Druhá odmocnina. Operace s odmocninou

Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás s jedinečnými nabídkami, akcemi a dalšími událostmi a nadcházejícími událostmi.
Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

Je-li to nutné – v souladu se zákonem, soudním postupem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů na území Ruské federace – zveřejnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, stejně jako neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.

Před kalkulačkami počítali studenti a učitelé odmocniny ručně. Existuje několik způsobů, jak ručně vypočítat druhou odmocninu čísla. Některé z nich nabízejí pouze přibližné řešení, jiné dávají přesnou odpověď.

Kroky

Prvotní faktorizace

Rozdělte radikální číslo na faktory, které jsou čtvercovými čísly. V závislosti na radikálním čísle získáte přibližnou nebo přesnou odpověď. Čtvercová čísla jsou čísla, ze kterých lze vzít celou druhou odmocninu. Faktory jsou čísla, která po vynásobení dávají původní číslo. Například faktory čísla 8 jsou 2 a 4, protože 2 x 4 = 8, čísla 25, 36, 49 jsou čtvercová čísla, protože √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Čtvercové faktory jsou faktory , což jsou čtvercová čísla. Nejprve se pokuste rozdělit radikální číslo na čtvercové faktory.

Vypočítejte například druhou odmocninu ze 400 (ručně). Nejprve zkuste faktorizovat 400 na čtvercové faktory. 400 je násobek 100, to znamená dělitelné 25 - to je čtvercové číslo. Vydělením 400 25 získáte 16. Číslo 16 je také čtvercové číslo. Takže 400 lze rozdělit na čtvercové faktory 25 a 16, tedy 25 x 16 = 400.
To lze zapsat následovně: √400 = √(25 x 16).

Druhá odmocnina součinu některých členů se rovná součinu odmocnin každého členu, tj. √(a x b) = √a x √b.
- Pomocí tohoto pravidla odeberte druhou odmocninu každého čtvercového faktoru a vynásobte výsledky, abyste našli odpověď.
  - V našem příkladu vezměte odmocninu z 25 a 16.
  - √ (25 x 16)
  - √25 x √16
Pokud se radikální číslo nerozdělí na dva čtvercové faktory (a to se ve většině případů stává), nebudete schopni najít přesnou odpověď ve formě celého čísla.
- Problém ale můžete zjednodušit tak, že radikální číslo rozložíte na čtverec a obyčejný činitel (číslo, ze kterého nelze vzít celou odmocninu). Potom vezmete druhou odmocninu čtvercového činitele a vezmete odmocninu společného činitele.
  - Vypočítejte například druhou odmocninu z čísla 147. Číslo 147 nelze rozdělit na dva čtvercové faktory, ale lze jej rozložit na následující faktory: 49 a 3. Úlohu vyřešte následovně:
  - = √ (49 x 3)
  - = 7√3
= √49 x √3 V případě potřeby odhadněte hodnotu kořene.
- Nyní můžete odhadnout hodnotu odmocniny (najít přibližnou hodnotu) jejím porovnáním s hodnotami odmocnin čtvercových čísel, které jsou nejblíže (na obou stranách číselné osy) radikálnímu číslu. Odmocninu obdržíte jako desetinný zlomek, který je třeba vynásobit číslem za odmocninou.
  - Vraťme se k našemu příkladu. Radikálové číslo je 3. Čtvercová čísla nejblíže k němu budou čísla 1 (√1 = 1) a 4 (√4 = 2). Hodnota √3 se tedy nachází mezi 1 a 2. Protože hodnota √3 je pravděpodobně blíže 2 než 1, náš odhad je: √3 = 1,7. Tuto hodnotu vynásobíme číslem u kořenového znaménka: 7 x 1,7 = 11,9. Pokud si to spočítáte na kalkulačce, dostanete 12,13, což je docela blízko naší odpovědi.
Tato metoda funguje i s velkými čísly. Uvažujme například √35. Radikální číslo je 35. Nejbližší čtvercová čísla k němu budou čísla 25 (√25 = 5) a 36 (√36 = 6). Hodnota √35 se tedy nachází mezi 5 a 6. Protože hodnota √35 je mnohem blíže 6 než 5 (protože 35 je pouze o 1 méně než 36), můžeme říci, že √35 je o něco méně než 6 Kontrola na kalkulačce nám dává odpověď 5,92 - měli jsme pravdu. Dalším způsobem je faktor radikálního čísla do prvočinitelů.
- Prvočísla jsou čísla, která jsou dělitelná pouze 1 a sami sebou. Zapište prvočinitele do řady a najděte dvojice stejných činitelů. Takové faktory lze vyjmout z kořenového znaku.
- Například vypočítejte druhou odmocninu z 45. Radikálové číslo rozložíme na prvočinitele: 45 = 9 x 5 a 9 = 3 x 3. Tedy √45 = √(3 x 3 x 5). 3 lze vyjmout jako kořenové znaménko: √45 = 3√5. Nyní můžeme odhadnout √5.
  - Podívejme se na další příklad: √88.
  - = √ (2 x 44)
  - = √ (2 x 4 x 11)
  - = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nyní můžete vyhodnotit √2 a √11 a najít přibližnou odpověď.
Ruční výpočet druhé odmocniny

Použití dlouhého dělení
1. Tato metoda zahrnuje proces podobný dlouhému dělení a poskytuje přesnou odpověď. Nejprve nakreslete svislou čáru rozdělující list na dvě poloviny a poté vpravo a mírně pod horní okraj listu nakreslete vodorovnou čáru ke svislé čáře. Nyní rozdělte radikální číslo na dvojice čísel, počínaje zlomkovou částí za desetinnou čárkou. Takže číslo 79520789182.47897 je zapsáno jako "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Vypočítejme například druhou odmocninu z čísla 780,14. Nakreslete dvě čáry (jak je znázorněno na obrázku) a zapište dané číslo ve tvaru „7 80, 14“ vlevo nahoře. Je normální, že první číslice zleva je nepárová číslice. Odpověď (kořen tohoto čísla) napíšete vpravo nahoře.
2. Pro první dvojici čísel (nebo jediné číslo) zleva najděte největší celé číslo n, jehož druhá mocnina je menší nebo rovna příslušné dvojici čísel (nebo jedinému číslu).
  - Jinými slovy, najděte druhé číslo, které je nejbližší, ale menší než první pár čísel (nebo jediné číslo) zleva, a vezměte druhou odmocninu tohoto druhého čísla; dostanete číslo n. Napište n, které jste našli vpravo nahoře, a zapište druhou mocninu n vpravo dole.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. V našem případě bude první číslo vlevo 7. Dále 4 Odečtěte druhou mocninu čísla n, které jste právě našli, od první dvojice čísel (nebo jediného čísla) vlevo.
  - Výsledek výpočtu zapište pod subtrahend (druhou mocninu čísla n).
4. V našem příkladu odečtěte 4 od 7 a dostanete 3. Sejměte druhou dvojici čísel a zapište ji vedle hodnoty získané v předchozím kroku.
  - Potom zdvojnásobte číslo vpravo nahoře a výsledek zapište vpravo dole s přidáním "_×_=".
5. V našem příkladu je druhá dvojice čísel "80". Za 3 napište "80". Potom zdvojnásobte číslo vpravo nahoře a dostanete 4. Napište "4_×_=" vpravo dole.
  - Vyplňte prázdná místa vpravo.
6. Pokud v našem případě dáme místo pomlček číslo 8, pak 48 x 8 = 384, což je více než 380. Proto je 8 příliš velké číslo, ale 7 bude stačit. Napište 7 místo pomlček a dostanete: 47 x 7 = 329. Napište 7 vpravo nahoře - to je druhá číslice v požadované druhé odmocnině čísla 780,14. Odečtěte výsledné číslo od aktuálního čísla vlevo.
  - Výsledek z předchozího kroku zapiš pod aktuální číslo vlevo, najdi rozdíl a zapiš ho pod subtrahend.
7. V našem příkladu odečtěte 329 od 380, což se rovná 51. Pokud je dvojice přenášených čísel zlomková část původního čísla, vložte oddělovač (čárku) mezi celé číslo a zlomkovou část v požadované druhé odmocnině vpravo nahoře. Vlevo stáhněte další dvojici čísel. Zdvojnásobte číslo vpravo nahoře a výsledek zapište vpravo dole s přidáním "_×_=".
  - V našem příkladu bude další dvojicí čísel, která mají být odstraněna, zlomková část čísla 780,14, takže umístěte oddělovač celého čísla a zlomkové části do požadované druhé odmocniny vpravo nahoře. Sundejte 14 a zapište si to vlevo dole. Dvojité číslo vpravo nahoře (27) je 54, takže vpravo dole napište "54_×_=".
8. Opakujte kroky 5 a 6. Najděte největší číslo na místě pomlček vpravo (místo pomlček je třeba dosadit stejné číslo), aby výsledek násobení byl menší nebo roven aktuálnímu číslu vlevo.
  - V našem příkladu je 549 x 9 = 4941, což je méně než aktuální číslo vlevo (5114). Vpravo nahoře napište 9 a od aktuálního čísla vlevo odečtěte výsledek násobení: 5114 - 4941 = 173.
9. Pokud potřebujete najít více desetinných míst pro druhou odmocninu, napište několik nul nalevo od aktuálního čísla a opakujte kroky 4, 5 a 6. Opakujte kroky, dokud nezískáte přesnost odpovědi (počet desetinných míst). potřeba.
Pochopení procesu
1. Zvažte první dvojici číslic Sa čísla S (v našem příkladu Sa = 7) a najděte jeho druhou odmocninu. V tomto případě bude první číslicí A požadované druhé odmocniny číslice, jejíž druhá mocnina je menší nebo rovna S a (to znamená, že hledáme A takové, že nerovnost A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Řekněme, že potřebujeme vydělit 88962 7; zde bude první krok podobný: vezmeme v úvahu první číslici dělitelného čísla 88962 (8) a vybereme největší číslo, které po vynásobení 7 dá hodnotu menší nebo rovnou 8. To znamená, že hledáme číslo d, pro které platí nerovnost: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. V duchu si představte čtverec, jehož plochu musíte vypočítat. Hledáte L, tedy délku strany čtverce, jehož obsah se rovná S. A, B, C jsou čísla v čísle L. Můžete to napsat různě: 10A + B = L (pro dvoumístné číslo) nebo 100A + 10B + C = L (pro třímístné číslo) a tak dále.
  - Nechat (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Pamatujte, že 10A+B je číslo, ve kterém číslice B znamená jednotky a číslice A znamená desítky. Pokud například A=1 a B=2, pak 10A+B se rovná číslu 12. (10A+B)² je plocha celého náměstí, 100A²- plocha velkého vnitřního náměstí, B²- plocha malého vnitřního čtverce, 10A×B- plocha každého ze dvou obdélníků. Sečtením ploch popsaných obrazců zjistíte plochu původního čtverce.

Manžel. kořen, krček, kořen · odvádí. pohrdavý kořen, zvětšující kořen, podzemní část jakékoli rostliny. U stromů jsou primární a boční kořeny a s nimi kořeny a malé laloky. absorbující vlhkost. Kořen může být: baňatý, ... ... Dahlův vysvětlující slovník

KOŘEN, rn, množné číslo. rni, rni, manžel. 1. Podzemní část rostliny, která slouží k jejímu zpevnění v půdě a přijímání vody a živin z ní. Hlavní, boční, vedlejší kořeny Vzdušné kořeny (u lián a některých dalších rostlin vysoko nad zemí... Ozhegovův výkladový slovník

- (radix), jeden z hlavních vegetativních orgánů listnatých rostlin, sloužící k přichycení k substrátu, absorpci vody a živin z něj. látek. Fylogeneticky K. vznikl později než stonek a pravděpodobně vznikl z kořenovitého... ... Biologický encyklopedický slovník

Viz začátek, důvod, původ, vykořenit, zakořenit... Slovník ruských synonym a podobných výrazů. pod. vyd. N. Abramova, M.: Ruské slovníky, 1999. kořen, počátek, příčina, původ; radikál; páteř, jádro, ... ... Slovník synonym

vykořenit- ROOT, rnya, m. 1. Příteli, kamaráde. 2. Mužský pohlavní orgán Malý muž vrůstá do kořene Kořen silný je starý, věrný přítel. 1. možné kontaminace sidekickem... Slovník ruského argotu

V matematice..1) je kořenem stupně n čísla libovolné číslo x (označené a se nazývá radikální výraz), jehož n-tý stupeň je roven a (). Akce nalezení kořene se nazývá extrahování kořene2)] Kořenem rovnice je číslo, které po... ...

Primární kořen zůstává v mnoha jehličnatých stromech po celý život a vyvíjí se ve formě silného kořenového kořene, z něhož vycházejí postranní kořeny. Méně často, jako u některých borovic, je primární kořen nedostatečně vyvinutý a je nahrazen postranními. Kromě těch dlouhých...... Biologická encyklopedie

- (matematické), 1) Odmocnina stupně n čísla a Číslo, jehož n-tý stupeň je roven danému číslu a (označeno; a se nazývá radikální výraz). Akt nalezení kořene se nazývá extrakce kořene. 2) Řešení hodnoty rovnice... ... Moderní encyklopedie

V biologii jeden z hlavních orgánů rostlin, sloužící ke zpevňování půdy, vstřebávání vody, minerálů, syntéze organických sloučenin a také k uvolňování některých metabolických produktů. Kořen může být úložným místem pro náhradní... ... Velký encyklopedický slovník

V lingvistice neodvozený (jednoduchý) slovní kmen, který neobsahuje žádné přípony. Kořen je lexikální jádro slova, tedy nese jeho základní skutečný význam... Velký encyklopedický slovník

knihy

Kořen všeho zla, Williams R. Donald Bailey není obtížný teenager, ale prostě nešťastný. Tím, že se dopustil nenapravitelného činu, ztratil důvěru svých přátel, lásku své matky a svůj vlastní klid. Co mu zbývá? Utéct od...
Kořen problému, Henry R. Brandt. Autor této knihy nabízí velmi jednoduchou biblickou pravdu, jak se zbavit všech druhů duševních poruch: uvědomění si hříchu jako hlavní příčiny všech problémů a pokání za spáchané hříchy. V…

Fakt 1.
\(\bullet\) Vezměme nějaké nezáporné číslo \(a\) (tj. \(a\geqslant 0\) ). Potom (aritmetika) odmocnina z čísla \(a\) se nazývá takové nezáporné číslo \(b\) , při umocnění dostaneme číslo \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(stejné jako )\quad a=b^2\] Z definice vyplývá, že \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Tato omezení jsou důležitou podmínkou existence odmocniny a je třeba si je pamatovat!
Pamatujte si, že každé číslo na druhou dává nezáporný výsledek. To znamená, \(100^2=10000\geqslant 0\) a \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Čemu se rovná \(\sqrt(25)\)? Víme, že \(5^2=25\) a \((-5)^2=25\) . Protože podle definice musíme najít nezáporné číslo, pak \(-5\) není vhodné, proto \(\sqrt(25)=5\) (protože \(25=5^2\) ).
Nalezení hodnoty \(\sqrt a\) se nazývá převzetí druhé odmocniny čísla \(a\) a číslo \(a\) se nazývá radikální výraz.
\(\bullet\) Na základě definice výraz \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\) atd. nedávají smysl.

Fakt 2.
Pro rychlé výpočty bude užitečné naučit se tabulku druhých mocnin přirozených čísel od \(1\) do \(20\) : \[\begin(pole)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(pole)\]

Fakt 3.
Jaké operace můžete dělat s odmocninami?
\(\kulka\) Součet nebo rozdíl druhých odmocnin NENÍ ROVNÝ druhé odmocnině součtu nebo rozdílu, tzn \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Pokud tedy potřebujete vypočítat například \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , musíte nejprve najít hodnoty \(\sqrt(25)\) a \(\ sqrt(49)\ ) a poté je složte. Proto, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Pokud při přidávání \(\sqrt a+\sqrt b\) nelze najít hodnoty \(\sqrt a\) nebo \(\sqrt b\), pak se takový výraz dále netransformuje a zůstane tak, jak je. Například v součtu \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) můžeme najít \(\sqrt(49)\) je \(7\) , ale \(\sqrt 2\) nelze transformovat do v žádném případě, proto \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Bohužel tento výraz nelze dále zjednodušit\(\bullet\) Součin/podíl odmocnin se rovná druhé odmocnině součinu/podílu, tzn. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (za předpokladu, že obě strany rovnosti dávají smysl)
Příklad: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\).
Podívejme se na příklad. Pojďme najít \(\sqrt(44100)\) . Od \(44100:100=441\) , pak \(44100=100\cdot 441\) . Podle kritéria dělitelnosti je číslo \(441\) dělitelné \(9\) (protože součet jeho číslic je 9 a je dělitelný 9), proto \(441:9=49\), tedy \(441=9\ cdot 49\) .
Tak jsme dostali: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Podívejme se na další příklad: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ukažme si, jak zadávat čísla pod odmocninu na příkladu výrazu \(5\sqrt2\) (krátký zápis pro výraz \(5\cdot \sqrt2\)). Protože \(5=\sqrt(25)\) , tak \ Všimněte si také, že např.
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\),
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

proč tomu tak je? Vysvětlíme na příkladu 1). Jak již chápete, nemůžeme nějak transformovat číslo \(\sqrt2\). Představme si, že \(\sqrt2\) je nějaké číslo \(a\) . V souladu s tím výraz \(\sqrt2+3\sqrt2\) není nic jiného než \(a+3a\) (jedno číslo \(a\) plus tři další stejná čísla \(a\)). A víme, že se to rovná čtyřem takovým číslům \(a\) , tedy \(4\sqrt2\) .

Fakt 4.
\(\bullet\) Často říkají „nemůžete extrahovat kořen“, když se při hledání hodnoty čísla nemůžete zbavit znaménka \(\sqrt () \ \) kořene (radikálu) . Například můžete vzít odmocninu čísla \(16\), protože \(16=4^2\) , tedy \(\sqrt(16)=4\) . Je však nemožné extrahovat odmocninu čísla \(3\), tedy najít \(\sqrt3\), protože neexistuje žádné číslo, které by umocněno dalo \(3\) .
Taková čísla (nebo výrazy s takovými čísly) jsou iracionální. Například čísla \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) atd. jsou iracionální.
Iracionální jsou také čísla \(\pi\) (číslo „pi“, přibližně rovno \(3,14\)), \(e\) (toto číslo se nazývá Eulerovo číslo, je přibližně rovno \(2,7) \)) atd.
\(\bullet\) Upozorňujeme, že jakékoli číslo bude buď racionální, nebo iracionální. A dohromady všechna racionální a všechna iracionální čísla tvoří množinu tzv množina reálných čísel. Tato množina je označena písmenem \(\mathbb(R)\) .
To znamená, že všechna čísla, která v současnosti známe, se nazývají reálná čísla.

Fakt 5.
\(\bullet\) Modul reálného čísla \(a\) je nezáporné číslo \(|a|\) rovné vzdálenosti od bodu \(a\) do \(0\) na skutečná čára. Například \(|3|\) a \(|-3|\) se rovnají 3, protože vzdálenosti od bodů \(3\) a \(-3\) do \(0\) jsou stejné a rovné \(3 \) .
\(\bullet\) Jestliže \(a\) je nezáporné číslo, pak \(|a|=a\) .
Příklad: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) .
\(\bullet\) Jestliže \(a\) je záporné číslo, pak \(|a|=-a\) . Příklad: \(|-5|=-(-5)=5\) ;.
\(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
Říká se, že pro záporná čísla modul „sežere“ mínus, zatímco kladná čísla, stejně jako číslo \(0\), modul ponechá beze změny. ALE Toto pravidlo platí pouze pro čísla. Pokud je pod vaším znaménkem modulu neznámá \(x\) (nebo nějaká jiná neznámá), například \(|x|\) , o které nevíme, zda je kladná, nulová nebo záporná, pak se zbavte modulu nemůžeme. V tomto případě tento výraz zůstává stejný: \(|x|\) .\(\bullet\) Platí následující vzorce: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]
\[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(poskytováno) a\geqslant 0\] Velmi často dochází k následující chybě: říkají, že \(\sqrt(a^2)\) a \((\sqrt a)^2\) jsou jedno a totéž. To platí pouze v případě, že \(a\) je kladné číslo nebo nula. Ale pokud je \(a\) záporné číslo, pak je to nepravda. Stačí vzít v úvahu tento příklad. Vezměme místo \(a\) číslo \(-1\) . Potom \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ale výraz \((\sqrt (-1))^2\) vůbec neexistuje (koneckonců, není možné použít kořenový znak dejte záporná čísla!). Proto upozorňujeme na skutečnost, že \(\sqrt(a^2)\) se nerovná \((\sqrt a)^2\) ! Příklad: 1)<0\) ;

\(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\) , protože \(-\sqrt2
\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) .
\(\bullet\) Protože \(\sqrt(a^2)=|a|\) , pak \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
(výraz \(2n\) označuje sudé číslo)
To znamená, že když vezmeme odmocninu čísla, které je do určité míry, tento stupeň se zmenší na polovinu.
Příklad:

1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (všimněte si, že pokud modul není dodán, ukáže se, že kořen čísla je roven \(-25\) ) ; ale pamatujeme si, že podle definice kořene se to nemůže stát: při extrakci kořene bychom měli vždy dostat kladné číslo nebo nulu)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (protože jakékoli číslo na sudou mocninu není záporné)<\sqrt b\) , то \(a\(\bullet\) Protože \(\sqrt(a^2)=|a|\) , pak \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
1) porovnejte \(\sqrt(50)\) a \(6\sqrt2\) . Nejprve transformujme druhý výraz na \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Tedy od \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mezi jakými celými čísly se nachází \(\sqrt(50)\)?
Protože \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) a \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Porovnejme \(\sqrt 2-1\) a \(0,5\) . Předpokládejme, že \(\sqrt2-1>0,5\) : \[\begin(zarovnáno) &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text((přidejte jednu na obě strany))\\ &\sqrt2>0,5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((zarovnání na obě strany)\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(zarovnáno)\] Vidíme, že jsme dostali nesprávnou nerovnost. Náš předpoklad byl tedy nesprávný a \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Všimněte si, že přidání určitého čísla na obě strany nerovnosti neovlivní její znaménko. Násobení/dělení obou stran nerovnosti kladným číslem také neovlivní její znaménko, ale násobení/dělení záporným číslem znaménko nerovnosti obrátí!
Obě strany rovnice/nerovnice můžete odmocnit POUZE POKUD jsou obě strany nezáporné. Například v nerovnosti z předchozího příkladu můžete odmocnit obě strany, v nerovnosti \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Je třeba si to zapamatovat \[\začátek(zarovnáno) &\sqrt 2\přibližně 1,4\\ &\sqrt 3\přibližně 1,7 \konec (zarovnáno)\] Znalost přibližného významu těchto čísel vám pomůže při porovnávání čísel!
\(\bullet\) Abyste mohli extrahovat odmocninu (pokud ji lze extrahovat) z nějakého velkého čísla, které není v tabulce čtverců, musíte nejprve určit, mezi kterými „stovkami“ se nachází, poté – mezi kterými „ desítky“ a poté určete poslední číslici tohoto čísla. Ukažme si, jak to funguje na příkladu.
Vezměme \(\sqrt(28224)\) . Víme, že \(100^2=10\000\), \(200^2=40\000\) atd. Všimněte si, že \(28224\) je mezi \(10\,000\) a \(40\,000\) . Proto je \(\sqrt(28224)\) mezi \(100\) a \(200\) .
Zkusme určit poslední číslici. Připomeňme si, jaká jednociferná čísla po odmocnění dávají na konci \(4\)? Jsou to \(2^2\) a \(8^2\) . Proto \(\sqrt(28224)\) bude končit buď 2 nebo 8. Pojďme to zkontrolovat. Pojďme najít \(162^2\) a \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Proto \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

K adekvátnímu vyřešení Jednotné státní zkoušky z matematiky je nutné nejprve prostudovat teoretický materiál, který vás seznámí s mnoha větami, vzorci, algoritmy atd. Na první pohled se může zdát, že je to docela jednoduché. Najít zdroj, ve kterém by byla teorie pro Jednotnou státní zkoušku z matematiky prezentována snadným a srozumitelným způsobem pro studenty jakékoli úrovně vzdělání, je však ve skutečnosti poměrně obtížný úkol. Školní učebnice nelze mít vždy po ruce. A najít základní vzorce pro Jednotnou státní zkoušku z matematiky může být obtížné i na internetu.

Proč je tak důležité studovat teorii v matematice nejen pro ty, kteří skládají jednotnou státní zkoušku?

Protože vám to rozšíří obzory. Studium teoretického materiálu v matematice je užitečné pro každého, kdo chce získat odpovědi na širokou škálu otázek souvisejících se znalostí okolního světa. Vše v přírodě je uspořádané a má jasnou logiku. Právě to se odráží ve vědě, jejímž prostřednictvím je možné porozumět světu.
Protože rozvíjí inteligenci. Studiem referenčních materiálů k jednotné státní zkoušce z matematiky a řešením různých problémů se člověk učí logicky myslet a uvažovat, kvalifikovaně a jasně formulovat myšlenky. Rozvíjí schopnost analyzovat, zobecňovat a vyvozovat závěry.

Zveme vás k osobnímu posouzení všech výhod našeho přístupu k systematizaci a prezentaci vzdělávacích materiálů.