohle:

Pokud odečtete předchozí od dalšího čísla, uvidíte, že pokaždé dostanete nový rozdíl (a tak dále), ale posloupnost rozhodně existuje a je snadné si ji všimnout – každé následující číslo je krát větší než to předchozí!

Tento typ číselné řady se nazývá geometrická progrese a je určeno.

Geometrická posloupnost () je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti.

Omezení, že první člen ( ) není stejný a nejsou náhodná. Předpokládejme, že tam nejsou a první člen je stále stejný a q se rovná, hmm.. nechme to být, pak to dopadne:

Souhlaste, že toto již není progrese.

Jak jste pochopili, dostaneme stejné výsledky, pokud existuje jiné číslo než nula, a. V těchto případech jednoduše nedojde k žádné progresi, protože celá číselná řada bude buď všechny nuly, nebo jedno číslo a všechny ostatní budou nuly.

Nyní si povíme podrobněji o jmenovateli geometrické posloupnosti, tedy o.

Opakujeme: - toto je číslo kolikrát se každý následující termín změní? geometrická progrese.

Co by to podle vás mohlo být? To je pravda, pozitivní a negativní, ale ne nula (o tom jsme mluvili trochu výše).

Předpokládejme, že ten náš je pozitivní. Nechť v našem případě a. Jakou hodnotu má druhý termín a? Na to můžete snadno odpovědět:

je to tak. Pokud tedy, pak všechny následující podmínky progrese mají stejné znaménko - oni jsou pozitivní.

Co když je negativní? Například a. Jakou hodnotu má druhý termín a?

To je úplně jiný příběh

Zkuste si spočítat podmínky tohoto postupu. kolik jsi dostal? mám. Pokud tedy, pak se znaménka členů geometrické posloupnosti střídají. To znamená, že pokud vidíte progresi se střídajícími se znaky u jejích členů, pak je její jmenovatel záporný. Tyto znalosti vám mohou pomoci otestovat se při řešení problémů na toto téma.

Nyní si trochu procvičíme: zkuste určit, které číselné řady jsou geometrickou posloupností a které aritmetickou posloupností:

rozumíš? Porovnejme naše odpovědi:

• Geometrická progrese - 3, 6.
• Aritmetický postup - 2, 4.
• Není to ani aritmetika, ani geometrický postup - 1, 5, 7.

Vraťme se k našemu poslednímu postupu a pokusme se najít jeho termín, stejně jako v aritmetice. Jak už asi tušíte, existují dva způsoby, jak ho najít.

Každý výraz postupně násobíme.

Tedy, tý člen popsané geometrické posloupnosti je roven.

Jak jste již uhodli, nyní sami odvodíte vzorec, který vám pomůže najít jakýkoli člen geometrické posloupnosti. Nebo jste jej již vyvinuli pro sebe a popisujete, jak krok za krokem najít th člen? Pokud ano, zkontrolujte správnost své úvahy.

Ukažme si to na příkladu nalezení druhého členu této progrese:

Jinými slovy:

Zjistěte si sami hodnotu členu dané geometrické posloupnosti.

Fungovalo to? Porovnejme naše odpovědi:

Vezměte prosím na vědomí, že jste dostali přesně stejné číslo jako v předchozí metodě, když jsme postupně násobili každým předchozím členem geometrické posloupnosti.
Pokusme se tento vzorec „odosobnit“ – dáme to v obecné podobě a dostaneme:

Odvozený vzorec platí pro všechny hodnoty – kladné i záporné. Ověřte si to sami výpočtem členů geometrické posloupnosti s následujícími podmínkami: ,a.

Počítal jsi? Porovnejme výsledky:

Souhlaste s tím, že by bylo možné najít termín progrese stejným způsobem jako termín, existuje však možnost nesprávného výpočtu. A pokud jsme již našli tý člen geometrické posloupnosti, co by mohlo být jednodušší než použít „zkrácenou“ část vzorce.

Nekonečně klesající geometrický postup.

Zrovna nedávno jsme se bavili o tom, že by mohlo být jak více, tak méně než nula existují však speciální hodnoty, pro které se nazývá geometrická progrese nekonečně klesající.

Proč si myslíte, že je toto jméno uvedeno?
Nejprve si zapišme nějakou geometrickou posloupnost skládající se z členů.
Řekněme tedy:

Vidíme, že každý následující člen je o faktor menší než ten předchozí, ale bude tam nějaké číslo? Okamžitě odpovíte - "ne". Proto nekonečně klesá – klesá a klesá, ale nikdy se nestane nulou.

Abychom jasně pochopili, jak to vypadá vizuálně, zkusme nakreslit graf našeho postupu. Takže pro náš případ má vzorec následující formu:

Na grafech jsme zvyklí vykreslovat závislost na:

Podstata výrazu se nezměnila: v prvním vstupu jsme ukázali závislost hodnoty člena geometrické posloupnosti na jeho pořadovém čísle a ve druhém vstupu jsme prostě vzali hodnotu člena geometrické posloupnosti jako , a označil pořadové číslo nikoli jako, ale jako. Zbývá už jen sestavit graf.
Podívejme se, co máš. Zde je graf, který jsem vymyslel:

vidíš? Funkce klesá, má tendenci k nule, ale nikdy ji nekříží, takže nekonečně klesá. Vyznačme si na grafu naše body a zároveň, co souřadnice a znamená:

Pokuste se schematicky znázornit graf geometrické progrese, pokud je její první člen také stejný. Analyzujte, jaký je rozdíl od našeho předchozího grafu?

Zvládli jste to? Zde je graf, který jsem vymyslel:

Nyní, když jste plně pochopili základy tématu geometrické posloupnosti: víte, co to je, víte, jak najít její termín, a také víte, co je to nekonečně klesající geometrická posloupnost, přejděme k její hlavní vlastnosti.

Vlastnost geometrické posloupnosti.

Pamatujete si na vlastnost členů aritmetické posloupnosti? Ano, ano, jak najít hodnotu určitého počtu progrese, když existují předchozí a následující hodnoty podmínek této progrese. pamatuješ? Tady to je:

Nyní stojíme před úplně stejnou otázkou ohledně podmínek geometrické posloupnosti. Abychom odvodili takový vzorec, začněme kreslit a uvažovat. Uvidíte, je to velmi snadné, a pokud zapomenete, můžete to dostat sami.

Vezměme si další jednoduchý geometrický postup, ve kterém známe a. Jak najít? S aritmetickým postupem je to snadné a jednoduché, ale co tady? Ve skutečnosti ani v geometrickém není nic složitého - stačí zapsat každou nám zadanou hodnotu podle vzorce.

Můžete se ptát, co s tím teď máme dělat? Ano, velmi jednoduché. Nejprve si tyto vzorce znázornime na obrázku a zkusme s nimi různé manipulace, abychom došli k hodnotě.

Abstrahujme od čísel, která jsou nám dána, zaměřme se pouze na jejich vyjádření prostřednictvím vzorce. Potřebujeme najít hodnotu zvýrazněnou oranžově a znát pojmy, které s ní sousedí. Zkusme s nimi vyrábět různé akce, v důsledku čehož můžeme získat.

Přidání.
Zkusme přidat dva výrazy a dostaneme:

Z tohoto výrazu to, jak vidíte, nemůžeme nijak vyjádřit, proto zkusíme jinou možnost - odčítání.

Odčítání.

Jak vidíte, ani to neumíme vyjádřit, proto zkusme tyto výrazy mezi sebou znásobit.

Násobení.

Nyní se pečlivě podívejte na to, co máme, vynásobením členů geometrické progrese, které nám byly dány, ve srovnání s tím, co je třeba najít:

Hádejte, o čem mluvím? To je pravda, abychom zjistili, že musíme vzít odmocnina z čísel geometrické posloupnosti sousedících s požadovaným násobeným navzájem:

Tady to máš. Sám jste odvodil vlastnost geometrické progrese. Zkuste napsat tento vzorec celkový pohled. Fungovalo to?

Zapomněli jste na podmínku? Zamyslete se nad tím, proč je to důležité, zkuste si to například spočítat sami. Co se stane v tomto případě? To je pravda, úplný nesmysl, protože vzorec vypadá takto:

Proto na toto omezení nezapomeňte.

Nyní spočítejme, čemu se rovná

Správná odpověď je! Pokud jste při výpočtu nezapomněli na tu druhou možný význam, tak jste skvělí a můžete rovnou přejít na trénink, a pokud jste zapomněli, přečtěte si, o čem je řeč níže, a věnujte pozornost tomu, proč je nutné do odpovědi zapisovat oba kořeny.

Nakreslete obě naše geometrické posloupnosti – jednu s hodnotou a druhou s hodnotou a zkontrolujeme, zda obě mají právo na existenci:

Abychom mohli ověřit, zda taková geometrická posloupnost existuje nebo ne, je nutné zjistit, zda jsou všechny její dané členy stejné? Vypočítejte q pro první a druhý případ.

Vidíte, proč musíme napsat dvě odpovědi? Protože znaménko výrazu, který hledáte, závisí na tom, zda je pozitivní nebo negativní! A protože nevíme, co to je, musíme napsat obě odpovědi s plusem a mínusem.

Nyní, když jste zvládli hlavní body a odvodili vzorec pro vlastnost geometrického postupu, najděte, znáte a

Porovnejte své odpovědi se správnými:

Co si myslíte, co kdybychom nedostali hodnoty členů geometrické progrese sousedící s požadovaným číslem, ale ve stejné vzdálenosti od něj. Například potřebujeme najít, a dané a. Můžeme v tomto případě použít vzorec, který jsme odvodili? Pokuste se potvrdit nebo vyvrátit tuto možnost stejným způsobem a popsat, z čeho se každá hodnota skládá, jako jste to udělali, když jste vzorec původně odvodili, at.
co jsi dostal?

Nyní se znovu pozorně podívejte.
a podle toho:

Z toho můžeme usoudit, že vzorec funguje nejen se sousedy s požadovanými podmínkami geometrického postupu, ale také s stejně vzdálený z toho, co členové hledají.

Náš počáteční vzorec má tedy tvar:

To znamená, že pokud jsme to řekli v prvním případě, teď říkáme, že se to může rovnat jakémukoli přirozené číslo, která je menší. Hlavní je, že je to stejné pro obě daná čísla.

Cvičte dál konkrétní příklady, jen buďte velmi opatrní!

1. , . Nalézt.
2. , . Nalézt.
3. , . Nalézt.

Rozhodnuto? Doufám, že jste byli extrémně pozorní a všimli jste si malého úlovku.

Porovnejme výsledky.

V prvních dvou případech klidně použijeme výše uvedený vzorec a získáme následující hodnoty:

Ve třetím případě, když pečlivě prozkoumáme sériová čísla čísel, která nám byla poskytnuta, pochopíme, že nejsou stejně vzdálená od čísla, které hledáme: je to předchozí číslo, ale je odstraněno na pozici, takže je není možné vzorec použít.

jak to vyřešit? Ve skutečnosti to není tak těžké, jak se zdá! Zapišme si, z čeho se každé dané číslo a číslo, které hledáme, skládá.

Takže máme a. Podívejme se, co s nimi můžeme dělat? Navrhuji rozdělit podle. Dostáváme:

Naše data dosadíme do vzorce:

Dalším krokem, který můžeme najít, je - k tomu potřebujeme vzít třetí odmocninu výsledného čísla.

Nyní se znovu podíváme na to, co máme. Máme to, ale musíme to najít, a to se zase rovná:

Našli jsme všechny potřebné údaje pro výpočet. Dosaďte do vzorce:

Naše odpověď: .

Zkuste sami vyřešit jiný podobný problém:
Vzhledem k tomu: ,
Nalézt:

kolik jsi dostal? Mám -.

Jak vidíte, v podstatě potřebujete zapamatujte si pouze jeden vzorec- Veškerý zbytek si můžete bez problémů kdykoliv sami stáhnout. Chcete-li to provést, jednoduše napište nejjednodušší geometrickou posloupnost na kus papíru a zapište, čemu se každé z jejích čísel rovná, podle vzorce popsaného výše.

Součet členů geometrické posloupnosti.

Nyní se podívejme na vzorce, které nám umožňují rychle vypočítat součet členů geometrické posloupnosti v daném intervalu:

Chcete-li odvodit vzorec pro součet členů konečné geometrické posloupnosti, vynásobte všechny části výše uvedené rovnice číslem. Dostáváme:

Podívejte se pozorně: co mají poslední dva vzorce společného? Přesně tak, třeba společní členové a tak dále, kromě prvního a posledního člena. Zkusme odečíst 1. od 2. rovnice. co jsi dostal?

Nyní vyjádřete člen geometrické posloupnosti vzorcem a dosaďte výsledný výraz do našeho posledního vzorce:

Seskupte výraz. Měli byste dostat:

Zbývá pouze vyjádřit:

V souladu s tím v tomto případě.

co když? Jaký vzorec tedy funguje? Představte si geometrickou progresi v. jaká je? Řada identických čísel je správná, takže vzorec bude vypadat takto:

Existuje mnoho legend o aritmetickém i geometrickém postupu. Jednou z nich je legenda o Setovi, tvůrci šachů.

Mnoho lidí ví, že šachová hra byla vynalezena v Indii. Když se s ní hinduistický král setkal, byl potěšen jejím vtipem a rozmanitostí možných pozic v ní. Když se král dozvěděl, že jej vynalezl jeden z jeho poddaných, rozhodl se ho osobně odměnit. Zavolal k sobě vynálezce a nařídil mu, aby ho požádal o vše, co chce, a slíbil, že splní i tu nejšikovnější touhu.

Seta požádal o čas na rozmyšlenou, a když následujícího dne Seta předstoupil před krále, překvapil krále nebývalou skromností své žádosti. Požádal, aby to předal jako první celu šachovnice pšeničné zrno, za druhé pšeničné zrno, za třetí, za čtvrté atd.

Král se rozzlobil a zahnal Setha s tím, že žádost služebníka není hodná královy štědrosti, ale slíbil, že služebník dostane své obilí za všechna políčka na desce.

A nyní otázka: pomocí vzorce pro součet členů geometrické progrese spočítejte, kolik zrn by měl Seth dostat?

Začněme uvažovat. Vzhledem k tomu, že podle podmínky Seth požádal o zrnko pšenice za první pole šachovnice, za druhé, za třetí, za čtvrté atd., pak vidíme, že v problému mluvíme o tom o geometrickém postupu. Čemu se to v tomto případě rovná?
Právo.

Celkový počet polí na šachovnici. Respektive, . Všechny údaje máme, zbývá je zapojit do vzorce a počítat.

Představit si alespoň přibližně „měřítko“ dané číslo, transformujte pomocí vlastností stupně:

Samozřejmě, pokud chcete, můžete si vzít kalkulačku a vypočítat, na jakém čísle skončíte, a pokud ne, budete muset vzít na mé slovo: konečná hodnota výrazu bude.
to je:

kvintilion kvadrilion bilion miliard milionů milionů tisíc.

Fuj) Pokud si chcete představit ohromné ​​množství tohoto čísla, pak odhadněte, jak velká by byla potřeba stodola, aby se do ní vešlo celé množství obilí.
Je-li stodola m vysoká a m široká, musela by její délka sahat na km, tzn. dvakrát tak daleko než od Země ke Slunci.

Kdyby byl král silný v matematice, mohl k počítání zrn přizvat samotného vědce, protože k počítání milionu zrnek by potřeboval alespoň den neúnavného počítání a vzhledem k tomu, že je nutné počítat kvintiliony, zrna bude muset být počítána po celý jeho život.

Nyní vyřešme jednoduchý problém zahrnující součet členů geometrické posloupnosti.
Student třídy 5A Vasya onemocněl chřipkou, ale nadále chodí do školy. Každý den Vasja nakazí dva lidi, kteří zase nakazí další dva lidi a tak dále. Ve třídě jsou jen lidé. Za kolik dní bude celá třída nemocná chřipkou?

Takže prvním termínem geometrické progrese je Vasja, tedy osoba. Termínem geometrické progrese jsou dva lidé, které nakazil první den svého příjezdu. Celkový součet postupových termínů je roven počtu studentů 5A. V souladu s tím hovoříme o progresi, ve které:

Dosadíme naše data do vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti:

Během několika dní onemocní celá třída. Nevěříte vzorcům a číslům? Pokuste se vykreslit „infekci“ studentů sami. Fungovalo to? Podívejte se, jak to u mě vypadá:

Spočítejte si, kolik dní by trvalo, než by studenti onemocněli chřipkou, kdyby každý nakazil jednoho člověka a ve třídě by byl pouze jeden člověk.

Jakou hodnotu jste získali? Ukázalo se, že všem začalo být po dni špatně.

Jak vidíte, takový úkol a jeho kresba připomínají pyramidu, ve které každý následující „přináší“ nové lidi. Dříve nebo později však přijde okamžik, kdy ten druhý nemůže nikoho přitáhnout. V našem případě, pokud si představíme, že třída je izolovaná, osoba z uzavře řetězec (). Pokud by tedy byla osoba zapojena do finanční pyramidy, ve které byly dány peníze, pokud byste přivedli dva další účastníky, pak by tato osoba (nebo obecně) nikoho nepřivedla, v souladu s tím by ztratila vše, co investovala do tohoto finančního podvodu.

Vše, co bylo řečeno výše, se týká klesajícího nebo rostoucího geometrického postupu, ale jak si vzpomínáte, máme speciální typ - nekonečně klesající geometrický postup. Jak vypočítat součet jejích členů? A proč má tento typ progrese určité vlastnosti? Pojďme na to společně přijít.

Nejprve se tedy znovu podívejme na tento výkres nekonečně klesající geometrické posloupnosti z našeho příkladu:

Nyní se podívejme na vzorec pro součet geometrické posloupnosti, odvozený o něco dříve:
nebo

O co usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, že má tendenci k nule. To znamená, že se bude téměř rovnat, respektive při výpočtu výrazu dostaneme téměř. V tomto ohledu se domníváme, že při výpočtu součtu nekonečně klesající geometrické posloupnosti lze tuto závorku zanedbat, protože se bude rovnat.

- vzorec je součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti.

DŮLEŽITÉ! Vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti použijeme pouze v případě, že podmínka výslovně stanoví, že potřebujeme najít součet nekonečný počet členů.

Pokud je zadáno konkrétní číslo n, pak použijeme vzorec pro součet n členů, i když nebo.

Teď pojďme cvičit.

1. Najděte součet prvních členů geometrické posloupnosti s a.
2. Najděte součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti s a.

Doufám, že jste byli velmi opatrní. Porovnejme naše odpovědi:

Nyní víte vše o geometrickém postupu a je čas přejít od teorie k praxi. Nejčastějšími geometrickými problémy, se kterými se při zkoušce setkáváme, jsou problémy s výpočtem složeného úroku. To jsou ti, o kterých budeme mluvit.

Problémy při výpočtu složeného úroku.

Pravděpodobně jste již slyšeli o takzvaném složeném úrokovém vzorci. Chápete, co to znamená? Pokud ne, pojďme na to přijít, protože jakmile pochopíte samotný proces, okamžitě pochopíte, co s tím má společného geometrická progrese.

Všichni jdeme do banky a víme, že existují různé podmínky na vklady: to je termín a doplňková služba a úrok se dvěma různými způsoby jeho výpočty - jednoduché a složité.

S jednoduchý zájem vše je víceméně jasné: úrok se připisuje jednou na konci doby vkladu. To znamená, že pokud řekneme, že vložíme 100 rublů na rok, budou připsány až na konci roku. V souladu s tím na konci vkladu obdržíme rubly.

Složené úročení- toto je možnost, ve které se vyskytuje úroková kapitalizace, tj. jejich přičtení k výši vkladu a následný výpočet příjmu nikoli z počáteční, ale z naakumulované částky vkladu. Velká písmena se nevyskytují neustále, ale s určitou frekvencí. Zpravidla jsou tato období stejná a banky nejčastěji používají měsíc, čtvrtletí nebo rok.

Předpokládejme, že ukládáme stejné rubly ročně, ale s měsíční kapitalizací vkladu. co děláme?

Rozumíš tady všemu? Pokud ne, pojďme na to přijít krok za krokem.

Přinesli jsme rubly do banky. Do konce měsíce bychom měli mít na účtu částku skládající se z našich rublů plus úroky z nich, tedy:

souhlasit?

Můžeme to vyjmout ze závorek a pak dostaneme:

Souhlas, tento vzorec je již více podobný tomu, co jsme napsali na začátku. Zbývá jen vypočítat procenta

V prohlášení o problému jsme informováni o ročních sazbách. Jak víte, nenásobíme - převádíme procenta na desetinné zlomky, to znamená:

Právo? Nyní se můžete ptát, kde se to číslo vzalo? Velmi jednoduché!
Opakuji: prohlášení o problému říká o VÝROČNÍúrok, který narůstá MĚSÍČNÍ. Jak víte, za rok měsíců nám banka bude účtovat část ročního úroku za měsíc:

Uvědomil si to? Zkuste teď napsat, jak by tato část vzorce vypadala, kdybych řekl, že úrok se počítá denně.
Zvládli jste to? Porovnejme výsledky:

Dobrá práce! Vraťme se k našemu úkolu: napište, kolik bude připsáno na náš účet ve druhém měsíci, s přihlédnutím k tomu, že z nahromaděné částky vkladu se připisuje úrok.
Zde je to, co jsem dostal:

Nebo, jinými slovy:

Myslím, že jste si již všimli vzoru a viděli jste v tom všem geometrický pokrok. Napište, čemu se bude jeho člen rovnat, nebo jinými slovy, jakou částku peněz na konci měsíce obdržíme.
Ano? Pojďme zkontrolovat!

Jak vidíte, pokud vložíte peníze do banky na rok za jednoduchou úrokovou sazbu, dostanete rubly, a pokud za složenou úrokovou sazbu, dostanete rubly. Přínos je malý, ale to se děje pouze v průběhu roku, ale déle dlouhé období kapitalizace je mnohem výnosnější:

Podívejme se na jiný typ problému zahrnující složené úročení. Po tom, co jste přišli na to, to pro vás bude elementární. Takže úkol:

Společnost Zvezda začala do tohoto odvětví investovat v roce 2000 s kapitálem v dolarech. Od roku 2001 má každý rok zisk, který se rovná kapitálu předchozího roku. Jaký zisk získá společnost Zvezda na konci roku 2003, pokud by zisky nebyly staženy z oběhu?

Kapitál společnosti Zvezda v roce 2000.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2001.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2002.
- kapitál společnosti Zvezda v roce 2003.

Nebo můžeme stručně napsat:

Pro náš případ:

2000, 2001, 2002 a 2003.

Respektive:
rublů
Vezměte prosím na vědomí, že v tomto problému nemáme dělení ani podle, ani podle, protože procento se udává ROČNĚ a počítá se ROČNĚ. To znamená, že při čtení problému o složeném úročení věnujte pozornost tomu, jaké procento je uvedeno a v jakém období se počítá, a teprve poté přejděte k výpočtům.
Nyní víte vše o geometrickém postupu.

Výcvik.

1. Najděte člen geometrické posloupnosti, pokud je známo, že a
2. Najděte součet prvních členů geometrické posloupnosti, pokud je známo, že a
3. Společnost MDM Capital začala do tohoto odvětví investovat v roce 2003 s kapitálem v dolarech. Od roku 2004 má každý rok zisk, který se rovná kapitálu předchozího roku. Společnost MSK Cash Flows začala do odvětví investovat v roce 2005 ve výši 10 000 USD, zisk začala dosahovat v roce 2006 ve výši. O kolik dolarů je na konci roku 2007 kapitál jedné společnosti větší než druhé, pokud by zisky nebyly staženy z oběhu?

Odpovědi:

1. Protože zadání problému neříká, že posloupnost je nekonečná a je třeba najít součet určitého počtu jejích členů, výpočet se provede podle vzorce:
2. 
   Společnost MDM Capital:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - se zvýší o 100 %, tedy 2krát.
   Respektive:
   rublů
   Společnost MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - zvyšuje o, tedy o časy.
   Respektive:
   rublů
   rublů

Pojďme si to shrnout.

1) Geometrická posloupnost ( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti.

2) Rovnice členů geometrické posloupnosti je .

3) může nabývat jakýchkoli hodnot kromě a.

• jestliže, pak všechny následující členy progrese mají stejné znaménko - oni jsou pozitivní;
• pokud, pak všechny následující podmínky progrese alternativní znamení;
• když - progrese se nazývá nekonečně klesající.

4) , s - vlastnost geometrické posloupnosti (sousední členy)

nebo
, v (ekvidistantní termíny)

Až to najdete, nezapomeňte na to měly by existovat dvě odpovědi.

Například,

5) Součet členů geometrické posloupnosti se vypočte podle vzorce:
nebo

Pokud se progrese nekonečně snižuje, pak:
nebo

DŮLEŽITÉ! Vzorec pro součet členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti použijeme pouze v případě, že podmínka výslovně stanoví, že potřebujeme najít součet nekonečného počtu členů.

6) Problémy týkající se složeného úročení jsou také vypočteny pomocí vzorce pro tý člen geometrické posloupnosti, za předpokladu, že hotovost nebyly staženy z oběhu:

GEOMETRICKÝ PROGRESE. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH

Geometrická progrese( ) je číselná posloupnost, jejíž první člen je odlišný od nuly a každý člen, počínaje druhým, je roven předchozímu, vynásobený stejným číslem. Toto číslo se volá jmenovatel geometrické posloupnosti.

Jmenovatel geometrické posloupnosti může mít jakoukoli hodnotu kromě a.

• Jestliže pak všechny následující členy progrese mají stejné znaménko - jsou kladné;
• jestliže, pak všechny následující členy progrese se střídají;
• když - progrese se nazývá nekonečně klesající.

Rovnice členů geometrické posloupnosti - .

Součet členů geometrické posloupnosti vypočítá se podle vzorce:
nebo

Geometrická progrese je nenulová číselná posloupnost vytvořená jako výsledek vynásobení každého následujícího členu daným koeficientem, který se nerovná nule.

Sekvenování

Než porozumíte progresi, měli byste porozumět definici číselné posloupnosti a zákonu, který ji řídí. Vzpomeňme na přirozenou řadu – první číselnou řadu, kterou zpětně studujeme mateřská škola. Jedná se o celá čísla používaná k počítání položek. Začátek vypadá takto:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10... n

Pokud každé číslo přírodní série spárovat jiné číslo vytvořené podle určitého vzorce, dostaneme novou sekvenci:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 ... an

Číslo - společný člen posloupnosti a zákon, který tvoří prvky řady. Je zřejmé, že vzorec pro specifikaci přirozené řady je jednoduše n. Pro posloupnost sudých čísel je každý prvek a společný člen dán vzorcem 2n a pro lichá čísla - 2n − 1.

Aritmetické a geometrické posloupnosti

Dalším příkladem práce geometrické progrese je epidemické šíření chřipky. Například jeden pacient může nakazit 12 lidí denně, každý z 12 také nakazí dalších 12 lidí, takže druhý den bude 144 pacientů, třetí - 1 728 a čtvrtý - 20 736.

Náš program generuje geometrický průběh zvolené hodnoty. Chcete-li to provést, budete muset zadat hodnotu prvního termínu do buňky „První číslo“, jmenovatel progrese do buňky „Rozdíl (krok)“ a počet prvků sekvence do pole „Poslední číslo“. Poté program poskytne čísla, která odpovídají zákonu geometrické progrese.

Podívejme se na příklad

Hra o peníze poštou

Během sovětské éry došlo k podvodu založenému na principu geometrické progrese. Podstata podvodu je následující. Lidé dostali dopisy s 5 adresami a pokyny:

• poslat na adresy za 1 rubl;
• přeškrtněte první adresu a jako pátou zadejte svou;
• posílejte zvací dopisy s uvedenými adresami svým přátelům a známým.

Dobrodruzi poskytli logické vysvětlení mechanismu obohacování. Pokud lidé, které pozvete, pošlou každý 1 rubl, vrátíte vynaložené peníze. Pět pozvaných účastníků hry pošle svým přátelům dopisy, ve kterých je vaše adresa označena jako číslo 4. Počet takových dopisů je již 25 a další vlna pozvaných vám pošle celkem 25 rublů. Poté bude 25 lidem zasláno 5 dopisů, kde vaše adresa je třetí, a to je již 125 obálek po 1 rublu.

Kolik peněz slíbili podvodníci na konci kola pozvánek? Odpověď spočívá v jednoduché geometrické progresi. Podle jejich verze bude 5 vln pozvánek s vaší adresou. Protože nebereme v úvahu jedno, ale začínáme 5 písmeny, tak poslední číslo naše se bude rovnat 6. První je přirozeně 1. Krok našeho geometrického postupu je 5. Tyto údaje zadáme do buněk kalkulačky a získáme posloupnost:

1, 5, 25, 125, 625, 3125,

součet prvků sekvence je 3906. Byl to zisk 3906 rublů, který podvodníci slíbili důvěřivým občanům. V praxi samozřejmě všechny peníze šly organizátorům hry, protože v prvním kroku podvodníci neposlali jeden dopis, ale stovky, ve kterých byly uvedeny jejich vlastní adresy. I když v prvním kroku podvodníci pošlou jen 200 dopisů, pak by se v pátém kroku mělo do hry zapojit 625 000 lidí a organizátoři od nich dostanou více než 700 000 rublů. Další kroky již nemají smysl.

Závěr

Geometrická progrese se často vyskytuje ve skutečnosti. Využijte náš katalog kalkulaček k řešení zajímavých problémů nebo k testování vzdělávacích příkladů.

Geometrická progrese neméně důležité v matematice ve srovnání s aritmetikou. Geometrická posloupnost je posloupnost čísel b1, b2,..., b[n], z nichž každý další člen získáme vynásobením předchozího konstantní číslo. Toto číslo, které také charakterizuje rychlost růstu nebo poklesu progrese, se nazývá jmenovatel geometrické progrese a označují

Pro kompletní specifikaci geometrické posloupnosti je kromě jmenovatele nutné znát nebo určit její první člen. Pro kladná hodnota progrese jmenovatele je monotónní posloupnost, a pokud tato posloupnost čísel monotónně klesá a pokud monotónně stoupá. Případ, kdy je jmenovatel roven jedné, se v praxi neuvažuje, protože máme posloupnost stejných čísel a jejich sčítání není prakticky zajímavé.

Obecný pojem geometrické posloupnosti vypočítané podle vzorce

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti určeno vzorcem

Podívejme se na řešení klasických úloh geometrického postupu. Začněme těmi nejjednoduššími k pochopení.

Příklad 1. První člen geometrické posloupnosti je 27 a její jmenovatel je 1/3. Najděte prvních šest členů geometrické posloupnosti.

Řešení: Zapišme problémový stav do formuláře

Pro výpočty používáme vzorec pro n-tý člen geometrické posloupnosti

Na základě toho najdeme neznámé podmínky progrese

Jak vidíte, vypočítat členy geometrické posloupnosti není obtížné. Samotný průběh bude vypadat takto

Příklad 2. Jsou uvedeny první tři členy geometrické posloupnosti: 6; -12; 24. Najděte jmenovatele a jeho sedmý člen.

Řešení: Vypočítáme jmenovatele geomitrické posloupnosti na základě jeho definice

Získali jsme střídavou geometrickou posloupnost, jejíž jmenovatel je roven -2. Sedmý člen se vypočítá pomocí vzorce

Tím je problém vyřešen.

Příklad 3. Geometrická posloupnost je dána dvěma jejími členy . Najděte desátý termín postupu.

Řešení:

Zapišme dané hodnoty pomocí vzorců

Podle pravidel by bylo potřeba najít jmenovatele a pak hledat požadovanou hodnotu, ale už desáté volební období máme

Stejný vzorec lze získat na základě jednoduchých manipulací se vstupními daty. Vydělte šestý termín série dalším a jako výsledek dostaneme

Pokud se výsledná hodnota vynásobí šestým členem, dostaneme desátý

Tedy pro takové úkoly pomocí jednoduchých transformací na rychlý způsob můžete najít správné řešení.

Příklad 4. Geometrická posloupnost je dána opakujícími se vzorci

Najděte jmenovatele geometrické posloupnosti a součet prvních šesti členů.

Řešení:

Dané údaje zapišme ve formě soustavy rovnic

Vyjádřete jmenovatele vydělením druhé rovnice první

Pojďme najít první člen průběhu z první rovnice

Vypočítejme následujících pět členů, abychom našli součet geometrické posloupnosti