Thalesova věta je segment spojující báze. Thalesova věta

Věta nemá žádná omezení na relativní polohu sečny (platí pro protínající se i rovnoběžné přímky). Nezáleží také na tom, kde se segmenty na sečnech nacházejí.

Důkaz v případě rovnoběžných čar

Nakreslíme přímku BC. Úhly ABC a BCD jsou stejné jako vnitřní příčně ležící s rovnoběžkami AB a CD a sečnou BC a úhly ACB a CBD jsou stejné jako vnitřní příčně ležící s rovnoběžkami AC a BD a sečnou BC. Potom podle druhého kritéria rovnosti trojúhelníků jsou trojúhelníky ABC a DCB stejné. Z toho vyplývá, že AC = BD a AB = CD. ■

Existuje také věta o proporcionálním segmentu:

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Thalesova věta je speciálním případem věty o proporcionálních segmentech, protože stejné segmenty lze považovat za proporcionální segmenty s koeficientem úměrnosti rovným 1.

Konverzní věta

Pokud v Thalesově teorému stejné segmenty začínají od vrcholu (tato formulace se často používá ve školní literatuře), bude platit i obrácená věta. Pro protínající se sečny je formulován takto:

Tedy (viz obrázek) ze skutečnosti, že $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$ z toho plyne rovně $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ldots$.

Jsou-li sečny rovnoběžné, pak je nutné požadovat, aby si úsečky na obou sečnech byly navzájem rovné, jinak se toto tvrzení stává nepravdivým (protipříkladem je lichoběžník protnutý úsečkou procházející středy základen).

Variace a zobecnění

Následující tvrzení je duální k Sollertinského lemmatu:

Téma lekce

Cíle lekce

• Seznamte se s novými definicemi a zapamatujte si některé již nastudované.
• Formulujte a dokažte vlastnosti čtverce, dokažte jeho vlastnosti.
• Naučit se uplatňovat vlastnosti tvarů při řešení úloh.
• Rozvojové – rozvíjet pozornost žáků, vytrvalost, vytrvalost, logické myšlení, matematickou řeč.
• Vzdělávací - prostřednictvím lekce pěstujte pozorný postoj k sobě navzájem, vštěpujte schopnost naslouchat soudruhům, vzájemnou pomoc a nezávislost.

Cíle lekce

• Otestujte dovednosti studentů při řešení problémů.

Plán lekce

1. Historický odkaz.
2. Thales jako matematik a jeho díla.
3. Je užitečné si zapamatovat.

Historický odkaz

• Thalesův teorém se stále používá v námořní navigaci jako pravidlo, že kolize mezi loděmi pohybujícími se konstantní rychlostí je nevyhnutelná, pokud lodě udržují kurz směrem k sobě.

• Mimo ruskojazyčnou literaturu je Thalesova věta někdy nazývána jinou větou o planimetrii, totiž tvrzení, že vepsaný úhel založený na průměru kružnice je správný. Objev této věty je skutečně připisován Thalesovi, jak dokládá Proclus.

• Thales se naučil základy geometrie v Egyptě.

Objevy a zásluhy jejího autora

Věděli jste, že Thales z Milétu byl jedním ze sedmi nejslavnějších v té době, mudrc Řecka. Založil iónskou školu. Myšlenka, kterou Thales v této škole prosazoval, byla jednota všech věcí. Mudrc věřil, že existuje jediný počátek, ze kterého všechny věci pocházejí.

Velkou zásluhou Thalése z Milétu je vytvoření vědecké geometrie. Toto skvělé učení dokázalo vytvořit z egyptského umění měření deduktivní geometrii, jejímž základem jsou společné základy.

Kromě svých obrovských znalostí geometrie se Thales dobře orientoval také v astronomii. Jako první předpověděl úplné zatmění Slunce. Ale to se nestalo v moderním světě, ale v roce 585, ještě před naším letopočtem.

Thales z Milétu byl muž, který si uvědomil, že sever lze přesně určit podle souhvězdí Malé medvědice. Nebyl to ale jeho poslední objev, protože dokázal přesně určit délku roku, rozdělit ho na tři sta šedesát pět dní a také určit dobu rovnodennosti.

Thales byl ve skutečnosti všestranně vyvinutý a moudrý muž. Kromě toho, že se proslavil jako vynikající matematik, fyzik, astronom, byl také skutečným meteorologem a dokázal poměrně přesně předpovídat úrodu oliv.

Nejpozoruhodnější ale je, že Thales své znalosti nikdy neomezoval pouze na vědeckou a teoretickou oblast, ale vždy se snažil důkazy svých teorií upevnit v praxi. A nejzajímavější je, že velký mudrc se nezaměřoval na žádnou oblast svých znalostí, jeho zájem měl různé směry.

Jméno Thales se stalo pro mudrce již tehdy pojmem. Jeho význam a význam pro Řecko byl stejně velký jako jméno Lomonosov pro Rusko. Jeho moudrost lze samozřejmě interpretovat různými způsoby. Rozhodně ale můžeme říci, že se vyznačoval vynalézavostí, praktickou vynalézavostí a do jisté míry i nadhledem.

Thales z Milétu byl vynikající matematik, filozof, astronom, rád cestoval, byl obchodník a podnikatel, zabýval se obchodem a byl také dobrým inženýrem, diplomatem, věštecem a aktivně se účastnil politického života.

Dokonce se mu podařilo určit výšku pyramidy pomocí hole a stínu. A bylo to tak. Jednoho krásného slunečného dne Thales položil svou hůl na hranici, kde končil stín pyramidy. Poté počkal, až se délka stínu jeho hole rovná jeho výšce, a změřil délku stínu pyramidy. Zdálo by se tedy, že Thales jednoduše určil výšku pyramidy a dokázal, že délka jednoho stínu souvisí s délkou dalšího stínu, stejně jako výška pyramidy souvisí s výškou hole. To je to, co zasáhlo samotného faraona Amasise.

Díky Thalesovi se všechny tehdy známé poznatky přenesly do oblasti vědeckého zájmu. Dokázal zprostředkovat výsledky na úroveň vhodnou pro vědeckou spotřebu, přičemž zdůraznil určitý soubor pojmů. A možná s Thalesovou pomocí začal následný vývoj antické filozofie.

Thalesova věta hraje důležitou roli v matematice. Byla známá nejen ve starověkém Egyptě a Babylonu, ale i v jiných zemích a byla základem pro rozvoj matematiky. A v každodenním životě, při stavbě budov, staveb, silnic atd. se bez Thalesovy věty neobejdete.

Thalesova věta v kultuře

Thalesova věta se proslavila nejen v matematice, ale dostala se i do kultury. Jednoho dne představila argentinská hudební skupina Les Luthiers (španělština) publiku píseň, kterou věnovala slavné větě. Členové Les Luthiers ve svém videoklipu speciálně pro tuto píseň poskytli důkazy pro přímou větu pro proporcionální segmenty.

Otázky

1. Které čáry se nazývají rovnoběžné?
2. Kde se prakticky uplatňuje Thalesova věta?
3. Co říká Thalesova věta?

Seznam použitých zdrojů

1. Encyklopedie pro děti. T.11. Matematika/Šéfredaktor M.D.Aksenova.-m.: Avanta+, 2001.
2. „Jednotná státní zkouška 2006. Matematika. Vzdělávací a školicí materiály pro přípravu studentů / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometrie, 7 – 9: učebnice pro vzdělávací instituce“

O paralelách a sektách.

Mimo ruskojazyčnou literaturu je Thalesova věta někdy nazývána jinou větou o planimetrii, totiž tvrzení, že vepsaný úhel sevřený průměrem kružnice je úhel pravý. Objev této věty je skutečně připisován Thalesovi, jak dokládá Proclus.

Formulace

Pokud je několik stejných segmentů rozloženo za sebou na jedné ze dvou čar a jejich konce protínající druhou čáru jsou nakresleny rovnoběžné čáry, odříznou stejné segmenty na druhé čáře.

Obecnější formulace, také tzv věta o proporcionálním segmentu

Rovnoběžné čáry ořezávají proporcionální segmenty na sečnech:

Poznámky

• Věta nemá žádná omezení na relativní polohu sečny (platí pro protínající se i rovnoběžné přímky). Nezáleží také na tom, kde se segmenty na sečnech nacházejí.

• Thalesova věta je speciálním případem věty o proporcionálních segmentech, protože stejné segmenty lze považovat za proporcionální segmenty s koeficientem úměrnosti rovným 1.

Důkaz v případě sečen

Zvažme možnost s nespojenými dvojicemi segmentů: nechť úhel protínají přímky A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) a kde A B = CD (\displaystyle AB=CD).

1. Protáhneme body A (\displaystyle A) A C (\displaystyle C) přímky rovnoběžné s druhou stranou úhlu. A B 2 B 1 A 1 (\displaystyle AB_(2)B_(1)A_(1)) A C D 2 D 1 C 1 (\displaystyle CD_(2)D_(1)C_(1)). Podle vlastnosti rovnoběžníku: A B 2 = A 1 B 1 (\displaystyle AB_(2)=A_(1)B_(1)) A CD 2 = C 1 D 1 (\displaystyle CD_(2)=C_(1)D_(1)).
2. Trojúhelníky △ A B B 2 (\displaystyle \bigtriangleup ABB_(2)) A △ CD D 2 (\displaystyle \bigtriangleup CDD_(2)) jsou si rovny na základě druhého znaménka rovnosti trojúhelníků

Důkaz v případě rovnoběžných čar

Udělejme direkt PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM.. Úhly ABC A BCD stejné jako vnitřní příčně ležící s rovnoběžnými čarami AB A CD a sečna PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM. a úhly ACB A CBD stejné jako vnitřní příčně ležící s rovnoběžnými čarami A.C. A BD a sečna PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM.. Pak podle druhého kritéria pro rovnost trojúhelníků, trojúhelníky ABC A DCB jsou rovny. Z toho vyplývá, že A.C. = BD A AB = CD. ■

Variace a zobecnění

Konverzní věta

Pokud v Thalesově teorému stejné segmenty začínají od vrcholu (tato formulace se často používá ve školní literatuře), bude platit i obrácená věta. Pro protínající se sečny je formulován takto:

Tedy (viz obrázek) ze skutečnosti, že C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots), to následuje A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Jsou-li sečny rovnoběžné, pak je nutné požadovat, aby si úsečky na obou sečnech byly navzájem rovné, jinak se toto tvrzení stává nepravdivým (protipříkladem je lichoběžník protnutý úsečkou procházející středy základen).

Tato věta se používá v navigaci: kolize mezi loděmi pohybujícími se konstantní rychlostí je nevyhnutelná, pokud je zachován směr z jedné lodi na druhou.

Sollertinského lemma

Následující tvrzení je duální k Sollertinského lemmatu:

Tato hrobka je malá, ale sláva nad ní je nesmírná.
Před vámi se v něm skrývá multiinteligentní Thales.

Nápis na hrobě Thalese z Milétu

Představte si tento obrázek. 600 před naším letopočtem Egypt. Před vámi je obrovská egyptská pyramida. Abyste faraona překvapili a zůstali mezi jeho oblíbenci, musíte změřit výšku této pyramidy. Nemáte... nic k dispozici. Můžete propadnout zoufalství, nebo se můžete chovat jako Thales z Milétu: Použijte větu o podobnosti trojúhelníku. Ano, ukazuje se, že vše je docela jednoduché. Thales z Milétu počkal, dokud se délka jeho stínu a jeho výška neshodují, a pak pomocí věty o podobnosti trojúhelníků našel délku stínu pyramidy, která se tedy rovnala stínu vrženému pyramida.

Kdo je tenhle chlap? Thales z Milétu? Muž, který se proslavil jako jeden ze „sedmi mudrců“ starověku? Thales of Miletus je starověký řecký filozof, který se vyznamenal úspěchem na poli astronomie, stejně jako matematiky a fyziky. Roky jeho života byly stanoveny pouze přibližně: 625-645 před naším letopočtem

Mezi důkazy Thalesových znalostí astronomie lze uvést následující příklad. 28. května 585 před naším letopočtem Předpověď Milétu o zatmění Slunce pomohla ukončit válku mezi Lydií a Médií, která trvala 6 let. Tento jev Médy natolik vyděsil, že souhlasili s nevýhodnými podmínkami pro uzavření míru s Lýďany.

Existuje poměrně široce známá legenda, která Thalese charakterizuje jako vynalézavého člověka. Thales často slýchal nelichotivé komentáře o své chudobě. Jednoho dne se rozhodl dokázat, že filozofové, chtějí-li, mohou žít v hojnosti. I v zimě Thales z pozorování hvězd usoudil, že v létě bude dobrá sklizeň oliv. Zároveň si najal lisy na olej v Milétu a Chiosu. To ho stálo poměrně málo, protože v zimě po nich není prakticky žádná poptávka. Když olivy přinesly bohatou úrodu, Thales začal pronajímat své lisy na olej. Velké množství peněz shromážděných touto metodou bylo považováno za důkaz, že filozofové mohou vydělávat peníze svou myslí, ale jejich povolání je vyšší než takové pozemské problémy. Tuto legendu mimochodem zopakoval sám Aristoteles.

Pokud jde o geometrii, mnoho z jeho „objevů“ bylo vypůjčeno od Egypťanů. A přesto je tento přenos znalostí do Řecka považován za jednu z hlavních zásluh Thalése z Milétu.

Úspěchy Thalese jsou považovány za formulaci a důkaz následujícího věty:

• vertikální úhly jsou stejné;
• Rovnocenné trojúhelníky jsou ty, jejichž strana a dva sousední úhly jsou shodné;
• úhly na základně rovnoramenného trojúhelníku jsou stejné;
• průměr rozděluje kruh na polovinu;
• vepsaný úhel sevřený průměrem je pravý úhel.

Po Thalesovi je pojmenována další věta, která je užitečná při řešení geometrických problémů. Existuje její zobecněná a konkrétní forma, inverzní věta, formulace se mohou také mírně lišit v závislosti na zdroji, ale význam všech zůstává stejný. Zvažme tuto větu.

Pokud rovnoběžné čáry protínají strany úhlu a odříznou stejné segmenty na jedné straně, pak odříznou stejné segmenty na druhé straně.

Řekněme, že body A 1, A 2, A 3 jsou průsečíky rovnoběžných přímek s jednou stranou úhlu a B 1, B 2, B 3 jsou průsečíky rovnoběžek s druhou stranou úhlu. . Je třeba dokázat, že když A 1 A 2 = A 2 A 3, pak B 1 B 2 = B 2 B 3.

Bodem B 2 vedeme přímku rovnoběžnou s přímkou ​​A 1 A 2. Označme nový řádek C 1 C 2. Uvažujme rovnoběžníky A 1 C 1 B 2 A 2 a A 2 B 2 C 2 A 3 .

Vlastnosti rovnoběžníku nám umožňují konstatovat, že A1A2 = C 1 B 2 a A 2 A 3 = B 2 C 2. A protože podle naší podmínky A 1 A 2 = A 2 A 3, pak C 1 B 2 = B 2 C 2.

A nakonec uvažujme trojúhelníky Δ C 1 B 2 B 1 a Δ C 2 B 2 B 3 .

C1B2 = B2C2 (prokázáno výše).

To znamená, že Δ C 1 B 2 B 1 a Δ C 2 B 2 B 3 se budou rovnat podle druhého znaménka rovnosti trojúhelníků (po stranách a sousedních úhlech).