Definice

Rovnoběžník je čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné ve dvojicích.

Věta (první znak rovnoběžníku)

Pokud jsou dvě strany čtyřúhelníku stejné a rovnoběžné, pak je čtyřúhelník rovnoběžník.

Důkaz

Nechť strany \(AB\) a \(CD\) jsou rovnoběžné ve čtyřúhelníku \(ABCD\) a \(AB = CD\) .

Nakreslíme úhlopříčku \(AC\) rozdělující tento čtyřúhelník na dva stejné trojúhelníky: \(ABC\) a \(CDA\) . Tyto trojúhelníky jsou stejné ve dvou stranách a úhel mezi nimi (\(AC\) – společná strana, \(AB = CD\) podle podmínky, \(\úhel 1 = \úhel 2\) jako příčné úhly na průsečíku rovnoběžných čar \(AB\) a \(CD\) příčným \(AC\) ), proto \(\úhel 3 = \úhel 4\) . Ale úhly \(3\) a \(4\) leží napříč v průsečíku přímek \(AD\) a \(BC\) sečnou \(AC\), proto \(AD\paralelní př.n.l. \) . Ve čtyřúhelníku \(ABCD\) jsou tedy opačné strany po párech rovnoběžné, a proto je čtyřúhelník \(ABCD\) rovnoběžník.

Věta (druhé znaménko rovnoběžníku)

Pokud jsou ve čtyřúhelníku opačné strany ve dvojicích stejné, pak je tento čtyřúhelník rovnoběžník.

Důkaz

Nakreslíme úhlopříčku \(AC\) tohoto čtyřúhelníku \(ABCD\) a rozdělíme jej na trojúhelníky \(ABC\) a \(CDA\) .

Tyto trojúhelníky jsou stejné na třech stranách (\(AC\) – společný, \(AB = CD\) a \(BC = DA\) podle podmínky), proto \(\úhel 1 = \úhel 2\) – ležící napříč na \(AB\) a \(CD\) a sečnu \(AC\) . Z toho vyplývá, že \(AB\paralelní CD\) . Protože \(AB = CD\) a \(AB\paralelní CD\) , pak podle prvního kritéria rovnoběžníku je čtyřúhelník \(ABCD\) rovnoběžník.

Věta (třetí znaménko rovnoběžníku)

Pokud se úhlopříčky čtyřúhelníku protínají a jsou půleny průsečíkem, pak je čtyřúhelník rovnoběžník.

Důkaz

Uvažujme čtyřúhelník \(ABCD\), ve kterém se úhlopříčky \(AC\) a \(BD\) protínají v bodě \(O\) a jsou tímto bodem půleny.

Trojúhelníky \(AOB\) a \(COD\) jsou si rovny podle prvního znaménka rovnosti trojúhelníků (\(AO = OC\), \(BO = OD\) podle podmínky, \(\úhel AOB = \úhel COD\) as vertikální úhly), takže \(AB = CD\) a \(\úhel 1 = \úhel 2\) . Z rovnosti úhlů \(1\) a \(2\) (příčně ležících na \(AB\) a \(CD\) a sečny \(AC\) ) vyplývá, že \(AB\paralelní CD \) .

Takže ve čtyřúhelníku \(ABCD\) jsou strany \(AB\) a \(CD\) stejné a rovnoběžné, což znamená, že podle prvního kritéria rovnoběžníku je čtyřúhelník \(ABCD\) rovnoběžník. .

Vlastnosti rovnoběžníku:

1. V rovnoběžníku jsou opačné strany stejné a opačné úhly jsou stejné.

2. Úhlopříčky rovnoběžníku jsou rozděleny na polovinu průsečíkem.

Vlastnosti osy rovnoběžníku:

1. Osa rovnoběžníku z něj odřízne rovnoramenný trojúhelník.

2. Osy sousední rohy rovnoběžníky se protínají v pravém úhlu.

3. Segmenty osy s opačnými úhly jsou stejné a rovnoběžné.

Důkaz

1) Nechť \(ABCD\) je rovnoběžník, \(AE\) je osa úhlu \(BAD\) .

Úhly \(1\) a \(2\) jsou stejné, leží napříč s rovnoběžnými čarami \(AD\) a \(BC\) a sečnou \(AE\). Úhly \(1\) a \(3\) jsou stejné, protože \(AE\) je osa. Nakonec \(\úhel 3 = \úhel 1 = \úhel 2\), což znamená, že trojúhelník \(ABE\) je rovnoramenný.

2) Nechť \(ABCD\) je rovnoběžník, \(AN\) a \(BM\) jsou osy úhlů \(BAD\) a \(ABC\).

Protože součet jednostranných úhlů pro rovnoběžné úsečky a transversály je roven \(180^(\circ)\), pak \(\úhel DAB + \úhel ABC = 180^(\circ)\).

Protože \(AN\) a \(BM\) jsou osy \(\úhel BAN + \úhel ABM = 0,5(\úhel DAB + \úhel ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), kde \(\úhel AOB = 180^\circ - (\úhel BAN + \úhel ABM) = 90^\circ\).

3. Nechť \(AN\) a \(CM\) jsou osy úhlů rovnoběžníku \(ABCD\) .

Protože opačné úhly v rovnoběžníku jsou stejné \(\úhel 2 = 0,5\cdot\úhel BAD = 0,5\cdot\úhel BCD = \úhel 1\). Kromě toho jsou úhly \(1\) a \(3\) stejné a leží napříč s rovnoběžnými čarami \(AD\) a \(BC\) a sečnou \(CM\), pak \(\úhel 2 = \angle 3\) , což znamená, že \(AN\paralelní CM\) . Navíc, \(AM\paralelní CN\) , pak \(ANCM\) je rovnoběžník, proto \(AN = CM\) .

Střední čára obrazce v planimetrii - segment spojující středy dvou stran daného obrazce. Pojem se používá pro následující obrázky: trojúhelník, čtyřúhelník, lichoběžník.

Střední čára trojúhelníku

Vlastnosti

• střední čára trojúhelníku je rovnoběžná se základnou a rovná se její polovině.
• střední čára ořízne trojúhelník podobný a stejnorodý jako původní s koeficientem 1/2; jeho plocha se rovná jedné čtvrtině plochy původního trojúhelníku.
• tři prostřední čáry rozdělují původní trojúhelník na čtyři stejné trojúhelníky. Střed těchto trojúhelníků se nazývá komplementární nebo střední trojúhelník.

Známky

• pokud je úsečka rovnoběžná s jednou ze stran trojúhelníku a spojuje střed jedné strany trojúhelníku s bodem ležícím na druhé straně trojúhelníku, pak je to středová čára.

Středová čára čtyřúhelníku

Středová čára čtyřúhelníku- segment spojující středy protilehlých stran čtyřúhelníku.

Vlastnosti

První řádek spojuje 2 protilehlé strany. Druhý spojuje 2 další protilehlé strany. Třetí spojuje středy dvou úhlopříček (ne ve všech čtyřúhelnících jsou úhlopříčky v průsečíku rozděleny na polovinu).

• Pokud se v konvexním čtyřúhelníku tvoří střední čára stejné úhly s úhlopříčkami čtyřúhelníku, pak jsou úhlopříčky stejné.
• Délka středové čáry čtyřúhelníku je menší než polovina součtu ostatních dvou stran nebo se jí rovná, pokud jsou tyto strany rovnoběžné, a to pouze v tomto případě.
• Středy stran libovolného čtyřúhelníku jsou vrcholy rovnoběžníku. Jeho plocha se rovná polovině plochy čtyřúhelníku a jeho střed leží v průsečíku středních čar. Tento rovnoběžník se nazývá Varignonův rovnoběžník;
• Poslední bod znamená následující: V konvexním čtyřúhelníku můžete nakreslit čtyři středové čáry druhého druhu. Středové čáry druhého druhu- čtyři segmenty uvnitř čtyřúhelníku, procházející středy jeho přilehlých stran rovnoběžně s úhlopříčkami. Čtyři středové čáry druhého druhu konvexního čtyřúhelníku, rozřízněte jej na čtyři trojúhelníky a jeden středový čtyřúhelník. Tento centrální čtyřúhelník je Varignonův rovnoběžník.
• Průsečík středních os čtyřúhelníku je jejich společným středem a půlí segment spojující středy úhlopříček. Navíc je těžištěm vrcholů čtyřúhelníku.
• V libovolném čtyřúhelníku je vektor střední čáry roven polovině součtu vektorů základen.

Středová čára lichoběžníku

Středová čára lichoběžníku

Středová čára lichoběžníku- segment spojující středy stran tohoto lichoběžníku. Úsek spojující středy základen lichoběžníku se nazývá druhá střední čára lichoběžníku.

Vypočítá se pomocí vzorce: E F = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), Kde INZERÁT A B.C.- základna lichoběžníku.

Čtyřúhelník, ve kterém jsou pouze dvě strany rovnoběžné, se nazývá lichoběžník.

Rovnoběžné strany lichoběžníku se nazývají jeho důvodů a ty strany, které nejsou rovnoběžné, se nazývají strany. Pokud jsou strany stejné, pak je takový lichoběžník rovnoramenný. Vzdálenost mezi základnami se nazývá výška lichoběžníku.

Lichoběžník střední linie

Středová čára je segment spojující středy bočních stran lichoběžníku. Středová čára lichoběžníku je rovnoběžná s jeho základnami.

Teorém:

Pokud je přímka protínající střed jedné strany rovnoběžná se základnami lichoběžníku, pak půlí druhou stranu lichoběžníku.

Teorém:

Délka prostřední čáry se rovná aritmetickému průměru délek jejích základen

MN || AB || DC
AM = MD; BN=NC

MN střední čára, AB a CD - báze, AD a BC - laterální strany

MN = (AB + DC)/2

Teorém:

Délka střední čáry lichoběžníku se rovná aritmetickému průměru délek jeho základen.

Hlavní úkol: Dokažte, že středová čára lichoběžníku půlí segment, jehož konce leží uprostřed základen lichoběžníku.

Střední linie trojúhelníku

Úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku se nazývá střední čára trojúhelníku. Je rovnoběžná se třetí stranou a její délka se rovná polovině délky třetí strany.
Teorém: Pokud je přímka protínající střed jedné strany trojúhelníku rovnoběžná s druhou stranou trojúhelníku, pak půlí třetí stranu.

AM = MC a BN = NC =>

Použití vlastností středové čáry trojúhelníku a lichoběžníku

Rozdělení segmentu na určitý počet stejných částí.
Úkol: Rozdělte segment AB na 5 stejných částí.
Řešení:
Nechť p je náhodný paprsek, jehož počátkem je bod A a který neleží na přímce AB. Postupně jsme odložili 5 stejných segmentů na p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 ​​​​A 5
Spojíme A 5 s B a vedeme takové čáry přes A 4, A 3, A 2 a A 1, které jsou rovnoběžné s A 5 B. Protínají AB v bodech B 4, B 3, B 2 a B 1. Tyto body rozdělují segment AB na 5 stejných částí. Z lichoběžníku BB 3 A 3 A 5 skutečně vidíme, že BB 4 = B 4 B 3. Stejně tak z lichoběžníku B 4 B 2 A 2 A 4 získáme B 4 B 3 = B 3 B 2

Zatímco z lichoběžníku B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Pak z B 2 AA 2 vyplývá, že B 2 B 1 = B 1 A. Závěrem dostáváme:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Je jasné, že k rozdělení úsečky AB na jiný počet stejných částí musíme na paprsek p promítnout stejný počet stejných úseček. A pak pokračujte výše popsaným způsobem.

Střední čára trojúhelníku

Vlastnosti

• Prostřední čára trojúhelníku je rovnoběžná se třetí stranou a rovná se její polovině.
• během všech tři průměrnéčáry, vzniknou 4 stejné trojúhelníky, podobné (i homotetické) původnímu s koeficientem 1/2.
• střední čára odřízne trojúhelník, který je podobný tomuto trojúhelníku, a jeho plocha se rovná jedné čtvrtině plochy původního trojúhelníku.

Středová čára čtyřúhelníku

Středová čára čtyřúhelníku- segment spojující středy protilehlých stran čtyřúhelníku.

Vlastnosti

První řádek spojuje 2 protilehlé strany. Druhý spojuje další 2 protilehlé strany. Třetí spojuje středy dvou úhlopříček (ne všechny čtyřúhelníky mají středy, které se protínají)

• Jestliže v konvexním čtyřúhelníku svírá střední čára stejné úhly s úhlopříčkami čtyřúhelníku, pak jsou úhlopříčky stejné.
• Délka středové čáry čtyřúhelníku je menší než polovina součtu ostatních dvou stran nebo se jí rovná, pokud jsou tyto strany rovnoběžné, a to pouze v tomto případě.
• Středy stran libovolného čtyřúhelníku jsou vrcholy rovnoběžníku. Jeho plocha se rovná polovině plochy čtyřúhelníku a jeho střed leží v průsečíku středních čar. Tento rovnoběžník se nazývá Varignonův rovnoběžník;
• Průsečík středních os čtyřúhelníku je jejich společným středem a půlí segment spojující středy úhlopříček. Navíc je těžištěm vrcholů čtyřúhelníku.
• V libovolném čtyřúhelníku je vektor střední čáry roven polovině součtu vektorů základen.

Středová čára lichoběžníku

Středová čára lichoběžníku- segment spojující středy stran tohoto lichoběžníku. Úsek spojující středy základen lichoběžníku se nazývá druhá střední čára lichoběžníku.

Vlastnosti

• střední čára je rovnoběžná se základnami a rovná se jejich polovičnímu součtu.

Viz také

Poznámky

Nadace Wikimedia.

2010.

Podívejte se, co je „Midline“ v jiných slovnících: STŘEDNÍ ČÁRA - (1) lichoběžníkový segment spojující středy bočních stran lichoběžníku. Středová čára lichoběžníku je rovnoběžná s jeho základnami a rovná se jejich polovičnímu součtu; (2) trojúhelníku, úsečka spojující středy dvou stran tohoto trojúhelníku: v tomto případě třetí strana... ...

Velká polytechnická encyklopedie Trojúhelník (lichoběžník) je úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku (strany lichoběžníku)...

Velký encyklopedický slovník střední čára - 24 středová čára: Pomyslná čára procházející profilem závitu tak, aby tloušťka osazení byla rovna šířce drážky. Zdroj…

Slovník-příručka termínů normativní a technické dokumentace Trojúhelník (lichoběžník), segment spojující středy dvou stran trojúhelníku (strany lichoběžníku). * * * STŘEDNÍ ČÁRA STŘEDNÍ ČÁRA trojúhelníku (lichoběžníku), segment spojující středy dvou stran trojúhelníku (boční strany lichoběžníku) ...

Velký encyklopedický slovník Encyklopedický slovník

Velký encyklopedický slovník- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takeelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: angl. středová čára; midtrack line vok. Mittellinie, fr rus. střední linie…Sporto terminų žodynas

Velký encyklopedický slovník- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau. atitikmenys: angl. středová čára; midtrack line vok. Mittellinie, fr rus. střední linie...Sporto terminų žodynas

1) S.l. trojúhelník, úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku (třetí strana se nazývá základna). S. l. trojúhelníku je rovnoběžná se základnou a rovná se její polovině; plocha částí trojúhelníku, na které jej c rozděluje. l., ... ... Velká sovětská encyklopedie

Úsek trojúhelníku spojující středy dvou stran trojúhelníku. Třetí strana trojúhelníku se nazývá základna trojúhelníku. S. l. trojúhelníku je rovnoběžná se základnou a rovná se polovině jeho délky. V libovolném trojúhelníku S. l. odřízne od ... ... Matematická encyklopedie

Trojúhelník (lichoběžník), segment spojující středy dvou stran trojúhelníku (strany lichoběžníku) ... Přírodní věda. Encyklopedický slovník

Zavedení

Geometrie je nedílnou součástí obecná kultura a geometrické metody slouží jako nástroj k pochopení světa, přispívají k utváření vědeckých představ o okolním prostoru a objevování harmonie a dokonalosti Vesmíru. Geometrie začíná trojúhelníkem. Již dvě tisíciletí je trojúhelník symbolem geometrie, ale není symbolem. Trojúhelník je atom geometrie. Trojúhelník je nevyčerpatelný – neustále se objevují jeho nové vlastnosti. Chcete-li mluvit o všech jeho známých vlastnostech, potřebujete objem srovnatelný s objemem Velká encyklopedie. Chceme mluvit o středních liniích geometrické tvary a jejich vlastnosti.

Naše práce sleduje řetězec teorémů, který pokrývá celý průběh geometrie. Začíná větou o středních osách trojúhelníku a vede k zajímavé vlastnostičtyřstěn a další mnohostěny.

Středová čára obrázku je segment spojující středy dvou stran daného obrázku.

Vlastnosti středových čar

Vlastnosti trojúhelníku:

· při nakreslení všech tří prostředních čar se vytvoří 4 stejné trojúhelníky, podobné původnímu s koeficientem 1/2.

· střední čára je rovnoběžná se základnou trojúhelníku a rovná se jeho polovině;

· prostřední čára ořízne trojúhelník, který je podobný tomuto trojúhelníku a jeho plocha se rovná jedné čtvrtině jeho plochy.

Vlastnosti čtyřúhelníku:

· jestliže v konvexním čtyřúhelníku svírá prostřední čára stejné úhly s úhlopříčkami čtyřúhelníku, pak jsou úhlopříčky stejné.

· délka středové čáry čtyřúhelníku je menší než polovina součtu ostatních dvou stran nebo je jí rovna, pokud jsou tyto strany rovnoběžné, a to pouze v tomto případě.

· středy stran libovolného čtyřúhelníku jsou vrcholy rovnoběžníku. Jeho plocha se rovná polovině plochy čtyřúhelníku a jeho střed leží v průsečíku středních čar. Tento rovnoběžník se nazývá Varignonův rovnoběžník;

· Průsečík středových čar čtyřúhelníku je jejich společným středem a půlí úsečku spojující středy úhlopříček. Navíc je těžištěm vrcholů čtyřúhelníku.

Vlastnosti lichoběžníku:

· střední čára je rovnoběžná se základnami lichoběžníku a rovná se jejich polovičnímu součtu;

Středy stran rovnoramenného lichoběžníku jsou vrcholy kosočtverce.

Trojúhelník, čtyřúhelník, rovnoběžník

K libovolnému trojúhelníku KLM lze připojit tři stejné trojúhelníky AKM, BLK, CLM, z nichž každý tvoří spolu s trojúhelníkem KLM rovnoběžník (obr. 1). V tomto případě AK = ML = KB a vrchol K sousedí se třemi úhly rovnými třem různým úhlům trojúhelníku, celkem 180°, proto K je střed úsečky AB; podobně je L středem segmentu BC a M je středem segmentu CA.

Věta 1. Spojíme-li středy stran v libovolném trojúhelníku, dostaneme čtyři stejné trojúhelníky, přičemž prostřední tvoří s každým z ostatních tří rovnoběžník.

Tato formulace zahrnuje všechny tři střední čáry trojúhelníku najednou.

Věta 2. Úsečka spojující středy dvou stran trojúhelníku je rovnoběžná s třetí stranou trojúhelníku a rovná se její polovině (viz obr. 1).

Právě tato věta a její opak – že přímka rovnoběžná se základnou a procházející středem jedné strany trojúhelníku rozděluje druhou stranu na polovinu – jsou nejčastěji potřeba při řešení úloh.

Z věty o středních osách trojúhelníku vyplývá vlastnost střední čáry lichoběžníku (obr. 2) a také věty o úsecích spojujících středy stran libovolného čtyřúhelníku.

Věta 3. Středy stran čtyřúhelníku jsou vrcholy rovnoběžníku. Strany tohoto rovnoběžníku jsou rovnoběžné s úhlopříčkami čtyřúhelníku a jejich délky se rovnají polovině délek úhlopříček.

Ve skutečnosti, pokud jsou K a L středy stran AB a BC (obr. 3), pak KL je střednice trojúhelníku ABC, proto je úsečka KL rovnoběžná s úhlopříčkou AC a rovná se její polovině; jestliže M a N jsou středy stran CD a AD, pak je segment MN také rovnoběžný s AC a roven AC/2. Úseky KL a MN jsou tedy rovnoběžné a navzájem si rovné, což znamená, že čtyřúhelník KLMN je rovnoběžník.

Jako důsledek z věty 3 dostáváme zajímavý fakt(sv. 4).

Věta 4. V každém čtyřúhelníku jsou segmenty spojující středy protilehlých stran rozděleny na polovinu průsečíkem.

V těchto segmentech jsou vidět úhlopříčky rovnoběžníku (viz obr. 3) a v rovnoběžníku jsou úhlopříčky rozděleny na polovinu průsečíkem (tento bod je středem symetrie rovnoběžníku).

Vidíme, že věty 3 a 4 a naše úvahy zůstávají pravdivé jak pro nekonvexní čtyřúhelník, tak pro samoprotínající se čtyřúhelník uzavřenou přerušovanou čarou (obr. 4; v druhém případě se může ukázat, že rovnoběžník KLMN je „degenerovaný“ - body K, L, M, N leží na stejné přímce).

Ukažme si, jak z vět 3 a 4 můžeme odvodit hlavní větu o mediánech trojúhelníku.

Věta 5. Mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě a jsou jím děleny v poměru 2:1 (počítáno od vrcholu, ze kterého je medián nakreslen).

Nakreslete dva mediány AL a SC trojúhelníku ABC. Nechť O je jejich průsečík. Středy stran nekonvexního čtyřúhelníku ABCO jsou body K, L, M a N (obr. 5) - vrcholy rovnoběžníku a průsečík jeho úhlopříček KM a LN pro naši konfiguraci bude průsečík mediánů O. Takže AN = NO = OL a CM = MO = OK, tj. bod O rozděluje každý z mediánů AL a CK v poměru 2:1.

Místo mediánu SC bychom mohli uvažovat medián nakreslený z vrcholu B a stejným způsobem se ujistit, že dělí medián AL v poměru 2:1, to znamená, že prochází stejným bodem O.

3. Čtyřúhelník a čtyřstěn. Hmotová centra

Věty 3 a 4 platí i pro jakoukoli prostorovou uzavřenou lomenou čáru sestávající ze čtyř vazeb AB, BC, CD, DA, jejichž čtyři vrcholy A, B, C, D neleží ve stejné rovině.

Takový prostorový čtyřúhelník lze získat vyříznutím čtyřúhelníku ABCD z papíru a jeho diagonálním ohnutím pod určitým úhlem (obr. 6, a). Je jasné, že středové čáry KL a MN trojúhelníků ABC a ADC zůstávají jejich středovými osami a budou rovnoběžné s úsečkou AC a rovny AC/2. (Zde využijeme toho, že základní vlastnost rovnoběžných přímek zůstává platná i pro prostor: jsou-li dvě přímky KL a MN rovnoběžné se třetí přímkou ​​AC, pak KL a MN leží ve stejné rovině a jsou vzájemně rovnoběžné.)

Body K, L, M, N jsou tedy vrcholy rovnoběžníku; Segmenty KM a LN se tedy protínají a jsou rozděleny na polovinu průsečíkem. Místo čtyřúhelníku můžeme mluvit o čtyřstěnu - trojúhelníkovém jehlanu ABCD: středy K, L, M, N jeho hran AB, AC, CD a DA leží vždy ve stejné rovině. Řezáním čtyřstěnu podél této roviny (obr. 6, b) získáme rovnoběžník KLMN, jehož dvě strany jsou rovnoběžné s hranou AC a rovny

AC/2 a další dva jsou rovnoběžné s hranou BD a rovny BD/2.

Stejný rovnoběžník – „střední část“ čtyřstěnu – lze sestrojit pro další dvojice protilehlých hran. Každé dva z těchto tří rovnoběžníků mají společnou úhlopříčku. V tomto případě se středy úhlopříček shodují. Dostáváme tedy zajímavý důsledek:

Věta 6. Tři segmenty spojující středy protilehlých hran čtyřstěnu se protínají v jednom bodě a jsou jím rozděleny na polovinu (obr. 7).

Tato a další výše diskutovaná fakta jsou přirozeně vysvětlena jazykem mechaniky – pomocí konceptu těžiště. Věta 5 hovoří o jednom z pozoruhodných bodů trojúhelníku – o průsečíku mediánů; ve větě 6 - o pozoruhodném bodě pro čtyři vrcholy čtyřstěnu. Tyto body jsou těžiště trojúhelníku a čtyřstěnu. Vraťme se nejprve k větě 5 o mediánech.

Umístíme tři stejná závaží na vrcholy trojúhelníku (obr. 8).

Vezměme hmotnost každého jako jeden. Pojďme najít těžiště tohoto zatěžovacího systému.

Uvažujme nejprve dvě zatížení umístěná ve vrcholech A a B: jejich těžiště je umístěno uprostřed segmentu AB, takže tato závaží lze nahradit jedním zatížením o hmotnosti 2 umístěným uprostřed K segmentu AB ( Obr. 8, a). Nyní musíte najít těžiště soustavy dvou zatížení: jedno s hmotností 1 v bodě C a druhé s hmotností 2 v bodě K. Podle pravidla páky se těžiště takového systému nachází v bod O, dělící segment SC v poměru 2:1 (blíže k zatížení v bodě K s větší hmotností - obr. 8, b).

Nejprve bychom mohli spojit zatížení v bodech B a C a poté výsledné zatížení hmotnosti 2 uprostřed L segmentu BC se zatížením v bodě A. Nebo nejprve zkombinovat zatížení A a C, a. pak přidejte B. V každém případě bychom měli dostat stejný výsledek. Těžiště se tedy nachází v bodě O, přičemž každý z mediánů se dělí v poměru 2:1, počítáno od vrcholu. Podobné úvahy by mohly vysvětlit Větu 4 - skutečnost, že úsečky spojující středy protilehlých stran čtyřúhelníku se navzájem rozdělují napůl (slouží jako úhlopříčky rovnoběžníku): stačí umístit stejná závaží na vrcholy čtyřúhelníku a kombinujte je ve dvojicích dvěma způsoby (obr. 9) .

Čtyři jednotková závaží umístěná v rovině nebo v prostoru (ve vrcholech čtyřstěnu) lze samozřejmě rozdělit do dvou dvojic třemi způsoby; těžiště se nachází uprostřed mezi středy segmentů spojujících tyto dvojice bodů (obr. 10) - vysvětlení věty 6. (Pro plochý čtyřúhelník vypadá získaný výsledek takto: dva segmenty spojující středy bodů protilehlé strany a segment spojující středy úhlopříček se protínají v jednom bodě O a rozdělují jej na polovinu).

Bodem O - těžištěm čtyř stejných zatížení - procházejí další čtyři segmenty, které spojují každý z nich s těžištěm dalších tří. Tyto čtyři segmenty jsou rozděleny bodem O v poměru 3:1. Pro vysvětlení této skutečnosti musíte nejprve najít těžiště tří závaží a poté připojit čtvrté.

4. Čtyřstěn, osmistěn, rovnoběžnostěn, krychle

Na začátku práce jsme se dívali na trojúhelník rozdělený středními čarami na čtyři stejné trojúhelníky (viz obr. 1). Zkusme udělat stejnou konstrukci pro libovolný trojúhelníkový jehlan (čtyřstěn). Rozřežme čtyřstěn na kousky následovně: středy tří hran vycházejících z každého vrcholu nakreslíme plochý řez (obr. 11, a). Poté se z čtyřstěnu vyříznou čtyři stejné malé čtyřstěny. Analogicky s trojúhelníkem by si člověk myslel, že uprostřed bude další podobný čtyřstěn. Ale není tomu tak: mnohostěn, který zbyde z velkého čtyřstěnu po odstranění čtyř malých, bude mít šest vrcholů a osm ploch – nazývá se osmistěn (obr. 11.6). Pohodlný způsob, jak to vyzkoušet, je použít kousek sýra ve tvaru čtyřstěnu. Výsledný osmistěn má střed symetrie, protože středy protilehlých hran čtyřstěnu se protínají v společný bod a rozdělit na polovinu.

Jedna zajímavá konstrukce je spojena s trojúhelníkem rozděleným středními čarami na čtyři trojúhelníky: tento obrazec můžeme považovat za rozvinutí určitého čtyřstěnu.

Představme si ostrý trojúhelník vystřižený z papíru. Ohnutím podél středních čar tak, aby se vrcholy sbíhaly v jednom bodě, a slepením okrajů papíru sbíhajících se v tomto bodě získáme čtyřstěn, ve kterém jsou všechny čtyři plochy stejné trojúhelníky; jeho protilehlé okraje jsou stejné (obr. 12). Takový čtyřstěn se nazývá polopravidelný. Každá ze tří „středních částí“ tohoto čtyřstěnu – rovnoběžníků, jejichž strany jsou rovnoběžné s protilehlými hranami a rovny se jejich polovinám – bude kosočtverec.

Proto jsou úhlopříčky těchto rovnoběžníků - tří segmentů spojujících středy protilehlých hran - na sebe kolmé. Mezi četnými vlastnostmi polopravidelného čtyřstěnu si všimneme následujícího: součet úhlů sbíhajících se v každém z jeho vrcholů je roven 180° (tyto úhly se rovnají úhlům původního trojúhelníku). Konkrétně, pokud začneme rovnostranným trojúhelníkem, dostaneme pravidelný čtyřstěn s

Na začátku práce jsme viděli, že každý trojúhelník lze považovat za trojúhelník tvořený středními čarami většího trojúhelníku. Pro takovou konstrukci neexistuje v prostoru žádná přímá analogie. Ukazuje se však, že jakýkoli čtyřstěn lze považovat za „jádro“ rovnoběžnostěnu, ve kterém všech šest hran čtyřstěnu slouží jako úhlopříčky ploch. Chcete-li to provést, musíte provést následující konstrukci ve vesmíru. Každou hranou čtyřstěnu vedeme rovinu rovnoběžnou s protější hranou. Roviny procházející protilehlými hranami čtyřstěnu budou vzájemně rovnoběžné (jsou rovnoběžné s rovinou „střední části“ - rovnoběžník s vrcholy uprostřed ostatních čtyř hran čtyřstěnu). To vytváří tři páry rovnoběžných rovin, jejichž průsečík tvoří požadovaný rovnoběžnostěn (dvě rovnoběžné roviny protíná třetí podél rovnoběžných přímek). Vrcholy čtyřstěnu slouží jako čtyři nesousedící vrcholy sestrojeného rovnoběžnostěnu (obr. 13). Naopak v libovolném rovnoběžnostěnu můžete vybrat čtyři nesousedící vrcholy a odříznout z nich rohové čtyřstěny s rovinami procházejícími každým z nich. Poté zbývá „jádro“ - čtyřstěn, jehož okraje jsou úhlopříčky čel rovnoběžnostěnu.

Pokud je původní čtyřstěn polopravidelný, pak každá plocha sestrojeného rovnoběžnostěnu bude rovnoběžník s stejné úhlopříčky, tj. obdélník.

Platí to i naopak: „jádro“ pravoúhlý rovnoběžnostěn slouží jako polopravidelný čtyřstěn. Tři kosočtverce - střední části takového čtyřstěnu - leží ve třech vzájemně kolmých rovinách. Slouží jako roviny symetrie osmistěnu získaného z takového čtyřstěnu odříznutím rohů.

Pro pravidelný čtyřstěn bude rovnoběžnostěn popsaný kolem krychle (obr. 14) a středy ploch této krychle - středy okrajů čtyřstěnu - budou vrcholy pravidelného osmistěnu, všechny jehož tváře jsou pravidelné trojúhelníky. (Tři roviny symetrie osmistěnu protínají čtyřstěn ve čtvercích.)

Na obrázku 14 tedy ihned vidíme tři z pěti platónských těles (pravidelné mnohostěny) – krychle, čtyřstěn a osmistěn.