Системи раціональних нерівностей завдання. Дробно-раціональні нерівності

За допомогою цього уроку ви дізнаєтесь про раціональних нерівностейах та їх системах. Вирішується система раціональних нерівностей за допомогою еквівалентних перетворень. Розглядається визначення еквівалентності, спосіб заміни дробово-раціональної нерівності - квадратним, а також розуміється на чому відмінність нерівності від рівняння і як здійснюються рівносильні перетворення.

Алгебра 9 клас

Підсумкове повторення курсу алгебри 9-го класу

Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей.

1.1 Конспект.

1. Еквівалентні перетворення раціональних нерівностей.

Вирішити раціональна нерівністьозначає знайти всі його рішення. На відміну від рівняння, під час вирішення нерівності, зазвичай, виникає безліч рішень. Численна безліч рішень не можна перевірити методом підстановки. Тому потрібно так перетворювати вихідну нерівність, щоб у кожному наступному рядку виходила нерівність з тією ж безліччю рішень.

Раціональні нерівностівирішуються лише за допомогою еквівалентнихабо рівносильних перетворень. Такі перетворення не спотворюють безліч рішень.

Визначення. Раціональні нерівностіназивають еквівалентними, якщо безліч їхніх рішень збігаються.

Для позначення еквівалентностівикористовують знак

2. Розв'язання системи нерівностей

Перша та друга нерівність – це дробово-раціональні нерівності. Методи їх вирішення є природним продовженням методів розв'язання лінійних та квадратних нерівностей.

Перенесемо числа, що стоять у правій частині, до лівої з протилежним знаком.

У результаті правої частини залишиться 0. Це перетворення є еквівалентним. На це вказує знак

Виконаємо дії, які наказує алгебра. Віднімемо «1» у першій нерівності та «2» у другій.

3. Вирішення нерівності методом інтервалів

1) Введемо функцію. Нам потрібно дізнатися, коли ця функція менша за 0.

2) Знайдемо область визначення функції: у знаменнику не повинен стояти 0. «2» - точка розриву. При х = 2 функція невизначена.

3) Знайдемо коріння функції. Функція дорівнює 0, якщо в чисельнику стоїть 0.

Поставлені точки розбивають числову вісь на три інтервали – це інтервали знакопостійності. У кожному інтервалі функція зберігає знак. Визначимо знак першому інтервалі. Підставимо якесь значення. Наприклад, 100. Зрозуміло, як і чисельник, і знаменник більше 0. Значить і весь дріб позитивна.

Визначимо знаки інших проміжках. При переході через точку х=2 лише знаменник змінює знак. Значить, і весь дріб поміняє знак, і буде негативним. Проведемо аналогічне міркування. Під час переходу через точку х=-3 тільки чисельник змінює знак. Значить, дріб поміняє знак і буде позитивним.

Виберемо інтервал, що відповідає умові нерівності. Заштрихуємо його та запишемо у вигляді нерівності

4. Вирішення нерівності за допомогою квадратичної нерівності

Важливий факт.

У порівнянні з 0 (у разі суворої нерівності) дріб можна замінити на твір чисельника на знаменник або поміняти чисельник чи знаменник місцями.

Це так, тому що всі три нерівності виконуються за умови, що u та v різного знаку. Ці три нерівності еквівалентні.

Використовуємо цей факт і замінимо дробово-раціональну нерівність квадратною.

Вирішимо квадратну нерівність.

Введемо квадратичну функцію. Знайдемо її коріння та побудуємо ескіз її графіка.

Значить, гілки параболи вгору. Всередині інтервалу коріння функція зберігає знак. Вона негативна.

Поза інтервалом коренів функція позитивна.

Розв'язання першої нерівності:

5. Вирішення нерівності

Введемо функцію:

Знайдемо її інтервали знаковості:

Для цього знайдемо коріння та точки розриву області визначення функції. Точки розриву виколюємо завжди. (х=3/2) Коріння виколюємо залежно від знаку нерівності. Наша нерівність сувора. Тому корінь виколюємо.

Розставимо знаки:

Запишемо рішення:

Закінчимо рішення системи. Знайдемо перетин безлічі рішень першої нерівності та безлічі рішень другої нерівності.

Вирішити систему нерівностей означає знайти перетин безлічі рішень першої нерівності і безлічі рішень другої нерівності. Тому, вирішивши першу і другу нерівність окремо, потрібно записати отримані результати в одну систему.

Зобразимо розв'язання першої нерівності над віссю Ох.

Метод інтервалів- це універсальний спосіб розв'язання практично будь-яких нерівностей, які у шкільному курсі алгебри. Він заснований на наступні властивостіфункцій:

1. Безперервна функція g(x) може змінити знак тільки в тій точці, в якій вона дорівнює 0. Графічно це означає, що графік безперервної функції може перейти з однієї напівплощини до іншої, тільки якщо перетне вісь абсцис (ми пам'ятаємо, що ордината будь-який точки, що лежить на осі ОХ (осі абсцис) дорівнює нулю, тобто значення функції у цій точці дорівнює 0):

Ми, що функція y=g(x), зображена на графіці перетинає вісь ОХ у точках х= -8, х=-2, х=4, х=8. Ці точки називаються нулями функції. І в цих точках функція g(x) змінює знак.

2. Функція також може змінювати знак у нулях знаменника - найпростіший приклад добре відома функція:

Ми бачимо, що функція змінює знак в корені знаменника, в точці, але при цьому не звертається в нуль в жодній точці. Таким чином, якщо функція містить дріб, вона може змінювати знак коріння знаменника.

2. Однак, функція не завжди змінює знак у корені чисельника або в корені знаменника. Наприклад, функція y=x 2 не змінює знак у точці х=0:

Т.к. рівняння x 2 =0 має два рівні корені х=0, у точці х=0 функція як би двічі звертається в 0. Такий корінь називається коренем другої кратності.

Функція змінює знак у нулі чисельника, , але змінює знак у нулі знаменника: , оскільки корінь - корінь другої кратності, тобто парної кратності:

Важливо! У корінні парної кратності функція знак не змінює.

Зверніть увагу! Будь-яке нелінійненерівність шкільного курсу алгебри, зазвичай, вирішується з допомогою методу інтервалів.

Пропоную вам докладний , дотримуючись якого ви зможете уникнути помилок при розв'язанні нелінійних нерівностей.

1. Для початку необхідно привести нерівність до виду

Р(х) V0,

де V-знак нерівності:<,>,≤ або ≥. Для цього необхідно:

а) перенести всі доданки в ліву частинунерівності,

б) знайти коріння вираження, що вийшло,

в) розкласти ліву частину нерівності на множники

г) однакові множники записати як ступеня.

Увага! Остання діянеобхідно зробити, щоб не помилитися з кратністю коріння - якщо в результаті вийде множник парною мірою, значить, відповідний корінь має парну кратність.

2. Нанести знайдене коріння на числову вісь.

3. Якщо нерівність сувора, то кружки, що позначають коріння на числовій осі залишаємо "порожніми", якщо нерівність не сувора, то кружки зафарбовуємо.

4. Виділяємо коріння парної кратності - в них Р(х)знак не змінює.

5. Визначаємо знак Р(х)на правому проміжку. Для цього беремо довільне значення х 0 яке більше більшого кореняі підставляємо в Р(х).

Якщо P(x 0)>0 (або ≥0), то в правому проміжку ставимо знак "+".

Якщо P(x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

При переході через точку, що позначає корінь парної кратності, знак НЕ ЗМІНЮЄТЬСЯ.

7. Ще раз дивимося на знак вихідної нерівності і виділяємо проміжки потрібного нам знака.

8. Увага! Якщо наша нерівність НЕСУТРА, то умову рівності нулю перевіряємо окремо.

9. Записуємо відповідь.

Якщо вихідне нерівність містить невідоме у знаменнику, то також переносимо всі складові вліво, і наводимо ліву частину нерівності до виду

(де V-знак нерівності:< или >)

Сувора нерівність такого виду рівнозначна нерівності

Несуворенерівність виду

рівносильно системі:

Насправді, якщо функція має вигляд , то чинимо так:

Знаходимо коріння чисельника та знаменника.
Наносимо їх на вісь. Усі кружки залишаємо порожніми. Потім, якщо нерівність не строга, то коріння чисельника зафарбовуємо, а коріння знаменника завжди залишаємо порожніми.
Далі слідуємо загальному алгоритму:
Виділяємо коріння парної кратності (якщо чисельник і знаменник містять однакові корені, то вважаємо, скільки разів зустрічаються однакові корені). У коренях парної кратності зміни знака немає.
З'ясовуємо знак на правому проміжку.
Розставляємо знаки.
У разі нестрогої нерівності умову рівності умову рівності нулю перевіряємо окремо.
Виділяємо потрібні проміжки і коріння, що окремо стоїть.
Записуємо відповідь.

Щоб краще зрозуміти алгоритм розв'язання нерівностей методом інтервалів, подивіться ВІДЕОУРОК, в якому детально розбирається приклад вирішення нерівності методом інтервалів.

За допомогою цього уроку ви дізнаєтеся про раціональні нерівності та їх системи. Вирішується система раціональних нерівностей за допомогою еквівалентних перетворень. Розглядається визначення еквівалентності, спосіб заміни дробово-раціональної нерівності - квадратною, а також розбирається в чому відмінність нерівності від рівняння та як здійснюються рівносильні перетворення.

Вступ

Алгебра 9 клас

Підсумкове повторення курсу алгебри 9-го класу

Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей.

1.1 Конспект.

Еквівалентні перетворення раціональних нерівностей

1. Еквівалентні перетворення раціональних нерівностей.

Раціональні нерівностівирішуються лише за допомогою еквівалентнихчи рівносильних перетворень. Такі перетворення не спотворюють безліч рішень.

Визначення. Раціональні нерівностіназивають еквівалентними, якщо безліч їхніх рішень збігаються.

Для позначення еквівалентностівикористовують знак

Розв'язання системи нерівностей. Еквівалентні перетворення системи

2. Розв'язання системи нерівностей

Перенесемо числа, що стоять у правій частині, до лівої з протилежним знаком.

У результаті правої частини залишиться 0. Це перетворення є еквівалентним. На це вказує знак

Виконаємо дії, які наказує алгебра. Віднімемо «1» у першій нерівності та «2» у другій.

Вирішення першої нерівності методом інтервалів

3. Вирішення нерівності методом інтервалів

1) Введемо функцію. Нам потрібно дізнатися, коли ця функція менша за 0.

3) Знайдемо коріння функції. Функція дорівнює 0, якщо в чисельнику стоїть 0.

Виберемо інтервал, що відповідає умові нерівності. Заштрихуємо його та запишемо у вигляді нерівності

Прийом відомості дробово-раціональної нерівності до квадратної.

Розв'язання першої нерівності шляхом зведення до квадратного

4. Вирішення нерівності за допомогою квадратичної нерівності

Важливий факт.

Це так тому, що всі три нерівності виконуються за умови, що u і v різного знака. Ці три нерівності еквівалентні.

Використовуємо цей факт і замінимо дробово-раціональну нерівність квадратною.

Вирішимо квадратну нерівність.

Введемо квадратичну функцію. Знайдемо її коріння та побудуємо ескіз її графіка.

Значить, гілки параболи вгору. Всередині інтервалу коріння функція зберігає знак. Вона негативна.

Поза інтервалом коренів функція позитивна.

Розв'язання першої нерівності:

Вирішення другої нерівності

5. Вирішення нерівності

Введемо функцію:

Знайдемо її інтервали знаковості:

Розставимо знаки:

Запишемо рішення:

Перетин множин рішень першої та другої нерівностей. Форма запису рішення

Зобразимо розв'язання першої нерівності над віссю Ох.

Рішення другої нерівності зобразимо під віссю.

Рішенням системи будуть ті значення змінної, які задовольняють як першій, так і другій нерівності. Отже, вирішення системи :

Висновок

Алгебра, 9 клас. Частина 1 із 2. Підручник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов) 2010 Алгебра, 9 клас. Частина 2 з 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. М. Мішустіна та ін.) 2010 Алгебра, 9 клас (Л. В. Кузнєцова, С. Б. Суворова, Є. А. Бунімович та ін) 2010 Алгебра, 9 клас. Задачник (Л. І. Звавіч, А. Р. Рязановський, П. В. Семенов) 2008 Алгебра, 9 клас (Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова) 2009 Алгебра , 9 клас (Л. В. Кузнєцова, С. Б. Суворова, Є. А. Бунімович та ін.) 2010

1.3. Додаткові веб-ресурси

http://slovo. ws/urok/algebra -Навчальні матеріали(Підручники, статті) з алгебри для 9 класу. Всі підручники, вказані у списку, можна подивитися в режимі онлайн, без скачування.

http://math-portal. ru/matematika-shkolnaya/

1.4. Зроби вдома

Алгебра, 9 клас. Частина 2 з 2. Задачник (А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. М. Мішустіна та ін.) 2010

Домашнє завдання: 4.24; 4.28

Інші завдання: 4.25; 4.26

Потрібно завантажити план по темі » Раціональні нерівності та їх системи. Системи раціональних нерівностей?

Продовжуємо розбирати способи розв'язання нерівностей, що мають у складі одну змінну. Ми вже вивчили лінійні та квадратні нерівності, які являють собою окремі випадки раціональних нерівностей. У цій статті ми уточнимо, нерівності якого типу ставляться до раціональних, розповімо, які види вони діляться (цілі і дробові). Після цього покажемо, як правильно їх вирішувати, наведемо потрібні алгоритми та розберемо конкретні завдання.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Поняття раціональних рівностей

Коли у школі вивчають тему розв'язання нерівностей, то одразу беруть раціональні нерівності. Там купуються і відточуються навички роботи з цим видом висловлювань. Сформулюємо визначення даного поняття:

Визначення 1

Раціональна нерівність являє собою таку нерівність зі змінними, що містить в обох частинах раціональні вирази.

Зазначимо, що визначення ніяк не торкається питання кількості змінних, отже, їх може бути скільки завгодно багато. Отже, можливі раціональні нерівності з 1, 2, 3 та більше змінними. Найчастіше доводиться мати справу з виразами, що містять лише одну змінну, рідше дві, а нерівності з великою кількістюЗмінних зазвичай у межах шкільного курсу не розглядають зовсім.

Таким чином, ми можемо дізнатися раціональну нерівність, подивившись на її запис. І з правого, і з лівого боку у нього мають бути розташовані раціональні вирази. Наведемо приклади:

x > 4 x 3 + 2 · y ≤ 5 · (y − 1) · (x 2 + 1) 2 · x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 · x 2

А ось нерівність виду 5+x+1< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Усі раціональні нерівності поділяються на цілі та дробові.

Визначення 2

Ціла раціональна рівність складається з цілих раціональних виразів (в обох частинах).

Визначення 3

Дробно раціональна рівність– це така рівність, яка містить дробовий виразв одній чи обох своїх частинах.

Наприклад, нерівності виду 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 · 1 3 · x - 1 > 4 - x 4 і 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 є дробово раціональними, а 0 , 5 · x ≤ 3 · (2 − 5 · y)і 1: x + 3 > 0- Цілими.

Ми розібрали, що являють собою раціональні нерівності, і виділили їх основні типи. Можемо переходити далі, до огляду способів їх вирішення.

Припустимо, що нам потрібно знайти рішення цілої раціональної нерівності r(x)< s (x) , яке включає лише одну змінну x . При цьому r(x)і s(x)є будь-які цілі раціональні числа або вирази, а знак нерівності може відрізнятися. Щоб вирішити це завдання, нам потрібно перетворити його і здобути рівносильну рівність.

Почнемо з перенесення виразу із правої частини до лівої. Отримаємо таке:

виду r(x) − s(x)< 0 (≤ , > , ≥)

Ми знаємо, що r(x) − s(x)буде цілим значенням, а будь-яке вираз припустимо перетворити на многочлен. Перетворюємо r(x) − s(x) h (x) . Це вираз буде тотожно рівним багаточленом. Враховуючи, що у r(x) − s(x) та h(x) область допустимих значень x однакова, ми можемо перейти до нерівностей h(x)< 0 (≤ , >, ≥) , яке буде рівносильним вихідному.

Найчастіше такого простого перетворення буде достатньо для вирішення нерівності, оскільки в результаті може вийти лінійна або квадратна нерівність, значення якої обчислити нескладно. Розберемо такі завдання.

Приклад 1

Умова:розв'яжіть цілу раціональну нерівність x · (x + 3) + 2 · x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Рішення

Почнемо з перенесення виразу з правої частини до лівої з протилежним знаком.

x · (x + 3) + 2 · x - (x + 1) 2 - 1 ≤ 0

Тепер, коли ми виконали всі дії з багаточленами зліва, можна переходити до лінійній нерівності 3 · x − 2 ≤ 0, рівносильний тому, що було дано в умові. Вирішити його нескладно:

3 · x ≤ 2 x ≤ 2 3

Відповідь: x ≤ 2 3 .

Приклад 2

Умова:знайдіть розв'язання нерівності (x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 > (x 2 − x) · (x 2 + x).

Рішення

Переносимо вираз із лівої частини у праву і виконуємо подальші перетворення за допомогою формул скороченого множення.

(x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 − (x 2 − x) · (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 · x 2 + 1 − 3 · x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

В результаті наших перетворень ми отримали нерівність, яка буде вірною за будь-яких значень x , отже, рішенням вихідної нерівності може бути будь-яке дійсне число.

Відповідь:будь-яке дійсно число.

Приклад 3

Умова:розв'яжіть нерівність x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x · (x 2 + x − 5) > 0.

Рішення

З правої частини ми нічого переносити не будемо, бо там 0 . Почнемо відразу з перетворення лівої частини на багаточлен:

x + 6 + 2 · x 3 - 2 · x 3 - 2 · x 2 + 10 · x > 0 - 2 · x 2 + 11 · x + 6 > 0 .

Ми вивели квадратну нерівність, рівносильну вихідному, яку легко вирішити кількома методами. Застосуємо графічний метод.

Почнемо з обчислення коренів квадратного тричлена − 2 · x 2 + 11 · x + 6:

D = 11 2 - 4 · (- 2) · 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 · - 2 , x 2 = - 11 - 169 2 · - 2 x 1 = - 0 , 5 , x 2 = 6

Тепер на схемі відзначимо усі необхідні нулі. Оскільки старший коефіцієнт менше нуля, гілки параболи на графіку будуть дивитися вниз.

Нам буде потрібна область параболи, розташована над віссю абсцис, оскільки у нерівності ми маємо знак > . Потрібний інтервал дорівнює (− 0 , 5 , 6) Отже, ця область значень і буде потрібним нам рішенням.

Відповідь: (− 0 , 5 , 6) .

Бувають і більше складні випадки, коли зліва виходить багаточлен третьої чи більше високого ступеня. Щоб усунути таку нерівність, рекомендується використовувати метод інтервалів. Спочатку ми обчислюємо всі коріння багаточлена h(x)що найчастіше робиться за допомогою розкладання многочлена на множники.

Приклад 4

Умова:обчисліть (x 2 + 2) · (x + 4)< 14 − 9 · x .

Рішення

Почнемо, як завжди, з перенесення виразу в ліву частину, після чого потрібно буде виконати розкриття дужок та приведення подібних доданків.

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

У результаті перетворень у нас вийшла рівносильна вихідна рівність, ліворуч у якої стоїть багаточлен третього ступеня. Застосуємо метод інтервалів щодо його вирішення.

Спочатку обчислюємо коріння багаточлена, для чого нам треба розв'язати кубічне рівняння x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 = 0. Чи має воно раціональне коріння? Вони можуть лише серед дільників вільного члена, тобто. серед чисел ±1, ±2, ±3, ±6. Підставимо їх по черзі у вихідне рівняння та з'ясуємо, що числа 1, 2 та 3 будуть його корінням.

Значить, багаточлен x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6може бути описаний у вигляді твору (x − 1) · (x − 2) · (x − 3), і нерівність x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6< 0 може бути представлено як (x − 1) · (x − 2) · (x − 3)< 0 . З нерівністю такого виду нам потім буде легко визначити знаки на проміжках.

Далі виконуємо кроки інтервального методу, що залишилися: малюємо числову пряму і точки на ній з координатами 1 , 2 , 3 . Вони розбивають пряму на 4 проміжки, у яких потрібно визначити знаки. Заштрихуємо проміжки з мінусом, оскільки вихідна нерівність має знак < .

Нам залишилося лише записати готову відповідь: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Відповідь: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

У деяких випадках виконувати перехід від нерівності r(x) − s(x)< 0 (≤ , >, ≥) до h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , де h(x)- многочлен у ступені вище 2, недоцільно. Це поширюється на ті випадки, коли уявити r(x) − s(x) як добуток лінійних двочленів та квадратних тричленів простіше, ніж розкласти h(x) на окремі множники. Розберемо таке завдання.

Приклад 5

Умова:знайдіть розв'язання нерівності (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) ≥ 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1).

Рішення

Ця нерівність відноситься до цілих. Якщо ми перенесемо вираз із правої частини вліво, розкриємо дужки та виконаємо приведення доданків, то отримаємо x 4 − 4 · x 3 − 16 · x 2 + 40 · x + 19 ≥ 0 .

Вирішити таку нерівність непросто, оскільки доведеться шукати коріння багаточлена четвертого ступеня. Воно немає жодного раціонального кореня (так, 1 , − 1 , 19 чи − 19 не підходять), а шукати інше коріння складно. Отже, скористатися цим способом ми можемо.

Але є й інші способи розв'язання. Якщо ми перенесемо вирази з правої частини вихідної нерівності до лівої, то зможемо виконати винесення за дужки загального множника x 2 − 2 · x − 1:

(x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) − 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Ми отримали нерівність, рівносильну вихідному, і її рішення дасть нам відповідь. Знайдемо нулі вирази в лівій частині, для чого вирішимо квадратні рівняння x 2 − 2 · x − 1 = 0і x 2 − 2 · x − 19 = 0. Їхнє коріння – 1 ± 2, 1 ± 2 5 . Переходимо до рівності x - 1 + 2 · x - 1 - 2 · x - 1 + 2 5 · x - 1 - 2 5 ≥ 0 , яку можна вирішити методом інтервалів:

Відповідно до малюнка, відповіддю буде - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Відповідь: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Додамо, що іноді немає можливості знайти все коріння багаточлена h(x)Отже, ми не можемо уявити його у вигляді добутку лінійних двочленів і квадратних тричленів. Тоді розв'язати нерівність виду h(x)< 0 (≤ , >, ≥) ми не можемо, значить, вирішити вихідну раціональну нерівність теж не можна.

Допустимо, треба розв'язати дробово раціонально нерівностей виду r(x)< s (x) (≤ , >, ≥) , де r (x) та s(x)є раціональними виразами, x – змінною. Хоча б один із зазначених виразів буде дробовим. Алгоритм рішення у цьому випадку буде таким:

Визначаємо область допустимих значень змінної x.
Переносимо вираз із правої частини нерівності наліво, а вираз, що вийшов. r(x) − s(x)подаємо у вигляді дробу. При цьому де p(x)і q (x)будуть цілими виразами, які є творами лінійних двочленів, квадратних тричленів, що не розкладаються, а також ступенів з натуральним показником.
Далі вирішуємо отриману нерівність шляхом інтервалів.
Останнім кроком є виключення точок, отриманих у ході рішення, з області допустимих значень змінної x, яку ми визначили на початку.

Це і є алгоритм розв'язання дробово-раціональної нерівності. Більша частинайого зрозуміла, невеликі пояснення потрібні лише п. 2 . Ми перенесли вираз із правої частини ліворуч і отримали r(x) − s(x)< 0 (≤ , >, ≥) , а як потім привести його до виду p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

Спочатку визначимо, чи завжди можна виконати це перетворення. Теоретично, така можливість є завжди, оскільки в раціональний дріб можна перетворити будь-який раціональний вираз. Тут же у нас є дріб із багаточленами у чисельнику та знаменнику. Згадаймо основну теорему алгебри і теорему Безу і визначимо, що будь-який многочлен n-ного ступеня, що містить одну змінну, може бути перетворений на твір лінійних двочленів. Отже, теоретично ми можемо перетворити вираз таким чином.

Насправді розкладання многочленів на множники найчастіше виявляється досить важким завданням, якщо ступінь вище 4 . Якщо ми не зможемо виконати розкладання, то не зможемо і вирішити цю нерівність, однак у рамках шкільного курсу такі проблеми зазвичай не вивчаються.

Далі нам треба вирішити, чи буде отримана нерівність p(x) q(x)< 0 (≤ , >, ≥) рівносильним по відношенню до r(x) − s(x)< 0 (≤ , >, ≥) та до вихідного. Є ймовірність, що воно може виявитися нерівносильним.

Рівносильність нерівності буде забезпечена тоді, коли область припустимих значень p(x) q(x)збігається з областю значень виразу r(x) − s(x). Тоді останній пункт інструкції щодо розв'язання дробово раціональних нерівностей виконувати не потрібно.

Але область значень для p(x) q(x)може виявитися ширшим, ніж у r(x) − s(x)наприклад, за рахунок скорочення дробів. Прикладом може бути перехід від x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 до x · x - 1 x + 3. Або це може відбуватися при приведенні подібних доданків, наприклад, тут:

x + 5 x - 2 2 · x - x + 5 x - 2 2 · x + 1 x + 3 до 1 x + 3

Для таких випадків і додано останній крок алгоритму. Виконавши його, ви позбавитеся від сторонніх значень змінної, які виникають через розширення області допустимих значень. Візьмемо кілька прикладів, щоб було зрозуміліше, про що йдеться.

Приклад 6

Умова:знайдіть рішення раціональної рівності x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

Рішення

Діємо за алгоритмом, вказаним вище. Спочатку визначаємо область припустимих значень. У даному випадкувона визначається системою нерівностей x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , вирішенням якої буде безліч (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) ≥ 0

Після цього нам потрібно перетворити його так, щоб було зручно застосувати метод інтервалів. Насамперед наводимо алгебраїчні дроби до найменшого спільного знаменника (x − 3) 2 · (x + 1):

x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) = = x · x - 3 + 4 · x + 1 + 3 · x x - 3 2 · x + 1 = x 2 + 4 · x + 4 (x - 3) 2 · (x + 1)

Згортаємо вираз у чисельнику, застосовуючи формулу квадрата суми:

x 2 + 4 · x + 4 x - 3 2 · x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 · x + 1

Областю допустимих значень виразу, що вийшов, є (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Ми бачимо, що вона аналогічна до тієї, що була визначена для вихідної рівності. Укладаємо, що нерівність x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 є рівносильною вихідному, отже, останній крок алгоритму нам не потрібен.

Використовуємо метод інтервалів:

Бачимо рішення ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) , яке і буде вирішенням вихідної раціональної нерівності x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Відповідь: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Приклад 7

Умова:обчисліть рішення x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 .

Рішення

Визначаємо область допустимих значень. У разі цієї нерівності вона дорівнюватиме всім дійсним числам, крім − 2 , − 1 , 0 і 1 .

Переносимо вирази з правої частини до лівої:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Враховуючи результат, що вийшов, запишемо:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 (x + 1) · x - 1 = = - x - 1 (x + 1) · x - 1 = - x + 1 (x + 1) · x - 1 = - 1 x - 1

Для виразу - 1 x - 1 областю допустимих значень буде безліч всіх дійсних чисел, крім одиниці. Ми бачимо, що область значень розширилася: до неї були додані − 2 , − 1 і 0 . Отже, нам слід виконати останній крок алгоритму.

Оскільки ми дійшли нерівності - 1 x - 1 > 0 , можемо записати рівносильне йому 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Виключаємо точки, які не входять до області допустимих значень вихідної рівності. Нам треба виключити з (− ∞ , 1) числа − 2 , − 1 та 0 . Таким чином, розв'язанням раціональної нерівності x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 будуть значення (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Відповідь: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

На закінчення наведемо ще один приклад завдання, в якому остаточна відповідь залежить від області допустимих значень.

Приклад 8

Умова:знайдіть розв'язання нерівності 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Рішення

Область допустимих значень нерівності, заданої в умові, визначає система x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0 .

Рішень у цієї системи немає, оскільки

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) · x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) · x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Отже, вихідна рівність 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 не має рішення, оскільки немає таких значень змінної, при якій вона мала б сенс.

Відповідь:рішень немає.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

>>Математика:Раціональні нерівності

Раціональне нерівність з одного змінної х - це нерівність виду - раціональні висловлювання, тобто. алгебраїчні вирази, складені з чисел і змінної х за допомогою операцій складання, віднімання, множення, поділу та зведення в натуральний ступінь. Зрозуміло, змінна може бути позначена будь-якою іншою літерою, але в математиці найчастіше перевага надається букві х.

При розв'язанні раціональних нерівностей використовуються ті три правила, які були сформульовані вище в § 1. За допомогою цих правил зазвичай перетворять задану раціональну нерівність до виду / (ж) > 0, де / (х) - алгебраїчний дріб (або багаточлен). Далі розкладають чисельник і знаменник дробу f(х) на множники виду х - а (якщо, звичайно, це можливо) і застосовують метод інтервалів, який ми згадували вище (див. у попередньому параграфі приклад 3).

приклад 1.Розв'язати нерівність (х – 1) (х + 1) (х – 2) > 0.

Рішення.Розглянемо вираз f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

Воно звертається до 0 у точках 1,-1,2; відзначимо ці точки на числовій прямій. Числова пряма розбивається вказаними точками на чотири проміжки (рис. 6), кожному з яких вираз f (x) зберігає постійний знак. Щоб у цьому переконатися, проведемо чотири міркування (для кожного із зазначених проміжків окремо).

Візьмемо будь-яку точку х із проміжку (2, Ця точка розташована на числовій прямій правіше точки -1, правіше точки 1 і правіше точки 2. Це означає, що х > -1, х >1, х > 2 (рис. 7). Але тоді x-1>0, х+1>0, х - 2 > 0, а значить, і f(х) > 0 (як твір раціональна нерівність трьох позитивних чисел). Отже, по всьому проміжку виконується нерівність f (x) > 0.

Візьмемо будь-яку точку x з інтервалу (1,2). Ця точка розташована на числовій прямій правіше точки-1, правіше точки 1, але лівіше точки 2. Значить, х > -1, х > 1, але х< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0,x-1>0,x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Візьмемо будь-яку точку х із інтервалу (-1,1). Ця точка розташована на числовій прямій правіше точки -1, лівіше точки 1 і лівіше точки 2. Значить, х >-1, але х< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, х -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (як добуток двох негативних та одного позитивного числа). Отже, на проміжку (-1,1) виконується нерівність f(x)>0.

Візьмемо, нарешті, будь-яку точку х із відкритого променя (-оо, -1). Ця точка розташована на числовій прямій ліворуч від точки -1, лівішою від точки 1 і лівішою від точки 2. Це означає, що x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Підіб'ємо підсумки. Знаки виразу f(x) у виділених проміжках такі, як показано на рис. 11. Нас цікавлять ті з них, на яких виконується нерівність f(x) > 0. За допомогою геометричної моделі , представленої на рис. 11, встановлюємо, що нерівність f(x) > 0 виконується на інтервалі (-1, 1) або на відкритому промені
Відповідь: -1 < х < 1; х > 2.

приклад 2.Розв'язати нерівність
Рішення.Як і в попередньому прикладі, почерпнемо необхідну інформацію з рис. 11, але з двома змінами порівняно з прикладом 1. По-перше, оскільки нас цікавить, за яких значень х виконується нерівність f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки По-друге, нас влаштовують і ті точки, в яких виконується рівність f(x) = 0. Це точки -1, 1, 2, відзначимо їх на малюнку темними кружечками та включимо у відповідь. На рис. 12 представлена геометрична модель відповіді, від якої неважко перейти до аналітичного запису.
Відповідь:
П р і м е р 3.Розв'язати нерівність
Рішення. Розкладемо на множники чисельник і знаменник дробу алгебри fх, що міститься в лівій частині нерівності. У чисельнику маємо х 2 - х = х(х - 1).

Щоб розкласти на множники квадратний тричлен х 2 - bх ~ 6, що міститься в знаменнику дробу, знайдемо його коріння. З рівняння х 2 - 5х - 6 = 0 знаходимо х 1 = -1, х 2 = 6. Значить, (Ми скористалися формулою розкладання на множники квадратного тричлена: ах 2 + bх + с = а (х - х 1 - х 2)).
Тим самим ми перетворили задану нерівність до виду

Розглянемо вираз:

Чисельник цього дробу звертається до 0 у точках 0 і 1, а обертається до 0 у точках -1 та 6. Зазначимо ці точки на числовій прямій (рис. 13). Числова пряма розбивається зазначеними точками п'ять проміжків, причому кожному проміжку вираз fх) зберігає постійний знак. Розмірковуючи так, як у прикладі 1, приходимо до висновку, що знаки виразу fх) у виділених проміжках такі, як показано на рис. 13. Нас цікавить, де виконується нерівність f(x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0твет: -1

приклад 4.Розв'язати нерівність

Рішення.При вирішенні раціональних нерівностей, як правило, вважають за краще залишати в правій частині нерівності лише число 0. Тому перетворимо нерівність до виду

Далі:

Як показує досвід, якщо в правій частині не (рівності міститься лише число 0, зручніше проводити міркування, коли в лівій його частині і чисельник і знаменник мають позитивний старший коефіцієнт. А що у нас? У нас у знаменнику дробу в цьому сенсі все в порядку (старший коефіцієнт, тобто коефіцієнт при х 2 дорівнює 6 - позитивне число), але в чисельнику не все в порядку - старший коефіцієнт (коефіцієнт при х) дорівнює -4 (негативне число). -1 і змінивши у своїй знак нерівності на протилежний, отримаємо рівносильне йому нерівність

Розкладемо чисельник і знаменник алгебраїчного дробу на множники. У чисельнику все просто:
Щоб розкласти на множники дробу, що міститься в знаменнику, квадратний тричлен

(Ми знову скористалися формулою розкладання на множники квадратного тричлена).
Тим самим задану нерівність ми привели до вигляду

Розглянемо вираз

Чисельник цього дробу звертається до 0 у точці а знаменник - у точках Зазначимо ці точки на числовій прямій (рис. 14), яка розбивається зазначеними точками на чотири проміжки, причому на кожному проміжку вираз f(х) зберігає постійний знак (ці знаки вказані на рис. Нас цікавлять ті проміжки, на яких виконується нерівність fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

У всіх розглянутих прикладах ми перетворювали задану нерівність у рівносильну йому нерівність виду f(х) > 0 або f(x)<0,где
При цьому кількість множників у чисельнику та знаменнику дробу може бути будь-якою. Потім відзначали на числовій прямій точці а,Ь,с,д. та визначали знаки виразу f(х) на виділених проміжках. Помітили, що на правому з виділених проміжків виконується нерівність f(х) > 0, а далі за проміжками знаки виразу f(х) чергуються (рис. 16а). Це чергування зручно ілюструвати за допомогою хвилеподібної кривої, яка креслиться праворуч наліво та зверху донизу (рис. 166). На тих проміжках, де ця крива (її іноді називають кривою знаків) розташована вище за осі х, виконується нерівність f (х) > 0; де ця крива розташована нижче осі х, виконується нерівність f(х)< 0.

Приклад 5.Розв'язати нерівність

Рішення.Маємо

(обидві частини попередньої нерівності помножили на 6).
Щоб скористатися методом інтервалів, відзначимо на числовій прямій точці (у цих точках чисельник дробу, що міститься в лівій частині нерівності, перетворюється на нуль) і точки (у цих точках знаменник зазначеного дробу перетворюється на нуль). Зазвичай точки відзначають схематично, враховуючи порядок їхнього прямування (яке - правіше, яке - лівіше) і не особливо звертаючи уваги на дотримання масштабу. Зрозуміло, що Складніше ситуація з числами Перша прикидка показує, що і те й інше число трохи більше, ніж 2,6, звідки не можна зробити висновок про те, яке із зазначених чисел більше, а яке - менше. Припустимо (навгад), що тоді
Вийшла вірна нерівність, отже, наш здогад підтвердився: насправді
Отже,

Зазначимо зазначені 5 точок у вказаному порядку на числовій прямій (рис. 17а). Розставимо знаки виразу
на отриманих проміжках: на правому - знак +, а далі знаки чергуються (рис. 176). Накреслимо криву знаків і виділимо (штрихуванням) ті проміжки, на яких виконується нерівність f (x) > 0 (рис. 17в), що цікавить нас. Врахуємо, нарешті, що йдетьсяпро нестрогу нерівність f(x) > 0, отже, нас цікавлять і ті точки, в яких вираз f(x) звертається в нуль. Це - коріння чисельника дробу f(x), тобто. крапки відзначимо їх на рис. 17в темними кружечками (і, природно, включимо у відповідь). Ось тепер рис. 17в дає повну геометричну модель розв'язків заданої нерівності.