Druhá odmocnina ze 4 stupňů. Vzorce mocnin a odmocnin

Vzorce stupňů používá se v procesu redukce a zjednodušování složitých výrazů, při řešení rovnic a nerovnic.

Číslo C je n-tá mocnina čísla A Když:

Operace se stupni.

1. Vynásobením stupňů se stejným základem se jejich ukazatele sečtou:

a m·a n = a m + n .

2. Při dělení stupňů se stejným základem se jejich exponenty odečítají:

3. Stupeň součinu 2 nebo více faktorů se rovná součinu stupňů těchto faktorů:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stupeň zlomku se rovná poměru stupňů dividendy a dělitele:

(a/b) n = an/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu se exponenty vynásobí:

(a m) n = a m n .

Každý výše uvedený vzorec platí ve směru zleva doprava a naopak.

Například. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operace s kořeny.

1. Kořen součinu několika faktorů se rovná součinu kořenů těchto faktorů:

2. Odmocnina poměru se rovná poměru dividendy a dělitele odmocnin:

3. Při zvýšení odmocniny na mocninu stačí zvýšit radikální číslo na tuto mocninu:

4. Pokud zvýšíte stupeň zakořenění v n jednou a zároveň zabudovat do n mocnina je radikální číslo, pak se hodnota odmocniny nezmění:

5. Pokud snížíte stupeň zakořenění v n současně extrahujte kořen n-tá mocnina radikálního čísla, pak se hodnota odmocniny nezmění:

Titul se záporným exponentem. Mocnina určitého čísla s nekladným (celým) exponentem je definována jako mocnina vydělená mocninou stejného čísla s exponentem rovným absolutní hodnotě nekladného exponentu:

Vzorec a m:a n =a m - n lze použít nejen pro m> n, ale také s m< n.

Například. A4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovat a m:a n =a m - n se stal spravedlivým, když m=n, je vyžadována přítomnost nulového stupně.

Titul s nulovým indexem. Mocnina libovolného čísla, které se nerovná nule s nulovým exponentem, je rovna jedné.

Například. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň se zlomkovým exponentem. Chcete-li zvýšit skutečné číslo A na míru m/n, musíte extrahovat kořen n tý stupeň m-tá mocnina tohoto čísla A.

Transformace a zjednodušení matematických výrazů často vyžaduje přechod od kořenů k mocninám a naopak. Tento článek pojednává o tom, jak převést odmocninu na stupeň a zpět. Probírá se teorie, praktické příklady a nejčastější chyby.

Přechod od mocnin se zlomkovými exponenty ke kořenům

Řekněme, že máme číslo s exponentem ve tvaru obyčejného zlomku - a m n. Jak napsat takový výraz jako kořen?

Odpověď vyplývá ze samotné definice stupně!

Definice

Kladné číslo a k mocnině m n je n odmocninou čísla a m .

V tomto případě musí být splněna následující podmínka:

a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.

Zlomková mocnina nuly je definována podobně, ale v tomto případě se číslo m nebere jako celé číslo, ale jako přirozené číslo, takže dělení 0 nenastane:

0 mn = 0 mn = 0.

V souladu s definicí může být stupeň a m n reprezentován jako kořen a m n .

Například: 3 2 5 = 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4.

Jak však již bylo zmíněno, neměli bychom zapomínat na podmínky: a > 0; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.

Výraz - 8 1 3 tedy nemůže být reprezentován ve tvaru - 8 1 3, protože zápis - 8 1 3 prostě nedává smysl - není definován stupeň záporných čísel. Navíc samotný kořen - 8 1 3 dává smysl.

Přechod ze stupňů s výrazy v základu a zlomkových exponentech se provádí obdobně v celém rozsahu přípustných hodnot (dále jen VA) původních výrazů v základu stupně.

Například výraz x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 lze zapsat jako druhou odmocninu x 2 + 2 x + 1 - 4. Výraz k mocnině x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 se stává výrazem x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 pro všechna x, y, z z ODZ tohoto výrazu.

Možné je i obrácené nahrazení odmocnin, kdy se místo výrazu s odmocninou píší výrazy s mocninou. Jednoduše obrátíme rovnost z předchozího odstavce a dostaneme:

Opět je přechod zřejmý pro kladná čísla a. Například 7 6 4 = 7 6 4 nebo 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3.

Pro negativní a kořeny dávají smysl. Například - 4 2 6, - 2 3. Není však možné znázornit tyto kořeny ve formě mocnin - 4 2 6 a - 2 1 3.

Je vůbec možné převést takové výrazy na mocniny? Ano, pokud provedete nějaké předběžné změny. Podívejme se na které.

Pomocí vlastností mocnin můžete transformovat výraz - 4 2 6 .

4 2 6 = - 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .

Protože 4 > 0, můžeme napsat:

V případě liché odmocniny záporného čísla můžeme napsat:

A 2 m + 1 = - a 2 m + 1.

Pak výraz - 2 3 bude mít tvar:

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

Pojďme nyní pochopit, jak jsou kořeny, pod kterými jsou výrazy obsaženy, nahrazeny mocninami obsahujícími tyto výrazy v základu.

Označme písmenem A nějaký výraz. Nebudeme však spěchat, abychom reprezentovali A m n ve tvaru A m n . Pojďme si vysvětlit, co je zde myšleno. Například výraz x - 3 2 3 bych na základě rovnosti z prvního odstavce rád uvedl ve tvaru x - 3 2 3. Takové nahrazení je možné pouze pro x - 3 ≥ 0 a pro zbývající x z ODZ není vhodné, protože pro záporné a nedává vzorec a m n = a m n smysl.

V uvažovaném příkladu je tedy transformace tvaru A m n = A m n transformací, která zužuje ODZ a v důsledku nepřesné aplikace vzorce A m n = A m n dochází často k chybám.

Pro správný přechod z kořene A m n na mocninu A m n je třeba dodržet několik bodů:

• Je-li číslo m celé a liché a n přirozené a sudé, pak platí vzorec A m n = A m n pro celou ODZ proměnných.
• Pokud m je celé číslo a liché a n je přirozené a liché, pak výraz A m n lze nahradit:
  - na A m n pro všechny hodnoty proměnných, pro které A ≥ 0;
  - on - - A m n for pro všechny hodnoty proměnných, pro které A< 0 ;
• Jestliže m je celé číslo a sudé a n je libovolné přirozené číslo, pak A m n může být nahrazeno A m n.

Pojďme si všechna tato pravidla shrnout do tabulky a uvést několik příkladů jejich použití.

Vraťme se k výrazu x - 3 2 3. Zde m = 2 je celé číslo a sudé číslo a n = 3 je přirozené číslo. To znamená, že výraz x - 3 2 3 bude správně zapsán ve tvaru:

x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .

Uveďme další příklad s kořeny a mocninami.

Příklad. Převod odmocniny na mocninu

x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x< - 5

Zdůvodněme výsledky uvedené v tabulce. Je-li číslo m celé a liché a n je přirozené a sudé, pro všechny proměnné z ODZ ve výrazu A m n je hodnota A kladná nebo nezáporná (pro m > 0). Proto A m n = A m n .

Ve druhé možnosti, když m je celé číslo, kladné a liché a n je přirozené a liché, jsou hodnoty A m n odděleny. Pro proměnné z ODZ, pro které je A nezáporné, platí A m n = A m n = A m n . Pro proměnné, pro které je A záporné, získáme A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n .

Podobně uvažujme následující případ, kdy m je celé a sudé číslo a n je libovolné přirozené číslo. Pokud je hodnota A kladná nebo nezáporná, pak pro takové hodnoty proměnných z ODZ platí A m n = A m n = A m n . Pro záporné A dostaneme A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n .

Ve třetím případě tedy pro všechny proměnné z ODZ můžeme napsat A m n = A m n .

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

N-tá odmocnina čísla x je nezáporné číslo z, které se po umocnění na n-tou mocninu změní na x. Určení kořene patří do seznamu základních početních operací, se kterými se v dětství seznamujeme.

Matematický zápis

„Root“ pochází z latinského slova radix a dnes se slovo „radikální“ používá jako synonymum pro tento matematický termín. Od 13. století matematici označovali kořenovou operaci písmenem r s vodorovným pruhem nad radikálním výrazem. V 16. století bylo zavedeno označení V, které postupně nahradilo znak r, ale vodorovná čára zůstala. Je snadné psát v tiskárně nebo psát ručně, ale v elektronickém publikování a programování se rozšířilo písmenné označení kořene - sqrt. Takto budeme v tomto článku označovat druhé odmocniny.

Odmocnina

Čtvercový radikál čísla x je číslo z, které po vynásobení samo sebou vznikne x. Pokud například vynásobíme 2 2, dostaneme 4. Dvojka je v tomto případě druhá odmocnina ze čtyř. Vynásobíme 5 5, dostaneme 25 a nyní již známe hodnotu výrazu sqrt(25). Můžeme vynásobit a – 12 –12, abychom dostali 144, a radikál 144 je jak 12, tak –12. Je zřejmé, že odmocniny mohou být kladná i záporná čísla.

Zvláštní dualismus těchto kořenů je důležitý pro řešení kvadratických rovnic, proto je při hledání odpovědí na takové problémy nutné označit oba kořeny. Při řešení algebraických výrazů se používají aritmetické odmocniny, tedy pouze jejich kladné hodnoty.

Čísla, jejichž druhé odmocniny jsou celá čísla, se nazývají dokonalé čtverce. Existuje celá posloupnost takových čísel, jejichž začátek vypadá takto:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…

Odmocniny ostatních čísel jsou čísla iracionální. Například sqrt(3) = 1,73205080757... a tak dále. Toto číslo je nekonečné a neperiodické, což způsobuje určité potíže při výpočtu takových radikálů.

Školní kurz matematiky říká, že nelze odmocnit záporná čísla. Jak se učíme v univerzitním kurzu matematické analýzy, lze a mělo by se to dělat – proto jsou potřeba komplexní čísla. Náš program je však navržen tak, aby extrahoval skutečné kořenové hodnoty, takže nepočítá ani radikály ze záporných čísel.

Třetí odmocnina

Krychlový radikál čísla x je číslo z, které po vynásobení samo sebou třikrát dává číslo x. Pokud například vynásobíme 2 × 2 × 2, dostaneme 8. Dvojka je tedy třetí odmocnina z osmi. Vynásobte čtyři sama sebou třikrát a dostanete 4 × 4 × 4 = 64. Je zřejmé, že čtyřka je odmocnina čísla 64. Existuje nekonečná posloupnost čísel, jejichž krychlové radikály jsou celá čísla. Jeho začátek vypadá takto:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…

Pro ostatní čísla jsou odmocniny iracionální čísla. Na rozdíl od čtvercových radikálů lze odmocniny, stejně jako všechny liché odmocniny, odvodit ze záporných čísel. Všechno je to o součinu čísel menších než nula. Mínus za mínus dává plus – pravidlo známé ze školy. A mínus za plus dává mínus. Pokud vynásobíme záporná čísla lichým počtem, výsledek bude také záporný, nic nám tedy nebrání extrahovat lichý radikál ze záporného čísla.

Program kalkulačky však funguje jinak. Extrakce kořene v podstatě zvyšuje jeho inverzní mocninu. Druhá odmocnina se považuje za umocněnou na 1/2 a odmocnina se považuje za umocněnou na 1/3. Vzorec pro zvýšení na 1/3 lze přeskupit a vyjádřit jako 2/6. Výsledek je stejný, ale ze záporného čísla takový kořen extrahovat nemůžete. Naše kalkulačka tedy počítá aritmetické kořeny pouze z kladných čísel.

n-tý kořen

Taková ozdobná metoda výpočtu radikálů vám umožňuje určit kořeny jakéhokoli stupně z jakéhokoli výrazu. Můžete vzít pátou odmocninu z krychle čísla nebo 19. radikál čísla na 12. mocninu. To vše je elegantně realizováno formou navýšení na sílu 3/5, respektive 12/19.

Podívejme se na příklad

Úhlopříčka čtverce

Iracionalitu úhlopříčky čtverce znali již staří Řekové. Byli konfrontováni s problémem výpočtu úhlopříčky plochého čtverce, protože jeho délka je vždy úměrná odmocnině ze dvou. Vzorec pro určení délky úhlopříčky je odvozen a nakonec má tvar:

d = a × sqrt(2).

Určíme druhou mocninu dvou pomocí naší kalkulačky. Do buňky „Number(x)“ zadáme hodnotu 2 a do buňky „Stupeň(n)“ také hodnotu 2. Výsledkem je výraz sqrt(2) = 1,4142. Pro hrubý odhad úhlopříčky čtverce tedy stačí vynásobit jeho stranu 1,4142.

Závěr

Nalezení radikálu je standardní aritmetická operace, bez níž jsou vědecké nebo konstrukční výpočty nepostradatelné. K řešení každodenních problémů samozřejmě nemusíme určovat kořeny, ale naše online kalkulačka se školákům nebo studentům rozhodně bude hodit ke kontrole domácích úkolů z algebry nebo kalkulu.

Z tohoto článku se dozvíte:

• co je „extrakce kořenů“;
• v jakých případech se odstraňuje;
• principy hledání kořenové hodnoty;
• základní metody získávání kořenů z přirozených a zlomkových čísel.

Co je to "extrakce kořenů"

Nejprve si představíme definici „extrakce kořenů“.

Definice 1

Extrakce kořene je proces zjištění hodnoty kořene.

Když vezmeme n-tou odmocninu čísla, najdeme číslo b, jehož n-tá mocnina se rovná a. Pokud najdeme takové číslo b, můžeme říci, že kořen byl vytažen.

Poznámka 1

Výrazy „extrakce kořene“ a „zjištění hodnoty kořene“ jsou ekvivalentní.

V jakých případech se kořen extrahuje?

Definice 2

N-tou odmocninu lze z čísla získat přesně tehdy, pokud a lze reprezentovat jako n-tou mocninu nějakého čísla b.

Příklad 1

4 = 2 × 2, lze tedy přesně vzít druhou odmocninu z čísla 4, což je 2

Definice 3

Když n-tou odmocninu čísla nelze reprezentovat jako n-tou mocninu b, pak takovou odmocninu nevytěženo nebo načte se pouze přibližná hodnota vykořenit s přesností na libovolné desetinné místo.

Příklad 2

2 ≈ 1 , 4142 .

Principy hledání kořenových hodnot a způsoby jejich extrahování

• Pomocí tabulky čtverců, tabulky kostek atd.
• Rozklad radikálového výrazu (čísla) na prvočinitele
• Převzetí odmocniny ze záporného čísla

Je nutné pochopit, na jakých principech se nachází význam kořenů a jak jsou extrahovány.

Definice 4

Hlavním principem zjištění hodnoty odmocnin je vycházet z vlastností odmocnin včetně rovnosti: b n n = b, která platí pro libovolné nezáporné číslo b.

Měli byste začít s nejjednodušší a nejzřejmější metodou: tabulky čtverců, kostek atd.

Když nemáte po ruce tabulku, pomůže vám metoda rozkladu radikálního čísla na prvočinitele (metoda je jednoduchá).

Vyplatí se věnovat pozornost extrakci odmocniny záporného čísla, což je možné u odmocnin s lichými exponenty.

Pojďme se naučit, jak odmocňovat ze zlomků, včetně smíšených čísel, zlomků a desetinných míst.

A budeme pomalu zvažovat metodu zjištění hodnoty kořene bit po bitu - tu nejsložitější a vícestupňovou.

Pomocí tabulky čtverců, kostek atd.

Tabulka čtverců obsahuje všechna čísla od 0 do 99 a skládá se ze 2 zón: v první zóně můžete vytvořit libovolné číslo do 99 pomocí svislého sloupce s desítkami a vodorovné řady s jednotkami, druhá zóna obsahuje všechny čtverce vytvořená čísla.

Tabulka čtverců

Tabulka čtverců		Jednotky
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
desítky	0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
	1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
	2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
	3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
	4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2041
	5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
	6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
	7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
	8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
	9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Nechybí ani tabulky kostek, čtvrtých mocnin atd., které jsou vytvořeny na podobném principu jako tabulka čtverců.

Kostkový stůl

Kostkový stůl			Jednotky
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
desítky	0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
	1	1000	1 331	1 728	2 197	2 744	3 375	4 096	4 913	5 832	6 859
	2	8000	9 261	10 648	12 167	13 824	15 625	17 576	19 683	21 952	24 389
	3	27000	29 791	32 768	35 937	39 304	42 875	46 656	50 653	54 872	59 319
	4	64000	68 921	74 088	79 507	85 184	91 125	97 336	103 823	110 592	117 649
	5	125000	132 651	140 608	148 877	157 464	166 375	175 616	185 193	195 112	205 379
	6	216000	226 981	238 328	250 047	262 144	274 625	287 496	300 763	314 432	328 509
	7	343000	357 911	373 248	389 017	405 224	421 875	438 976	456 533	474 552	493 039
	8	512000	531 441	551 368	571 787	592 704	614 125	636 056	658 503	681 472	704 969
		729000	753 571	778 688	804 357	830 584	857 375	884 736	912 673	941 192	970 299

Princip fungování takových tabulek je jednoduchý, ale často nejsou po ruce, což značně komplikuje proces extrakce kořenů, takže musíte znát alespoň několik metod extrakce kořenů.

Rozložení radikálního čísla na prvočinitele

Nejpohodlnější způsob, jak najít kořenovou hodnotu po tabulce čtverců a kostek.

Definice 5

Metoda rozkladu radikálního čísla na prvočinitele zahrnuje reprezentaci čísla jako mocniny s potřebným exponentem, což nám umožňuje získat hodnotu odmocniny.

Příklad 3

Vezměme druhou odmocninu ze 144.

Rozložme 144 na prvočinitele:

Tedy: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = (2 × 2) 2 × 3 2 = (2 × 2 × 3) 2 = 12 2. Proto 144 = 12 2 = 12.

Také při použití vlastností mocnin a odmocnin můžete transformaci napsat trochu jinak:

144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2 4 × 3 2 = 2 4 × 3 2 = 2 2 × 3 = 12

144 = 12 je konečná odpověď.

Získávání odmocnin ze zlomkových čísel

Připomeňme si: Jakékoli zlomkové číslo musí být zapsáno jako zlomek.

Definice 6

Po vlastnosti kořene kvocientu platí následující rovnost:

p q n = p n q n . Na základě této rovnosti je nutné použít pravidlo pro extrakci kořene zlomku: Odmocnina zlomku se rovná odmocnině čitatele dělené odmocninou jmenovatele.

Příklad 4

Uvažujme příklad extrahování odmocniny z desetinného zlomku, protože odmocninu z obyčejného zlomku můžete extrahovat pomocí tabulky.

Je nutné extrahovat odmocninu 474, 552. Nejprve si představme desetinný zlomek jako obyčejný zlomek: 474, 552 = 474552 / 1000. Z toho vyplývá: 474552 1000 3 = 474552 3 1000 3. Poté můžete zahájit proces extrahování krychlových odmocnin čitatele a jmenovatele:

474552 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 13 × 13 × 13 = (2 × 3 × 13) 3 = 78 3 a 1000 = 10 3, pak

474552 3 = 78 3 3 = 78 a 1 000 3 = 10 3 3 = 10.

Dokončíme výpočty: 474552 3 1000 3 = 78 10 = 7, 8.

Odmocňování záporných čísel

Pokud je jmenovatelem liché číslo, pak číslo pod kořenovým znaménkem může být záporné. Z toho plyne: pro záporné číslo - a a lichý exponent odmocniny 2 n - 1 platí tato rovnost:

A 2 × n - 1 = - a 2 × n - 1

Definice 7

Pravidlo pro extrakci lichých mocnin ze záporných čísel: Chcete-li extrahovat odmocninu záporného čísla, musíte vzít odmocninu opačného kladného čísla a dát před něj znaménko mínus.

Příklad 5

12 209 243 5. Nejprve musíte transformovat výraz tak, aby pod kořenovým znaménkem bylo kladné číslo:

12 209 243 5 = 12 209 243 - 5 ​​​​​​

Poté byste měli smíšené číslo nahradit obyčejným zlomkem:

12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5

Pomocí pravidla pro extrakci kořenů z běžné frakce extrahujeme:

3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5

Vypočítáme kořeny v čitateli a jmenovateli:

3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3

Krátké shrnutí řešení:

12 209 243 5 = 12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3 .

Odpověď: - 12 209 243 5 = - 1 2 3.

Bitové určení kořenové hodnoty

Jsou případy, kdy pod odmocninou je číslo, které nelze vyjádřit jako n-tou mocninu určitého čísla. Je ale nutné znát hodnotu kořene s přesností na určité znaménko.

V tomto případě je nutné použít algoritmus pro nalezení hodnoty kořene bitově, s jehož pomocí můžete získat dostatečný počet hodnot požadovaného čísla.

Příklad 6

Podívejme se, jak se to stane na příkladu extrahování druhé odmocniny z 5.

Nejprve musíte zjistit hodnotu číslice jednotek. Chcete-li to provést, začněme procházet hodnoty 0, 1, 2, . . . , 9 , při výpočtu 0 2 , 1 2 , . . . , 9 2 na požadovanou hodnotu, která je větší než radikálové číslo 5. To vše je vhodné prezentovat ve formě tabulky:

Hodnota řady jednotek je 2 (od 2 2< 5 , а 2 3 >5). Přejdeme do kategorie desetin - odmocníme čísla 2, 0, 2, 1, 2, 2, . . . , 2, 9, porovnáním získaných hodnot s číslem 5.

Od 2,22< 5 , а 2 , 3 2 >5, pak hodnota desetin je 2. Pojďme k nalezení hodnoty setin:

Tak se zjistí hodnota odmocniny z pěti - 2, 23. Kořenové hodnoty najdete dále:

2 , 236 , 2 , 2360 , 2 , 23606 , 2 , 236067 , . . .

Prostudovali jsme tedy několik nejběžnějších způsobů, jak najít hodnotu kořene, které lze použít v jakékoli situaci.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Pro úspěšné použití operace extrakce kořene v praxi je třeba se seznámit s vlastnostmi této operace.
Všechny vlastnosti jsou formulovány a prokázány pouze pro nezáporné hodnoty proměnných obsažených pod znaménky kořenů.

Věta 1. N-tá odmocnina (n=2, 3, 4,...) součinu dvou nezáporných žetonů se rovná součinu n-tých odmocnin těchto čísel:

Komentář:

1. Věta 1 zůstává platná pro případ, kdy je radikální výraz součinem více než dvou nezáporných čísel.

Věta 2.Li, a n je přirozené číslo větší než 1, pak je rovnost pravdivá

Stručný(byť nepřesná) formulace, která je v praxi výhodnější: odmocnina zlomku se rovná zlomku odmocnin.

Věta 1 nám umožňuje t vynásobit pouze kořeny stejného stupně , tj. pouze kořeny se stejným indexem.

Věta 3.Pokud ,k je přirozené číslo a n je přirozené číslo větší než 1, pak platí rovnost

Jinými slovy, abychom pozdvihli kořen k přirozené síle, stačí k této síle pozvednout radikální výraz.
To je důsledek věty 1. Ve skutečnosti například pro k = 3 dostáváme: Úplně stejným způsobem můžeme uvažovat v případě jakékoli jiné přirozené hodnoty exponentu k.

Věta 4.Pokud ,k, n jsou přirozená čísla větší než 1, pak je rovnost pravdivá

Jinými slovy, k extrakci kořene z kořene stačí vynásobit ukazatele kořenů.
Například,

Buď opatrný! Dozvěděli jsme se, že s kořeny lze provádět čtyři operace: násobení, dělení, umocňování a extrakci odmocniny (z kořene). Ale co sčítání a odečítání odmocnin? V žádném případě.
Například místo psaní Opravdu, ale je zřejmé, že

Věta 5.Pokud ukazatele kořenového a radikálového vyjádření se vynásobí nebo vydělí stejným přirozeným číslem, pak se hodnota kořene nezmění, tzn.

Příklady řešení problémů

Příklad 1 Vypočítat

Řešení. Pomocí první vlastnosti kořenů (věta 1) získáme:

Příklad 2 Vypočítat
Řešení. Převeďte smíšené číslo na nesprávný zlomek.
Máme Použití druhé vlastnosti kořenů ( Věta 2 ), dostaneme:

Příklad 3 Vypočítat:

Řešení. Jakýkoli vzorec v algebře, jak dobře víte, se používá nejen „zleva doprava“, ale také „zprava doleva“. První vlastnost kořenů tedy znamená, že mohou být reprezentovány ve tvaru a naopak mohou být nahrazeny výrazem. Totéž platí pro druhou vlastnost kořenů. Vezmeme-li toto v úvahu, provedeme výpočty.