Čemu se rovnají svislé úhly? Vertikální a sousední úhly

KAPITOLA I.

ZÁKLADNÍ POJMY.

§jedenáct. PŘIlehlé A SVISLÉ ROHY.

1. Sousední úhly.

Prodloužíme-li stranu libovolného úhlu za jeho vrchol, dostaneme dva úhly (obr. 72): / A slunce a / SVD, ve kterém je jedna strana BC společná a další dvě A a BD tvoří přímku.

Dva úhly, ve kterých je jedna strana společná a další dva tvoří přímku, se nazývají sousední úhly.

Sousední úhly lze získat i tímto způsobem: nakreslíme-li paprsek z nějakého bodu na přímce (neležící na dané přímce), získáme sousední úhly.
Například, / ADF a / FDВ - sousední úhly (obr. 73).

Sousední úhly mohou mít širokou škálu poloh (obr. 74).

Sousední úhly se sčítají k přímému úhlu, takže umma dvou sousedních úhlů je stejné 2d.

Pravý úhel lze tedy definovat jako úhel rovný jeho sousednímu úhlu.

Když známe velikost jednoho ze sousedních úhlů, můžeme najít velikost druhého úhlu, který k němu přiléhá.

Pokud je například jeden ze sousedních úhlů 3/5 d, pak se druhý úhel bude rovnat:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Vertikální úhly.

Prodloužíme-li strany úhlu za jeho vrchol, dostaneme svislé úhly. Na obrázku 75 jsou úhly EOF a AOC svislé; úhly AOE a COF jsou také vertikální.

Dva úhly se nazývají svislé, pokud strany jednoho úhlu jsou pokračováním stran druhého úhlu.

Nechat / 1 = 7 / 8 d(Obrázek 76). Sousedí s ním / 2 se bude rovnat 2 d- 7 / 8 d, tj. 1 1/8 d.

Stejným způsobem můžete vypočítat, čemu se rovnají / 3 a / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Obrázek 77).

To vidíme / 1 = / 3 a / 2 = / 4.

Můžete vyřešit několik dalších stejných problémů a pokaždé dostanete stejný výsledek: svislé úhly jsou navzájem stejné.

Abychom se však ujistili, že vertikální úhly jsou vždy stejné, nestačí uvažovat jednotlivé číselné příklady, protože závěry vyvozené z konkrétních příkladů mohou být někdy chybné.

Je třeba ověřit platnost vlastností svislých úhlů úvahou, důkazem.

Důkaz lze provést následovně (obr. 78):

/ a+/ C = 2d;
/ b+/ C = 2d;

(protože součet sousedních úhlů je 2 d).

/ a+/ C = / b+/ C

(protože levá strana této rovnosti je také rovna 2 d a jeho pravá strana je také rovna 2 d).

Tato rovnost zahrnuje stejný úhel S.

Pokud odečteme stejná množství od stejných množství, zůstanou stejná množství. Výsledkem bude: / A = / b, tj. vertikální úhly jsou si navzájem rovné.

Při zvažování problematiky vertikálních úhlů jsme si nejprve vysvětlili, které úhly se nazývají vertikální, tzn. definice vertikální úhly.

Poté jsme učinili úsudek (výrok) o rovnosti vertikálních úhlů a přesvědčili se o platnosti tohoto úsudku prostřednictvím důkazu. Takové rozsudky, jejichž platnost musí být prokázána, se nazývají teorémy. V této části jsme tedy uvedli definici vertikálních úhlů a také uvedli a dokázali větu o jejich vlastnostech.

V budoucnu se při studiu geometrie budeme muset neustále setkávat s definicemi a důkazy vět.

3. Součet úhlů, které mají společný vrchol.

Na výkresu 79 / 1, / 2, / 3 a / 4 jsou umístěny na jedné straně přímky a mají na této přímce společný vrchol. V součtu tyto úhly tvoří úhel přímý, tzn.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Na výkresu 80 / 1, / 2, / 3, / 4 a / 5 mají společný vrchol. V součtu tyto úhly tvoří plný úhel, tzn. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Cvičení.

1. Jeden ze sousedních úhlů je 0,72 d. Vypočítejte úhel, který svírají osy těchto sousedních úhlů.

2. Dokažte, že osy dvou sousedních úhlů svírají pravý úhel.

3. Dokažte, že pokud jsou dva úhly stejné, pak jsou stejné i jejich sousední úhly.

4. Kolik párů sousedních úhlů je na obrázku 81?

5. Může se dvojice sousedních úhlů skládat ze dvou ostrých úhlů? ze dvou tupých úhlů? z pravého a tupého úhlu? z pravého a ostrého úhlu?

6. Pokud je jeden ze sousedních úhlů pravý, co pak lze říci o velikosti úhlu, který k němu přiléhá?

7. Je-li v průsečíku dvou přímek jeden úhel pravý, co pak lze říci o velikosti ostatních tří úhlů?

na téma: Přilehlé a svislé úhly, jejich vlastnosti.

(3 lekce)

V důsledku studia tématu potřebujete:

BÝT SCHOPNÝ:

Pojmy: sousední a svislé úhly, kolmé čáry

Rozlišujte mezi sousedními a vertikálními úhly

Věty o sousedním a vertikálním úhlu

Řešte úlohy pomocí vlastností sousedních a vertikálních úhlů

Vlastnosti sousedních a vertikálních úhlů

Sestrojte sousední a svislé úhly kolmé k přímkám

LITERATURA:

1. Geometrie. 7. třída. Zh. Kaydasov, G. Dosmagambetová, V. Abdiev. Almaty "Mektep". 2012

2. Geometrie. 7. třída. K.O.Bukubaeva, A.T. Mirazová. Almaty"Atamura" 2012

3. Geometrie. 7. třída. Metodická příručka. K. O. Bukubaeva. Almaty"Atamura" 2012

4. Geometrie. 7. třída. Didaktický materiál. A. N. Shynybekov. Almaty"Atamura" 2012

5. Geometrie. 7. třída. Sbírka úkolů a cvičení. K. O. Bukubaeva, A. T. Mirazová. Almaty"Atamura" 2012

Pamatujte, že musíte pracovat podle algoritmu!

Nezapomeňte zkontrolovat, udělat si poznámky na okraje,

Nenechávejte prosím žádné otázky, které jste nezodpověděli.

Při vzájemném ověřování buďte objektivní, pomůže to vám i danému člověku

koho kontroluješ?

PŘEJI TI ÚSPĚCH!

ÚKOL č. 1.

Přečtěte si definici a naučte se (2b):

Definice. Úhly, ve kterých je jedna strana společná a další dvě strany jsou další paprsky, se nazývají sousední.

2) Naučte se a napište si do sešitu větu: (2b)

Součet sousedních úhlů je 180.

Vzhledem k tomu:

∠ ANM a∠ DOV – data sousedních úhlů

OD - společná strana

Dokázat:

∠ AOD +∠ DOV = 180

Důkaz:

Na základě axiomuIII 4:

∠ AOD +∠ DOV =∠ AOB.

∠ AOB - rozšířené. Proto,

∠ AOD +∠ DOV = 180

Věta byla prokázána.

3) Z věty vyplývá: (2b)

1) Jsou-li dva úhly stejné, pak jsou jejich sousední úhly stejné;

2) jsou-li sousední úhly stejné, pak míra stupňů každého z nich je 90°.

Pamatovat si!

Úhel rovný 90° se nazývá pravý úhel.

Úhel menší než 90° se nazývá ostrý úhel.

Úhel větší než 90° a menší než 180° se nazývá tupý úhel.

Pravý úhel Akutní úhel Tupý úhel

Protože součet sousedních úhlů je 180°, tak

1) úhel sousedící s pravým úhlem, přímý;

2) úhel sousedící s ostrým úhlem je tupý;

3) úhel sousedící s tupým úhlem je ostrý.

4) Zvažte vzorové řešeníAdachi:

daná:∠ hkA∠ kl- přilehlý;∠ hkvíce∠ klpři 50°.

Nalézt:∠ hkA∠ kl.

Řešení: Nechte∠ kl= x tedy∠ hk= x + 50°. Vlastností součtu sousedních úhlů∠ kl + ∠ hk= 180°.

x + x + 50° = 180°;

2x = 180° - 50°;

2x = 130°;

x = 65°.

∠ kl= 65°;∠ hk= 65° + 50° = 115°.

Odpověď: 115° a 65°.

b) Nechat∠ kl= x tedy∠ hk= 3x

x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 45°;∠ kl= 45°;∠ hk= 135°.

Odpověď: 135° a 45°.

5) Práce s určením sousedních úhlů: (2 b)

6) Najděte chyby v definicích: (2b)

Projděte testem #1

Úkol č. 2

1) Sestrojte 2 sousední úhly tak, aby jejich společná strana procházela bodem C a strana jednoho z úhlů se kryla s paprskem AB. (2b)

2). Praktická práce na objevování vlastností sousedních úhlů: (5b)

Pokrok

1. Sestrojte úhelsousední rohA , PokudA : ostrý, rovný, tupý.

2. Změřte úhly.

3. Zadejte naměřená data do tabulky.

4. Najděte vztah mezi úhlyA A.

5. Udělejte závěr o vlastnosti sousedních úhlů.

Projděte testem #2

Úkol č. 3

Nakreslete nerozbalené∠ AOB a pojmenujte paprsky, které jsou stranami tohoto úhlu.

Nakreslete paprsek O, který je pokračováním paprsku OA, a paprsek OD, který je pokračováním paprsku OB.

Zapište si do sešitu: úhly∠ AOB a∠ SOD se nazývají vertikální. (3b)

Naučte se a zapište si do sešitu: (4b)

Definice: Úhly, ve kterých jsou strany jednoho z nich komplementárními paprsky druhého, se nazývajísvislé rohy.

< 1 a<2, <3 и <4 vertikální úhly

PaprskyZAO.A. , O.C.AO.E.jsou párově komplementární paprsky.

Věta: Vertikální úhly jsou stejné.

Důkaz.

Svislé úhly se tvoří, když se protnou dvě přímky. Nechť přímky a abprotínají v bodě O.∠ 1 a∠ 2 – vertikální úhly.

∠ AOC-expanded, což znamená∠ AOC = 180°. nicméně∠ 1+ ∠ 2= ∠ AOC, tj.

∠ 3+ ∠ 1= 180°, odtud máme:

∠ 1= 180 - ∠ 3. (1)

To máme také∠ DOV = 180°, odtud∠ 2+ ∠ 3= 180°, popř∠ 2= 180°- ∠ 3. (2)

Protože v rovnosti (1) a (2) jsou rovné části stejné∠ 1= ∠ 2.

Věta byla prokázána.

5). Práce s určováním vertikálních úhlů: (2b)

6) Najděte chybu v definici: (2b).

Projděte testem #3

Úkol č. 4

1) Praktická práce na objevování vlastností vertikálních úhlů: (5b)

Pokrok:

1. Sestrojte úhel β vertikální úhelα , Pokudα :

ostrý, rovný, tupý.

2.Změřte úhly.

3. Zadejte naměřená data do tabulky

4. Najděte vztah mezi úhly α a β.

5.Udělejte závěr o vlastnostech vertikálních úhlů.

2) Důkaz vlastností sousedních a vertikálních úhlů. (3b)

2) Zvažte vzorové řešeníadachi.

Úkol. Přímky AB a CD se protínají v bodě O tak, že∠ AOD = 35°. Najděte úhly AOC a BOC.

Řešení:

1) Úhly AOD a AOS tedy sousedí∠ BOC= 180° - 35° = 145°.

2) Úhly AOC a BOC jsou tedy také sousedící∠ BOC= 180° - 145° = 35°.

Prostředek,∠ BOC = ∠ AOD = 35° a tyto úhly jsou vertikální. Otázka: Je pravda, že všechny vertikální úhly jsou stejné?

3) Řešení problémů na hotových výkresech: (3b)

1. Najděte úhly AOB, AOD, COD.

3) Najděte úhly BOC, FOA.: (3b)

3. Najděte sousední a svislé úhly na obrázku. Nechť jsou známé hodnoty dvou úhlů vyznačených na výkresu, 28? a 90?. Je možné zjistit hodnoty zbývajících úhlů bez provádění měření (2b)

Absolvovat test číslo 4

Úkol č. 5

Otestujte své znalosti vyplněnímzkušební práce č.1

Úkol č. 6

1) Sami dokažte vlastnosti svislých úhlů a zapište si tyto důkazy do sešitu. (3b)

Studenti musí samostatně pomocí vlastností svislých a sousedních úhlů zdůvodnit skutečnost, že když se při protnutí dvou přímek jeden z výsledných úhlů stane přímkou, pak jsou i zbývající úhly pravé.

2) Vyřešte dva problémy, ze kterých si můžete vybrat:

1. Míry stupňů sousedních úhlů jsou v poměru 7:2. Najděte tyto úhly. (2b)

2. Jeden z úhlů vytvořených při protnutí dvou přímek je 11krát menší než druhý. Najděte každý z úhlů. (3b)

3. Najděte sousední úhly, pokud je jejich rozdíl a jejich součet v poměru 2 : 9. (3b)

Úkol č. 7

Výborně! Můžete začít zkušební práci č. 2.

Testovací práce č.1.

Rozhodněte se pro libovolnou z možností (10b)

Možnost 1

<1 и <2,

<3 и <2,

G)<1 и <3. Какие это углы?

Příbuzný

e) Nakreslete (okem) úhel 30° a< ABC, sousedící s daným

f) Jaké úhly se nazývají svislé?

Dva úhly se nazývají svislé, pokud jsou stejné.

g) Z bodu A nakreslete dvě čáry kolmé na čáruA

Můžete nakreslit pouze jednu přímku.

Možnost 2

1. Student odpovídal na otázky učitele a odpovídal odpovídajícím způsobem. Zkontrolujte, zda jsou správné, označením slov „ANO“, „NE“, „NEVÍM“ ve třetím sloupci. Pokud „NE“, zapište tam správnou odpověď nebo doplňte chybějící.

<1 и <4,

<2 и <4

D)<1 и < 3 смежные?

Ne. Jsou vertikální

E) Které přímky se nazývají kolmé?

Dvě přímky se nazývají kolmé, pokud se protínají v pravém úhlu

G) Nakreslete svislé úhly tak, aby jejich strany byly kolmé k přímkám.

2. Pojmenujte svislé úhly na tomto obrázku.

Celkem: 10 bodů

"5" -10 bodů;

"4" -8-9 bodů;

"3" -5-7 bodů.

Testovací práce č. 2.

Rozhodněte se pro libovolnou možnost

Možnost I

Najděte sousední úhly, pokud je jejich rozdíl a jejich součet v poměru 2:9. (4b)

Najděte všechny úhly, které tvoří průsečík dvou přímek, pokud je jedna z nich o 240° menší než součet ostatních dvou. (6b)

Možnost II

1) Najděte sousední úhly, pokud je jejich rozdíl a jejich součet v poměru 5:8(4b)

2) Najděte všechny nerozvinuté úhly sevřené v průsečíku dvou přímek, pokud je jedna z nich o 60° větší než součet ostatních dvou (6b)

Celkem: 10 bodů

"5" -10 bodů;

"4" -8-9 bodů;

"3" -5-7 bodů.

1. Sousední úhly.

Prodloužíme-li stranu libovolného úhlu za jeho vrchol, dostaneme dva úhly (obr. 72): ∠ABC a ∠CBD, ve kterých je jedna strana BC společná a další dvě, AB a BD, tvoří přímku.

Dva úhly, ve kterých je jedna strana společná a další dva tvoří přímku, se nazývají sousední úhly.

Sousední úhly lze získat i tímto způsobem: nakreslíme-li paprsek z nějakého bodu na přímce (neležící na dané přímce), získáme sousední úhly.

Například ∠ADF a ∠FDB jsou sousední úhly (obr. 73).

Sousední úhly mohou mít širokou škálu poloh (obr. 74).

Sousední úhly se sčítají k přímému úhlu, takže součet dvou sousedních úhlů je 180°

Pravý úhel lze tedy definovat jako úhel rovný jeho sousednímu úhlu.

Když známe velikost jednoho ze sousedních úhlů, můžeme najít velikost druhého úhlu, který k němu přiléhá.

Pokud je například jeden ze sousedních úhlů 54°, pak se druhý úhel bude rovnat:

180° - 54° = 126°.

2. Vertikální úhly.

Prodloužíme-li strany úhlu za jeho vrchol, dostaneme svislé úhly. Na obrázku 75 jsou úhly EOF a AOC vertikální; úhly AOE a COF jsou také vertikální.

Dva úhly se nazývají svislé, pokud strany jednoho úhlu jsou pokračováním stran druhého úhlu.

Nechť ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(obr. 76). ∠2 sousedící s ním se bude rovnat 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, tj. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Stejným způsobem můžete vypočítat, čemu se rovná ∠3 a ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (obr. 77).

Vidíme, že ∠1 = ∠3 a ∠2 = ∠4.

Můžete vyřešit několik dalších stejných problémů a pokaždé dostanete stejný výsledek: svislé úhly jsou navzájem stejné.

Platnost vlastností svislých úhlů je nutné ověřit důkazem.

Důkaz lze provést následovně (obr. 78):

∠a+∠C= 180°;

∠b+∠C= 180°;

(protože součet sousedních úhlů je 180°).

∠a+∠C = ∠b+∠C

(protože levá strana této rovnosti je rovna 180° a její pravá strana je také rovna 180°).

Tato rovnost zahrnuje stejný úhel S.

Pokud odečteme stejná množství od stejných množství, zůstanou stejná množství. Výsledkem bude: ∠A = ∠b, tj. vertikální úhly jsou si navzájem rovné.

3. Součet úhlů, které mají společný vrchol.

Na obrázku 79 jsou ∠1, ∠2, ∠3 a ∠4 umístěny na jedné straně přímky a mají na této přímce společný vrchol. V součtu tyto úhly tvoří úhel přímý, tzn.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

Na obrázku 80 mají ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 a ∠5 společný vrchol. Tyto úhly se sčítají do plného úhlu, tj. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Jiné materiály

Dva úhly se nazývají sousední, pokud mají jednu stranu společnou, a ostatní strany těchto úhlů jsou komplementární paprsky. Na obrázku 20 sousedí úhly AOB a BOC.

Součet sousedních úhlů je 180°

Věta 1. Součet sousedních úhlů je 180°.

Důkaz. Paprsek OB (viz obr. 1) prochází mezi stranami rozvinutého úhlu. Proto ∠ AOB + ∠ BOS = 180°.

Z věty 1 vyplývá, že pokud jsou dva úhly stejné, pak jsou stejné i jejich sousední úhly.

Vertikální úhly jsou stejné

Dva úhly se nazývají svislé, pokud strany jednoho úhlu jsou komplementárními paprsky stran druhého. Úhly AOB a COD, BOD a AOC, vytvořené v průsečíku dvou přímek, jsou svislé (obr. 2).

Věta 2. Vertikální úhly jsou stejné.

Důkaz. Uvažujme vertikální úhly AOB a COD (viz obr. 2). Úhel BOD sousedí s každým z úhlů AOB a COD. Podle věty 1 ∠ AOB + ∠ BSK = 180°, ∠ CHSK + ∠ BSK = 180°.

Z toho usuzujeme, že ∠ AOB = ∠ COD.

Důsledek 1. Úhel sousedící s pravým úhlem je pravý úhel.

Uvažujme dvě protínající se přímky AC a BD (obr. 3). Tvoří čtyři rohy. Pokud je jeden z nich přímý (úhel 1 na obr. 3), pak jsou zbývající úhly také pravé (úhly 1 a 2, 1 a 4 sousedí, úhly 1 a 3 jsou svislé). V tomto případě říkají, že tyto čáry se protínají v pravém úhlu a nazývají se kolmé (nebo vzájemně kolmé). Kolmost přímek AC a BD je označena následovně: AC ⊥ BD.

Osa kolmice k segmentu je přímka kolmá k tomuto segmentu a procházející jeho středem.

AN - kolmá k přímce

Uvažujme přímku a a bod A, který na ní neleží (obr. 4). Spojme bod A úsečkou s bodem H přímkou a. Úsek AN se nazývá kolmice vedená z bodu A k přímce a, pokud jsou úsečky AN a a kolmé. Bod H se nazývá základna kolmice.

Kreslení čtverce

Následující věta je pravdivá.

Věta 3. Z libovolného bodu, který neleží na přímce, lze k této přímce nakreslit kolmici a navíc pouze jednu.

Pro nakreslení kolmice z bodu na přímku ve výkresu použijte kreslicí čtverec (obr. 5).

Komentář. Formulace věty se obvykle skládá ze dvou částí. Jedna část hovoří o tom, co je dáno. Tato část se nazývá podmínka věty. Druhá část hovoří o tom, co je třeba dokázat. Tato část se nazývá závěr věty. Například podmínkou věty 2 je, že úhly jsou svislé; závěr - tyto úhly jsou stejné.

Jakoukoli větu lze podrobně vyjádřit slovy tak, že její podmínka začíná slovem „pokud“ a její závěr slovem „pak“. Například větu 2 lze podrobně vyjádřit takto: „Pokud jsou dva úhly svislé, pak jsou stejné.

Příklad 1 Jeden ze sousedních úhlů je 44°. Čemu se rovná ten druhý?

Řešení. Stupňovou míru jiného úhlu označme x, tedy podle věty 1.
44° + x = 180°.
Řešením výsledné rovnice zjistíme, že x = 136°. Proto je druhý úhel 136°.

Příklad 2 Nechť úhel CHSK na obrázku 21 je 45°. Jaké jsou úhly AOB a AOC?

Řešení. Úhly COD a AOB jsou vertikální, proto jsou podle věty 1.2 stejné, tj. ∠ AOB = 45°. Úhel AOC sousedí s úhlem COD, což znamená podle věty 1.
∠ AOC = 180° - ∠ CHSK = 180° - 45° = 135°.

Příklad 3 Najděte sousední úhly, pokud je jeden z nich 3x větší než druhý.

Řešení. Míru stupně menšího úhlu označme x. Pak míra stupně většího úhlu bude 3x. Protože součet sousedních úhlů je roven 180° (věta 1), pak x + 3x = 180°, odkud x = 45°.
To znamená, že sousední úhly jsou 45° a 135°.

Příklad 4. Součet dvou vertikálních úhlů je 100°. Najděte velikost každého ze čtyř úhlů.

Řešení. Nechť podmínky úlohy splní obrázek 2. Vertikální úhly COD k AOB jsou stejné (Věta 2), což znamená, že jejich míry jsou také stejné. Tedy ∠ CHSK = ∠ AOB = 50° (jejich součet podle podmínky je 100°). Úhel BOD (také úhel AOC) sousedí s úhlem COD, a proto podle věty 1
∠ BSK = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Geometrie je velmi mnohostranná věda. Rozvíjí logiku, představivost a inteligenci. Školákům se samozřejmě vzhledem ke své složitosti a obrovskému množství vět a axiomů ne vždy líbí. Navíc je potřeba své závěry neustále dokazovat pomocí obecně uznávaných norem a pravidel.

Sousední a vertikální úhly jsou nedílnou součástí geometrie. Určitě je spousta školáků prostě zbožňuje z toho důvodu, že jejich vlastnosti jsou jasné a snadno prokazatelné.

Tvorba rohů

Libovolný úhel je vytvořen protnutím dvou přímek nebo nakreslením dvou paprsků z jednoho bodu. Mohou být nazývány buď jedním písmenem nebo třemi, které postupně označují body, ve kterých je úhel sestrojen.

Úhly se měří ve stupních a mohou se (v závislosti na jejich hodnotě) nazývat různě. Existuje tedy pravý úhel, ostrý, tupý a rozvinutý. Každému z názvů odpovídá určitá míra stupně nebo její interval.

Ostrý úhel je úhel, jehož velikost nepřesahuje 90 stupňů.

Tupý úhel je úhel větší než 90 stupňů.

Úhel se nazývá pravý, když jeho míra stupňů je 90.

V případě, že je tvořena jednou souvislou přímkou a její míra stupně je 180, nazývá se rozšířená.

Úhly, které mají společnou stranu, jejíž druhá strana na sebe navazuje, se nazývají sousední. Mohou být ostré nebo tupé. Průsečík přímky tvoří sousední úhly. Jejich vlastnosti jsou následující:

Součet takových úhlů bude roven 180 stupňům (existuje věta, která to dokazuje). Proto lze snadno vypočítat jeden z nich, pokud je druhý znám.
Z prvního bodu vyplývá, že sousední úhly nemohou být tvořeny dvěma tupými nebo dvěma ostrými úhly.

Díky těmto vlastnostem je vždy možné vypočítat stupňovou míru úhlu danou hodnotou jiného úhlu nebo alespoň poměr mezi nimi.

Vertikální úhly

Úhly, jejichž strany jsou vzájemným pokračováním, se nazývají svislé. Jako takový pár může působit kterákoli z jejich odrůd. Vertikální úhly jsou vždy stejné.

Vznikají při protínání přímek. Spolu s nimi jsou vždy přítomny sousední úhly. Úhel může být současně sousedící pro jeden a vertikální pro jiný.

Při křížení libovolné čáry je také uvažováno několik dalších typů úhlů. Taková čára se nazývá sečna a tvoří odpovídající, jednostranné a napříč ležící úhly. Jsou si navzájem rovni. Lze na ně pohlížet ve světle vlastností, které mají vertikální a sousední úhly.

Téma úhlů se tedy zdá celkem jednoduché a srozumitelné. Všechny jejich vlastnosti jsou snadno zapamatovatelné a prokazatelné. Řešení problémů není obtížné, pokud mají úhly číselnou hodnotu. Později, až začne studium hříchu a cos, si budete muset zapamatovat mnoho složitých vzorců, jejich závěry a důsledky. Do té doby si můžete jen užívat snadné hádanky, kde je potřeba najít sousední úhly.