Jak řešit rovnice logaritmy. Jak řešit logaritmické rovnice? Řešení jednoduchých logaritmických rovnic

Příklady:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Jak řešit logaritmické rovnice:

Při řešení logaritmické rovnice byste se měli snažit transformovat ji do tvaru \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) a poté provést přechod na \(f(x) )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Příklad:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Řešení: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Zkouška:\(10>2\) - vhodné pro DL Odpověď:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Velmi důležité! Tento přechod lze provést pouze v případě, že:

Napsali jste pro původní rovnici a na konci zkontrolujete, zda jsou nalezené zahrnuty v ODZ. Pokud tak neučiníte, mohou se objevit další kořeny, což znamená špatné rozhodnutí.

Číslo (nebo výraz) vlevo a vpravo je stejné;

Logaritmy vlevo a vpravo jsou „čisté“, to znamená, že by neměly existovat žádné násobení, dělení atd. – pouze jednotlivé logaritmy na obou stranách rovnítka.

Například:

Všimněte si, že rovnice 3 a 4 lze snadno vyřešit aplikací požadované vlastnosti logaritmy.

Příklad . Vyřešte rovnici \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Řešení :

		Zapišme ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Vlevo před logaritmem je koeficient, vpravo součet logaritmů. Tohle nás trápí. Přesuňme dvojku na exponent \(x\) podle vlastnosti: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Představme součet logaritmů jako jeden logaritmus podle vlastnosti: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Rovnici jsme zredukovali do tvaru \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) a zapsali ODZ, což znamená, že můžeme přejít do tvaru \(f(x) =g(x)\).
		Fungovalo to. Řešíme to a dostáváme kořeny.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Zkontrolujeme, zda jsou kořeny vhodné pro ODZ. Chcete-li to provést, v \(x>0\) místo \(x\) dosadíme \(5\) a \(-5\). Tato operace může být provedena ústně.
\(5>0\), \(-5>0\)		První nerovnost je pravdivá, druhá ne. To znamená, že \(5\) je kořenem rovnice, ale \(-5\) není. Odpověď zapisujeme.

Odpověď : \(5\)

Příklad : Vyřešte rovnici \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Řešení :

		Zapišme ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Typická rovnice řešená pomocí . Nahraďte \(\log_2⁡x\) \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Dostali jsme obvyklou. Hledáme jeho kořeny.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Provedení zpětné výměny
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Transformujeme pravé strany a představujeme je jako logaritmy: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) a \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Nyní jsou naše rovnice \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) a můžeme přejít na \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Kontrolujeme shodu kořenů ODZ. Chcete-li to provést, nahraďte \(4\) a \(2\) do nerovnosti \(x>0\) místo \(x\).
\(4>0\) \(2>0\)		Obě nerovnosti jsou pravdivé. To znamená, že jak \(4\), tak \(2\) jsou kořeny rovnice.

Odpověď : \(4\); \(2\).

Logaritmická rovnice je rovnice, ve které neznámá (x) a výrazy s ní jsou pod znaménkem logaritmické funkce. Řešení logaritmických rovnic předpokládá, že již znáte a .
Jak řešit logaritmické rovnice?

Nejjednodušší rovnice je log a x = b, kde a a b jsou nějaká čísla, x je neznámá.
Řešení logaritmické rovnice je x = a b za předpokladu: a > 0, a 1.

Je třeba poznamenat, že pokud je x někde mimo logaritmus, například log 2 x = x-2, pak se taková rovnice již nazývá smíšená a k jejímu řešení je potřeba speciální přístup.

Ideální případ je, když narazíte na rovnici, ve které jsou pod logaritmickým znaménkem pouze čísla, například x+2 = log 2 2. Zde k řešení stačí znát vlastnosti logaritmů. Takové štěstí se ale nestává často, takže se připravte na složitější věci.

Nejprve ale začněme jednoduchými rovnicemi. K jejich řešení je žádoucí mít co nejvíce obecná myšlenka o logaritmu.

Řešení jednoduchých logaritmických rovnic

Patří sem rovnice typu log 2 x = log 2 16. Pouhým okem je vidět, že vynecháním znaménka logaritmu dostaneme x = 16.

K řešení složitější logaritmické rovnice se obvykle redukuje na řešení obyčejné algebraické rovnice nebo na řešení jednoduché logaritmické rovnice log a x = b. V nejjednodušších rovnicích se to děje jedním pohybem, proto se nazývají nejjednodušší.

Výše uvedená metoda vypouštění logaritmů je jedním z hlavních způsobů řešení logaritmických rovnic a nerovnic. V matematice se tato operace nazývá potenciace. Pro tento typ operace platí určitá pravidla nebo omezení:

• logaritmy mají stejné číselné základy
• Logaritmy na obou stranách rovnice jsou libovolné, tzn. bez jakýchkoli koeficientů a dalších různé druhy výrazy.

Řekněme v rovnici log 2 x = 2log 2 (1 - x) potenciace není použitelná - koeficient 2 vpravo to neumožňuje. V následující příklad log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) jedno z omezení také není splněno - vlevo jsou dva logaritmy. Kdyby byl jen jeden, byla by to úplně jiná věc!

Obecně lze logaritmy odstranit pouze v případě, že rovnice má tvar:

log a (...) = log a (...)

Do hranatých závorek lze umístit absolutně jakékoli výrazy; A po odstranění logaritmů zůstane jednodušší rovnice - lineární, kvadratická, exponenciální atd., kterou, doufám, už víte, jak ji vyřešit.

Vezměme si další příklad:

log 3 (2x-5) = log 3x

Použijeme potenciaci, dostaneme:

log 3 (2x-1) = 2

Na základě definice logaritmu, totiž, že logaritmus je číslo, na které musí být umocněn základ, aby se získal výraz, který je pod logaritmickým znaménkem, tzn. (4x-1), dostaneme:

Opět jsme dostali krásnou odpověď. Zde jsme se obešli bez eliminace logaritmů, ale i zde je potenciace použitelná, protože logaritmus lze vytvořit z libovolného čísla a přesně z toho, které potřebujeme. Tato metoda je velmi nápomocná při řešení logaritmických rovnic a zejména nerovnic.

Vyřešme naši logaritmickou rovnici log 3 (2x-1) = 2 pomocí potenciace:

Představme si číslo 2 jako logaritmus, například tento log 3 9, protože 3 2 =9.

Pak log 3 (2x-1) = log 3 9 a opět dostaneme stejnou rovnici 2x-1 = 9. Doufám, že je vše jasné.

Podívali jsme se tedy na to, jak řešit nejjednodušší logaritmické rovnice, které jsou ve skutečnosti velmi důležité, protože řešení logaritmických rovnic, dokonce i ty nejstrašnější a zvrácené, nakonec vždy dojde k řešení těch nejjednodušších rovnic.

Ve všem, co jsme udělali výše, nám jeden velmi chyběl důležitý bod, která bude hrát v budoucnu rozhodující roli. Faktem je, že řešení jakékoli logaritmické rovnice, i té nejelementárnější, se skládá ze dvou stejných částí. Prvním je řešení samotné rovnice, druhým je práce s rozsahem přípustných hodnot (APV). Toto je přesně první část, kterou jsme zvládli. Ve výše uvedených příkladech ODZ nijak neovlivňuje odpověď, proto jsme ji nezvažovali.

Vezměme si další příklad:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Navenek se tato rovnice neliší od elementární, kterou lze velmi úspěšně vyřešit. Ale není to tak úplně pravda. Ne, samozřejmě to vyřešíme, ale s největší pravděpodobností nesprávně, protože obsahuje malou přepadení, do které okamžitě spadnou jak studenti C, tak vynikající studenti. Pojďme se na to blíže podívat.

Řekněme, že potřebujete najít kořen rovnice nebo součet kořenů, pokud jich je několik:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Používáme potenciaci, tady je to přijatelné. Výsledkem je obyčejná kvadratická rovnice.

Hledání kořenů rovnice:

Ukázalo se, že dva kořeny.

Odpověď: 3 a -1

Na první pohled je vše správně. Ale zkontrolujme výsledek a dosaďte jej do původní rovnice.

Začněme s x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Kontrola byla úspěšná, nyní je fronta x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Dobře, přestaň! Navenek je vše dokonalé. Jeden bod - logaritmy z záporná čísla se nestane! To znamená, že kořen x = -1 není vhodný pro řešení naší rovnice. A proto správná odpověď bude 3, nikoli 2, jak jsme psali.

Zde sehrál ODZ svou osudovou roli, na kterou jsme zapomněli.

Dovolte mi připomenout, že rozsah přijatelných hodnot zahrnuje ty hodnoty x, které jsou povoleny nebo dávají smysl pro původní příklad.

Bez ODZ se jakékoli řešení, byť naprosto správné, jakékoli rovnice promění v loterii - 50/50.

Jak bychom se mohli přistihnout při řešení zdánlivě elementárního příkladu? Ale právě v okamžiku potenciace. Logaritmy zmizely as nimi i všechna omezení.

Co dělat v tomto případě? Odmítnete odstranit logaritmy? A úplně odmítnout řešit tuto rovnici?

Ne, jen to jako skuteční hrdinové z jedné slavné písně uděláme oklikou!

Než začneme řešit jakoukoli logaritmickou rovnici, zapíšeme si ODZ. Ale poté můžete s naší rovnicí dělat, co si vaše srdce přeje. Po obdržení odpovědi jednoduše vyhodíme ty kořeny, které nejsou zahrnuty v našem ODZ, a zapíšeme konečnou verzi.

Nyní se rozhodneme, jak zaznamenat ODZ. K tomu pečlivě prozkoumáme původní rovnici a hledáme v ní podezřelá místa, jako je dělení x, dokonce odmocnina atd. Dokud rovnici nevyřešíme, nevíme, čemu se x rovná, ale s jistotou víme, že existuje x, která po dosazení dají dělení 0 nebo extrakci. odmocnina ze záporného čísla se jako odpověď zjevně nehodí. Proto jsou takové x nepřijatelné, zatímco zbytek bude tvořit ODZ.

Použijeme znovu stejnou rovnici:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Jak vidíte, neexistuje žádné dělení 0, odmocniny také ne, ale v těle logaritmu jsou výrazy s x. Okamžitě si připomeňme, že výraz uvnitř logaritmu musí být vždy >0. Tuto podmínku zapisujeme ve tvaru ODZ:

Tito. Zatím jsme nic nevyřešili, ale už jsme zapsali povinnou podmínku pro celý sublogaritmický výraz. Složená závorka znamená, že tyto podmínky musí být splněny současně.

ODZ se zapisuje, ale je potřeba vyřešit i výsledný systém nerovností, což uděláme. Dostaneme odpověď x > v3. Teď už s jistotou víme, které x nám nebude vyhovovat. A pak začneme řešit samotnou logaritmickou rovnici, což jsme udělali výše.

Po obdržení odpovědí x 1 = 3 a x 2 = -1 je snadné vidět, že nám vyhovuje pouze x1 = 3, a zapíšeme to jako konečnou odpověď.

Pro budoucnost je velmi důležité mít na paměti následující: jakoukoli logaritmickou rovnici řešíme ve 2 fázích. Prvním je řešení samotné rovnice, druhým řešení podmínky ODZ. Obě etapy se provádějí nezávisle na sobě a porovnávají se až při psaní odpovědi, tzn. vyhoďte vše nepotřebné a zapište správnou odpověď.

Pro posílení materiálu důrazně doporučujeme zhlédnout video:

Video ukazuje další příklady řešení log. rovnic a vypracování intervalové metody v praxi.

Na tuto otázku, jak řešit logaritmické rovnice To je zatím vše. Pokud o něčem rozhoduje log. rovnice zůstávají nejasné nebo nesrozumitelné, své dotazy pište do komentářů.

Poznámka: Akademie sociálního vzdělávání (ASE) je připravena přijímat nové studenty.

Zavedení

Nárůst psychické zátěže v hodinách matematiky nás nutí přemýšlet o tom, jak udržet zájem žáků o probíranou látku a jejich aktivitu po celou dobu hodiny. V tomto ohledu se hledají nové efektivní vyučovací metody a metodické techniky, které by aktivizovaly myšlenky studentů a podněcovaly je k samostatnému získávání znalostí.

Vznik zájmu o matematiku u značného počtu studentů závisí do značné míry na metodice její výuky, na tom, jak dovedně bude strukturována výchovná práce. Pohotovým upozorňováním studentů na to, co matematika studuje obecné vlastnosti objekty a jevy okolního světa, nezabývá se předměty, ale abstraktními abstraktními pojmy, lze dosáhnout pochopení, že matematika nenarušuje spojení s realitou, ale naopak umožňuje ji hlouběji studovat, vyvodit zobecněné teoretické závěry, které jsou široce využívány v praxi.

Účast na festivalu pedagogických myšlenek "Otevřená lekce" 2004-2005 akademický rok, přednesl jsem lekci-přednášku na téma „Logaritmická funkce“ (diplom č. 204044). Tuto metodu považuji v tomto konkrétním případě za nejúspěšnější. Studenti mají díky studiu podrobnou osnovu a stručný nástin tématu, což jim usnadní přípravu na další hodiny. Zejména na téma "Řešení logaritmických rovnic", které je zcela založeno na studiu logaritmické funkce a jejích vlastností.

Při formování základních matematických pojmů je důležité vytvořit u studentů představu o vhodnosti zavedení každého z nich a možnosti jejich aplikace. K tomu je nutné, aby při formulaci definice určitého pojmu, při práci na jeho logické struktuře, byly zváženy otázky týkající se historie jeho výskytu. tento koncept. Tento přístup pomůže studentům uvědomit si, že nový koncept slouží jako zobecnění faktů reality.

Historie vzniku logaritmů je podrobně představena v loňské práci.

Vzhledem k důležitosti návaznosti ve výuce matematiky na středním odborném vzdělávacím pracovišti a vysoké škole a nutnosti dodržení jednotných požadavků na studenty považuji za vhodné pro seznámení studentů s řešením logaritmických rovnic použít následující metodu.

Rovnice obsahující proměnnou pod logaritmickým znaménkem (zejména v základu logaritmu) se nazývají logaritmický. Zvažte logaritmické rovnice tvaru:

Řešení těchto rovnic je založeno na následující větě.

Věta 1. Rovnice je ekvivalentní soustavě

(2)

K vyřešení rovnice (1) stačí vyřešit rovnici

a dosadit jeho řešení do systému nerovností

definování oboru definice rovnice (1).

Kořeny rovnice (1) budou pouze ta řešení rovnice (3), která vyhovují soustavě (4), tzn. patří do oboru definice rovnice (1).

Při řešení logaritmických rovnic může dojít k rozšíření definičního oboru (získávání cizích kořenů) nebo zúžení (ztráta kořenů). Proto dosazení kořenů rovnice (3) do soustavy (4), tzn. je vyžadováno ověření řešení.

Příklad 1: Vyřešte rovnici

Řešení:

Oba významy X splňují podmínky systému.

Odpověď:

Zvažte rovnice tvaru:

Jejich řešení je založeno na následující větě

Věta 2: Rovnice (5) je ekvivalentní soustavě

(6)

Kořeny rovnice (5) budou pouze ty kořeny rovnice, které

patří do definiční domény specifikované podmínkami .

Logaritmickou rovnici tvaru (5) lze řešit různými způsoby. Podívejme se na ty hlavní.

1. POTENCIACE (aplikace vlastností logaritmu).

Příklad 2: Vyřešte rovnici

Řešení: Na základě věty 2 je tato rovnice ekvivalentní systému:

Pojďme řešit rovnici:

Pouze jeden kořen splňuje všechny podmínky systému. Odpověď:

2. POUŽITÍ DEFINICE LOGARITMU .

Příklad 3: Nalézt X, Pokud

Řešení:

Význam X= 3 patří do oboru definice rovnice. Odpověď X = 3

3. REDUKCE NA KVADRÁTNÍ ROVNICI.

Příklad 4: Vyřešte rovnici

Oba významy X jsou kořeny rovnice.

Odpověď:

4. LOGARIFTING.

Příklad 5: Vyřešte rovnici

Řešení: Vezměme logaritmus obou stran rovnice na základ 10 a použijeme vlastnost "logaritmus síly".

Oba kořeny patří do rozsahu přípustných hodnot logaritmické funkce.

Odpověď: X = 0,1; X = 100

5. REDUKCE NA JEDEN ZÁKLAD.

Příklad 6: Vyřešte rovnici

Použijme vzorec a pojďme k základnímu 2 logaritmu ve všech termínech:

Potom bude mít tato rovnice tvar:

Od , pak je to kořen rovnice.

Odpověď: X = 16

Jak víte, při násobení výrazů mocninami se jejich exponenty vždy sčítají (a b *a c = a b+c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a později, v 8. století, vytvořil matematik Virasen tabulku celočíselných exponentů. Byli to oni, kdo sloužil další otevření logaritmy. Příklady použití této funkce najdeme téměř všude tam, kde si potřebujete zjednodušit těžkopádné násobení jednoduchým sčítáním. Pokud strávíte 10 minut čtením tohoto článku, vysvětlíme vám, co jsou to logaritmy a jak s nimi pracovat. Jednoduchým a přístupným jazykem.

Definice v matematice

Logaritmus je vyjádření následujícího tvaru: log a b=c, tedy logaritmus libovolného nezáporného čísla (tj. jakéhokoli kladného) „b“ k jeho základu „a“ se považuje za mocninu „c“. ” na kterou je nutné zvednout základ “a”, aby se nakonec dostala hodnota “b”. Analyzujme logaritmus na příkladech, řekněme, že existuje výraz log 2 8. Jak najít odpověď? Je to velmi jednoduché, musíte najít takovou mocninu, abyste od 2 do požadovaného výkonu dostali 8. Po provedení pár výpočtů ve vaší hlavě dostaneme číslo 3! A to je pravda, protože 2 na 3 dává odpověď jako 8.

Typy logaritmů

Pro mnoho žáků a studentů se toto téma zdá složité a nesrozumitelné, ale ve skutečnosti logaritmy nejsou tak děsivé, hlavní je pochopit jejich obecný význam a zapamatovat si jejich vlastnosti a některá pravidla. Jsou tři jednotlivé druhy logaritmické výrazy:

1. Přirozený logaritmus ln a, kde základem je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desetinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus libovolného čísla b na základ a>1.

Každá z nich je řešena standardním způsobem, včetně zjednodušení, redukce a následné redukce na jeden logaritmus pomocí logaritmických vět. Chcete-li získat správné hodnoty logaritmů, měli byste si pamatovat jejich vlastnosti a posloupnost akcí při jejich řešení.

Pravidla a některá omezení

V matematice existuje několik pravidel-omezení, která jsou přijímána jako axiom, to znamená, že nejsou předmětem diskuse a jsou pravdivá. Například je nemožné dělit čísla nulou a je také nemožné extrahovat sudou odmocninu záporných čísel. Logaritmy mají také svá pravidla, podle kterých se snadno naučíte pracovat i s dlouhými a prostornými logaritmickými výrazy:

• Základ „a“ musí být vždy větší než nula a ne roven 1, jinak výraz ztratí svůj význam, protože „1“ a „0“ jsou v jakémkoli stupni vždy rovny svým hodnotám;
• pokud a > 0, pak a b > 0, ukáže se, že „c“ musí být také větší než nula.

Jak řešit logaritmy?

Například je zadán úkol najít odpověď na rovnici 10 x = 100. To je velmi snadné, je třeba zvolit mocninu zvýšením čísla deset, na které se dostaneme 100. To je samozřejmě 10 2 = 100.

Nyní si tento výraz znázorníme v logaritmické formě. Dostaneme log 10 100 = 2. Při řešení logaritmů se všechny akce prakticky sbíhají, aby našly mocninu, do které je nutné zadat základ logaritmu, abychom získali dané číslo.

Chcete-li přesně určit hodnotu neznámého stupně, musíte se naučit pracovat s tabulkou stupňů. Vypadá to takto:

Jak vidíte, některé exponenty lze uhodnout intuitivně, pokud máte technické myšlení a znalosti násobilky. Pro větší hodnoty však budete potřebovat tabulku výkonu. Mohou ji používat i ti, kteří o složitých matematických tématech nevědí vůbec nic. Levý sloupec obsahuje čísla (základ a), horní řada čísel je hodnota mocniny c, na kterou je číslo a umocněno. Na průsečíku buňky obsahují číselné hodnoty, které jsou odpovědí (a c = b). Vezměme si například úplně první buňku s číslem 10 a odmocnime ji, dostaneme hodnotu 100, která je naznačena na průsečíku našich dvou buněk. Všechno je tak jednoduché a snadné, že to pochopí i ten největší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje se, že za určitých podmínek je exponentem logaritmus. Proto lze jakékoli matematické číselné výrazy zapsat jako logaritmickou rovnost. Například 3 4 = 81 lze zapsat jako logaritmus 3 se základem 81 rovný čtyřem (log 3 81 = 4). Pro záporné mocniny jsou pravidla stejná: 2 -5 = 1/32 zapíšeme to jako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z nejvíce fascinujících částí matematiky je téma „logaritmů“. Na příklady a řešení rovnic se podíváme níže, ihned po prostudování jejich vlastností. Nyní se podívejme, jak vypadají nerovnosti a jak je odlišit od rovnic.

Je dán výraz v následujícím tvaru: log 2 (x-1) > 3 - je logaritmická nerovnost, protože neznámá hodnota "x" je pod znaménkem logaritmu. A také ve výrazu se porovnávají dvě veličiny: logaritmus požadovaného čísla k základu dvě je větší než číslo tři.

Nejdůležitější rozdíl mezi logaritmickými rovnicemi a nerovnicemi je v tom, že rovnice s logaritmy (například logaritmus 2 x = √9) implikují jednu nebo více konkrétních číselných hodnot v odpovědi, zatímco při řešení nerovnosti oba rozsah přijatelných hodnoty a body jsou určeny porušením této funkce. V důsledku toho není odpovědí jednoduchá množina jednotlivých čísel jako v odpovědi na rovnici, ale souvislá řada nebo množina čísel.

Základní věty o logaritmech

Při řešení primitivních úloh hledání hodnot logaritmu nemusí být jeho vlastnosti známy. Pokud však jde o logaritmické rovnice nebo nerovnice, je nejprve nutné jasně pochopit a prakticky aplikovat všechny základní vlastnosti logaritmů. Na příklady rovnic se podíváme později, podívejme se nejprve na každou vlastnost podrobněji.

1. Hlavní identita vypadá takto: a logaB =B. Platí pouze tehdy, když a je větší než 0, nerovná se jedné a B je větší než nula.
2. Logaritmus součinu může být reprezentován následujícím vzorcem: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto případě předpoklad je: d, si a s2 > 0; a≠1. Tento logaritmický vzorec můžete doložit příklady a řešením. Nechť log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, pak a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupně ), a pak podle definice: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, což je potřeba dokázat.
3. Logaritmus podílu vypadá takto: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Věta ve formě vzorce přebírá další pohled: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec se nazývá „vlastnost stupně logaritmu“. Připomíná vlastnosti běžných stupňů a není se čemu divit, protože veškerá matematika je založena na přirozených postulátech. Podívejme se na důkaz.

Nechť log a b = t, vyjde a t =b. Zvedneme-li obě části na mocninu m: a tn = b n ;

ale protože a tn = (a q) nt/q = b n, proto log a q b n = (n*t)/t, pak log a q b n = n/q log a b. Věta byla prokázána.

Příklady problémů a nerovností

Nejběžnějšími typy problémů na logaritmech jsou příklady rovnic a nerovnic. Nacházejí se téměř ve všech problémových knihách a jsou také povinnou součástí zkoušek z matematiky. Abyste mohli vstoupit na vysokou školu nebo složit přijímací zkoušky z matematiky, musíte vědět, jak takové úlohy správně řešit.

Bohužel neexistuje jediný plán nebo schéma pro řešení a určení neznámé hodnoty logaritmu, ale na každou matematickou nerovnost nebo logaritmickou rovnici lze aplikovat určitá pravidla. Nejprve byste měli zjistit, zda lze výraz zjednodušit nebo navést celkový vzhled. Pokud správně použijete jejich vlastnosti, můžete dlouhé logaritmické výrazy zjednodušit. Pojďme se s nimi rychle seznámit.

Při řešení logaritmických rovnic musíme určit, jaký typ logaritmu máme: příklad výrazu může obsahovat přirozený nebo dekadický logaritmus.

Zde jsou příklady ln100, ln1026. Jejich řešení se scvrkává na skutečnost, že potřebují určit výkon, kterému bude základna 10 rovna 100, respektive 1026. Chcete-li vyřešit přirozené logaritmy, musíte použít logaritmické identity nebo jejich vlastnosti. Podívejme se na příklady řešení logaritmických úloh různých typů.

Jak používat logaritmické vzorce: s příklady a řešeními

Podívejme se tedy na příklady použití základních vět o logaritmech.

1. Vlastnost logaritmu součinu se dá využít v úlohách, kde je potřeba expandovat skvělá hodnotačísla b do jednodušších faktorů. Například log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpověď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak vidíte, pomocí čtvrté vlastnosti logaritmické mocniny se nám podařilo vyřešit zdánlivě složitý a neřešitelný výraz. Musíte pouze faktorizovat základ a poté odebrat hodnoty exponentů ze znaménka logaritmu.

Úkoly z jednotné státní zkoušky

Logaritmy se často vyskytují u přijímacích zkoušek, zejména u mnoha logaritmických problémů v jednotné státní zkoušce (státní zkouška pro všechny absolventy škol). Obvykle se tyto úlohy vyskytují nejen v části A (nejjednodušší testová část zkoušky), ale také v části C (nejsložitější a nejobsáhlejší úlohy). Zkouška vyžaduje přesnou a dokonalou znalost tématu „Přirozené logaritmy“.

Příklady a řešení problémů jsou převzaty z oficiálních Možnosti jednotné státní zkoušky. Podívejme se, jak se takové úkoly řeší.

Je dán log 2 (2x-1) = 4. Řešení:
přepišme výraz, trochu jej zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2, definicí logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4, tedy 2x = 17; x = 8,5.

• Nejlepší je zredukovat všechny logaritmy na stejný základ, aby řešení nebylo těžkopádné a matoucí.
• Všechny výrazy pod logaritmickým znaménkem jsou označeny jako kladné, takže když je exponent výrazu, který je pod logaritmickým znaménkem a jeho základna je vyjmut jako násobitel, výraz zbývající pod logaritmem musí být kladný.

V této lekci si zopakujeme základní teoretická fakta o logaritmech a zvážíme řešení nejjednodušších logaritmických rovnic.

Dovolte nám připomenout centrální definice- definice logaritmu. Zahrnuje řešení exponenciální rovnice. Tato rovnice má jeden kořen, nazývá se logaritmus b se základem a:

Definice:

Logaritmus b na základ a je exponent, na který musí být základ a zvýšen, aby dostal b.

Dovolte nám připomenout základní logaritmickou identitu.

Výraz (výraz 1) je kořenem rovnice (výraz 2). Dosaďte hodnotu x z výrazu 1 místo x do výrazu 2 a získejte hlavní logaritmickou identitu:

Vidíme tedy, že každá hodnota je spojena s hodnotou. Označíme b x(), c y, a tak získáme logaritmickou funkci:

Například:

Připomeňme si základní vlastnosti logaritmické funkce.

Věnujme pozornost ještě jednou, protože pod logaritmem může být přísně kladný výraz jako základ logaritmu.

Rýže. 1. Graf logaritmické funkce v různých bázích

Graf funkce at je zobrazen černě. Rýže. 1. Pokud se argument zvětší z nuly do nekonečna, funkce se zvětší z mínus do plus nekonečna.

Graf funkce at je znázorněn červeně. Rýže. 1.

Vlastnosti této funkce:

Rozsah: ;

Rozsah hodnot: ;

Funkce je monotónní v celé své definiční oblasti. Když se monotónně (přísně) zvyšuje, vyšší hodnotu argument odpovídá větší hodnotě funkce. Když monotónně (striktně) klesá, větší hodnota argumentu odpovídá menší hodnotě funkce.

Vlastnosti logaritmické funkce jsou klíčem k řešení různých logaritmických rovnic.

Uvažujme nejjednodušší logaritmickou rovnici všechny ostatní logaritmické rovnice jsou zpravidla redukovány do tohoto tvaru.

Protože základy logaritmů a samotné logaritmy jsou si rovny, jsou si rovny i funkce pod logaritmem, ale nesmíme vynechat definiční obor. Pod logaritmem se může objevit pouze kladné číslo, máme:

Zjistili jsme, že funkce f a g jsou si rovny, takže pro dodržení ODZ stačí vybrat libovolnou nerovnost.

Máme tedy smíšený systém, ve kterém existuje rovnice a nerovnost:

Zpravidla není nutné řešit nerovnici, stačí vyřešit rovnici a dosadit nalezené kořeny do nerovnice a tím provést kontrolu.

Formulujme metodu pro řešení nejjednodušších logaritmických rovnic:

Vyrovnat základy logaritmů;

Rovnocenné sublogaritmické funkce;

Proveďte kontrolu.

Podívejme se na konkrétní příklady.

Příklad 1 - vyřešte rovnici:

Základy logaritmů jsou zpočátku stejné, máme právo dát rovnítko mezi sublogaritmické výrazy, nezapomeňte na ODZ, zvolíme první logaritmus pro složení nerovnosti:

Příklad 2 - vyřešte rovnici:

Tato rovnice se liší od předchozí v tom, že základy logaritmů jsou menší než jedna, ale to nijak neovlivňuje řešení:

Najdeme kořen a dosadíme jej do nerovnosti:

Obdrželi jsme nesprávnou nerovnost, což znamená, že nalezený kořen nesplňuje ODZ.

Příklad 3 - vyřešte rovnici:

Základy logaritmů jsou zpočátku stejné, máme právo dát rovnítko mezi sublogaritmické výrazy, nezapomeňte na ODZ, pro složení nerovnosti zvolíme druhý logaritmus:

Najdeme kořen a dosadíme jej do nerovnosti:

Je zřejmé, že pouze první kořen splňuje ODZ.