Lezione “Funzione y=ax2, suo grafico e proprietà. Presentazione "Funzione y=ax2, suo grafico e proprietà della Vista y ax2 bx c
La lezione sull'argomento "Funzione y=ax^2, il suo grafico e le sue proprietà" è studiata nel corso di algebra di 9a elementare nel sistema di lezioni sull'argomento "Funzioni". Questa lezione richiede un'attenta preparazione. Vale a dire, tali metodi e mezzi di allenamento che daranno risultati veramente buoni.
L'autore di questa video lezione si è preso cura di aiutare gli insegnanti nella preparazione delle lezioni su questo argomento. Ha sviluppato un video tutorial tenendo conto di tutti i requisiti. Il materiale è selezionato in base all'età degli studenti. Non è sovraccarico, ma è abbastanza capiente. L'autore racconta il materiale in dettaglio, soffermandosi su punti più importanti. Ogni punto teorico è accompagnato da un esempio, in modo che la percezione del materiale didattico sia molto più efficace e migliore.
La lezione può essere utilizzata da un insegnante in una normale lezione di algebra di grado 9 come fase specifica della lezione - spiegare nuovo materiale. L'insegnante non dovrà dire o raccontare nulla durante questo periodo. Gli basta attivare questa lezione video e assicurarsi che gli studenti ascoltino attentamente e annotino punti importanti.
La lezione può essere utilizzata dagli scolari per l'auto-preparazione alla lezione, nonché per l'autoeducazione.
La durata della lezione è di 8:17 minuti. All'inizio della lezione, l'autore nota che una delle funzioni importanti è la funzione quadratica. Quindi viene introdotta una funzione quadratica da un punto di vista matematico. La sua definizione è data con spiegazioni.
Inoltre, l'autore introduce gli studenti al dominio della definizione di una funzione quadratica. Sullo schermo viene visualizzata la notazione matematica corretta. Successivamente, l'autore considera un esempio di funzione quadratica in una situazione reale: viene preso come base un problema fisico, che mostra come il percorso dipenda dal tempo durante un moto uniformemente accelerato.
Successivamente, l'autore considera la funzione y=3x^2. Sullo schermo appare la costruzione della tabella dei valori di questa funzione e della funzione y=x^2. In base ai dati di queste tabelle, vengono costruiti grafici di funzioni. Qui, nel riquadro appare una spiegazione di come si ottiene il grafico della funzione y=3x^2 da y=x^2.
Dopo aver considerato due casi particolari, un esempio della funzione y=ax^2, l'autore arriva alla regola di come si ottiene il grafico di questa funzione dal grafico y=x^2.
Successivamente, consideriamo la funzione y=ax^2, dove a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.
Quindi le conseguenze sono derivate dalle proprietà. Ci sono quattro di loro. Tra questi appare un nuovo concetto: i vertici di una parabola. Segue un'osservazione che dice quali trasformazioni sono possibili per il grafico di questa funzione. Dopodiché si dice come si ottiene il grafico della funzione y=-f(x) dal grafico della funzione y=f(x), così come y=af(x) da y=f(x) .
Si conclude così la lezione contenente il materiale didattico. Resta da consolidarlo selezionando i compiti appropriati a seconda delle capacità degli studenti.
La presentazione "Funzione y=ax 2 , il suo grafico e le sue proprietà" è un supporto visivo che è stato creato per accompagnare la spiegazione dell'insegnante su questo argomento. Questa presentazione discute in dettaglio la funzione quadratica, le sue proprietà, le caratteristiche del grafico, l'applicazione pratica dei metodi utilizzati per risolvere i problemi in fisica.
Fornendo un alto grado di visibilità, questo materiale aiuterà l'insegnante ad aumentare l'efficacia dell'insegnamento, offrirà l'opportunità di allocare più razionalmente il tempo durante la lezione. Con l'aiuto di effetti di animazione, evidenziando concetti e punti importanti con il colore, l'attenzione degli studenti è focalizzata sull'argomento studiato, una migliore memorizzazione delle definizioni e il corso del ragionamento si ottiene durante la risoluzione dei problemi.
La presentazione inizia con un'introduzione al titolo della presentazione e al concetto di funzione quadratica. Si sottolinea l'importanza di questo argomento. Gli studenti sono invitati a memorizzare la definizione di una funzione quadratica come dipendenza funzionale della forma y=ax 2 +bx+c, in cui è una variabile indipendente, e sono numeri, mentre a≠0. Separatamente, sulla diapositiva 4, si nota per aver ricordato che il dominio di questa funzione è l'intero asse dei valori reali. Convenzionalmente, questa affermazione è indicata con D(x)=R.
Un esempio di funzione quadratica è la sua importante applicazione in fisica: la formula per la dipendenza del percorso nel moto uniformemente accelerato dal tempo. Parallelamente, nelle lezioni di fisica, gli studenti studiano le formule per vari tipi di movimento, quindi avranno bisogno della capacità di risolvere tali problemi. Nella slide 5 si ricorda agli studenti che quando il corpo si muove con accelerazione e all'inizio del riferimento temporale è nota la distanza percorsa e la velocità del movimento, allora la dipendenza funzionale che rappresenta tale movimento sarà espressa dalla formula S=( a 2)/2+v 0 t+S 0 . Di seguito è riportato un esempio di trasformazione di questa formula in una data funzione quadratica se i valori di accelerazione = 8, velocità iniziale = 3 e percorso iniziale = 18. In questo caso la funzione assumerà la forma S=4t 2 +3t+18.
Nella diapositiva 6 viene considerata la forma della funzione quadratica y=ax 2, in cui è presentata a. Se =1, la funzione quadratica ha la forma y=x 2 . Si noti che il grafico di questa funzione sarà una parabola.
La parte successiva della presentazione è dedicata alla tracciatura di un grafico di una funzione quadratica. Si propone di considerare la costruzione di un grafico della funzione y=3x 2 . Innanzitutto, la tabella segna la corrispondenza tra i valori della funzione e i valori dell'argomento. Si noti che la differenza tra il grafico costruito della funzione y=3x 2 e il grafico della funzione y=x 2 è che ogni suo valore sarà tre volte maggiore del corrispondente. In una visualizzazione tabulare, questa differenza è ben tracciata. Nelle vicinanze della rappresentazione grafica è anche chiaramente visibile la differenza nel restringimento della parabola.
La diapositiva successiva esamina il tracciato di una funzione quadratica y=1/3 x 2 . Per costruire un grafico è necessario indicare nella tabella i valori della funzione in alcuni dei suoi punti. Si noti che ogni valore della funzione y=1/3 x 2 è 3 volte inferiore al corrispondente valore della funzione y=x 2 . Questa differenza, oltre alla tabella, è ben visibile sul grafico. La sua parabola è più espansa rispetto all'asse y rispetto alla parabola della funzione y=x 2 .
Gli esempi aiutano a comprendere la regola generale, secondo la quale si possono poi costruire più semplicemente e velocemente i grafici corrispondenti. Nella diapositiva 9, viene evidenziata una regola separata secondo cui il grafico della funzione quadratica y \u003d ax 2 può essere tracciato in base al valore del coefficiente allungando o restringendo il grafico. Se a>1, il grafico viene allungato dall'asse x in volte. Se 0 La conclusione sulla simmetria dei grafici delle funzioni y=ax 2 e y=-ax2 (a ≠0) rispetto all'asse delle ascisse è evidenziata separatamente sulla diapositiva 12 per la memorizzazione e chiaramente visualizzata sul grafico corrispondente. Inoltre, il concetto di grafico di una funzione quadratica y=x 2 viene esteso a un caso più generale della funzione y=ax 2 , sostenendo che tale grafico sarà anche chiamato parabola. La diapositiva 14 discute le proprietà della funzione quadratica y=ax 2 per positivo. Si noti che il suo grafico passa per l'origine e tutti i punti, ad eccezione di, giacciono nel semipiano superiore. Si nota la simmetria del grafico rispetto all'asse delle ordinate, specificando che ai valori opposti dell'argomento corrispondono gli stessi valori della funzione. È indicato che l'intervallo di diminuzione di questa funzione è (-∞;0], e l'aumento della funzione viene eseguito sull'intervallo. I valori di questa funzione coprono l'intera parte positiva dell'asse reale, è uguale a zero nel punto e non ha il valore massimo. La diapositiva 15 descrive le proprietà della funzione y=ax 2 se negativa. Si noti che anche il suo grafico passa per l'origine, ma tutti i suoi punti, ad eccezione di, giacciono nel semipiano inferiore. Si nota la simmetria del grafico rispetto all'asse e ai valori opposti dell'argomento corrispondono valori uguali della funzione. La funzione aumenta sull'intervallo, diminuisce su. I valori di questa funzione si trovano nell'intervallo, è uguale a zero nel punto e non ha il valore più piccolo. Riassumendo le caratteristiche considerate, la diapositiva 16 mostra che i rami della parabola sono diretti verso il basso e verso l'alto. La parabola è simmetrica rispetto all'asse e il vertice della parabola si trova nel punto della sua intersezione con l'asse. La parabola y=ax 2 ha un vertice - l'origine. Inoltre, un'importante conclusione sulle trasformazioni della parabola è mostrata nella diapositiva 17. Presenta opzioni per trasformare il grafico di una funzione quadratica. Si noti che il grafico della funzione y=ax 2 viene trasformato da una visualizzazione simmetrica del grafico attorno all'asse. È anche possibile comprimere o espandere il grafico rispetto all'asse. Nell'ultima diapositiva vengono tratte conclusioni generalizzanti sulle trasformazioni del grafico della funzione. Vengono presentate le conclusioni che il grafico della funzione è ottenuto da una trasformazione simmetrica attorno all'asse. E il grafico della funzione è ottenuto dalla compressione o dall'allungamento del grafico originale dall'asse. In questo caso, nel caso in cui si osserva uno stiramento dall'asse nei tempi. Contraendosi all'asse di 1/a volte, il grafico si forma nel caso. La presentazione "Funzione y=ax 2 , suo grafico e proprietà" può essere utilizzata dall'insegnante come ausilio visivo in una lezione di algebra. Inoltre, questo manuale copre bene l'argomento, fornendo una comprensione approfondita dell'argomento, in modo che possa essere offerto agli studenti per uno studio indipendente. Inoltre, questo materiale aiuterà l'insegnante a dare una spiegazione durante l'apprendimento a distanza. Consideriamo un'espressione della forma ax 2 + in + c, dove a, b, c sono numeri reali, ed è diverso da zero. Questa espressione matematica è nota come trinomio quadrato. Ricordiamo che ax 2 è il termine principale di questo trinomio quadrato, ed è il suo coefficiente principale. Ma il trinomio quadrato non ha sempre tutti e tre i termini. Prendiamo ad esempio l'espressione 3x 2 + 2x, dove a=3, b=2, c=0. Passiamo alla funzione quadratica y \u003d ax 2 + in + c, dove a, b, c sono numeri arbitrari. Questa funzione è quadratica perché contiene un termine di secondo grado, cioè x^2. È abbastanza facile tracciare una funzione quadratica, ad esempio è possibile utilizzare il metodo del quadrato intero. Considera un esempio di tracciare una funzione y uguale a -3x 2 - 6x + 1. Per fare ciò, la prima cosa da ricordare è lo schema per evidenziare il quadrato pieno nel trinomio -3x 2 - 6x + 1. Togliamo -3 dai primi due termini tra parentesi. Abbiamo -3 volte la somma di x al quadrato più 2x e aggiungiamo 1. Aggiungendo e sottraendo l'unità tra parentesi, otteniamo la formula per il quadrato della somma, che può essere compressa. Otteniamo -3 volte la somma (x + 1) al quadrato meno 1, aggiungi 1. Espandendo le parentesi e aggiungendo termini simili, viene fuori l'espressione: -3 volte il quadrato della somma (x + 1) aggiungi 4. Costruiamo un grafico della funzione risultante andando al sistema di coordinate ausiliario con l'origine nel punto con coordinate (-1; 4). Nella figura del video, questo sistema è indicato da linee tratteggiate. Leghiamo la funzione y uguale a -3x 2 al sistema di coordinate costruito. Per comodità, prendiamo i punti di controllo. Ad esempio, (0;0), (1;-3), (-1;-3), (2;-12), (-2;-12). Allo stesso tempo, li mettiamo da parte nel sistema di coordinate costruito. La parabola ottenuta durante la costruzione è il grafico di cui abbiamo bisogno. Nella figura, questa è una parabola rossa. Applicando il metodo di selezione del quadrato intero, abbiamo una funzione quadratica della forma: y = a * (x + 1) 2 + m. Il grafico della parabola y \u003d ax 2 + bx + c è facile da ottenere dalla parabola y \u003d ax 2 mediante traslazione parallela. Ciò è confermato da un teorema che può essere dimostrato prendendo il quadrato pieno del binomio. L'espressione ax 2 + bx + c dopo trasformazioni successive si trasforma in un'espressione della forma: a * (x + l) 2 + m. Disegniamo un grafico. Eseguiamo un movimento parallelo della parabola y \u003d ax 2, combinando il vertice con il punto con coordinate (-l; m). L'importante è che x = -l, che significa -b / 2a. Quindi questa linea è l'asse della parabola ax 2 + bx + c, il suo vertice è nel punto con l'ascissa x, zero è uguale a meno b diviso per 2a e l'ordinata è calcolata dalla formula ingombrante 4ac - b 2 /. Ma questa formula non è necessaria per memorizzare. Poiché, sostituendo il valore dell'ascissa nella funzione, otteniamo l'ordinata. Per determinare l'equazione dell'asse, la direzione dei suoi rami e le coordinate del vertice della parabola, si consideri il seguente esempio. Prendiamo la funzione y \u003d -3x 2 - 6x + 1. Avendo redatto l'equazione per l'asse della parabola, abbiamo quella x \u003d -1. E questo valore è la coordinata x della cima della parabola. Resta da trovare solo l'ordinata. Sostituendo il valore -1 nella funzione, otteniamo 4. Il vertice della parabola è nel punto (-1; 4). Il grafico della funzione y \u003d -3x 2 - 6x + 1 è stato ottenuto mediante trasferimento parallelo del grafico della funzione y \u003d -3x 2, il che significa che si comporta in modo simile. Il coefficiente principale è negativo, quindi i rami sono diretti verso il basso. Vediamo che per qualsiasi funzione della forma y = ax 2 + bx + c, la domanda più semplice è l'ultima domanda, cioè la direzione dei rami della parabola. Se il coefficiente a è positivo, allora i rami sono in alto, e se negativo, allora sono in basso. La prossima domanda più difficile è la prima domanda, perché richiede calcoli aggiuntivi. E il più difficile è il secondo, perché, oltre ai calcoli, è necessaria anche la conoscenza delle formule per cui x è zero e y è zero. Tracciamo la funzione y \u003d 2x 2 - x + 1. Determiniamo immediatamente: il grafico è una parabola, i rami sono diretti verso l'alto, poiché il coefficiente principale è 2 e questo è un numero positivo. Secondo la formula, troviamo che l'ascissa x è zero, è uguale a 1,5. Per trovare l'ordinata, ricorda che zero è uguale a una funzione di 1,5, durante il calcolo otteniamo -3,5. Superiore - (1,5; -3,5). Asse - x=1.5. Prendi i punti x=0 e x=3. y=1. Nota questi punti. Sulla base di tre punti noti, costruiamo il grafico richiesto. Per tracciare la funzione ax 2 + bx + c, è necessario: Trova le coordinate del vertice della parabola e segnale in figura, poi disegna l'asse della parabola; Sull'asse x, prendi due punti simmetrici rispetto all'asse della parabola, trova il valore della funzione in questi punti e segnali sul piano delle coordinate; Attraverso tre punti, costruisci una parabola, se necessario, puoi prendere qualche punto in più e costruire un grafico basato su di essi. Nell'esempio seguente, impareremo come trovare i valori più grandi e più piccoli della funzione -2x 2 + 8x - 5 sul segmento. Secondo l'algoritmo: a \u003d -2, b \u003d 8, quindi x zero è 2 e zero y è 3, (2; 3) è la parte superiore della parabola e x \u003d 2 è l'asse. Prendiamo i valori x=0 e x=4 e troviamo le ordinate di questi punti. Questo è -5. Costruiamo una parabola e determiniamo che il valore più piccolo della funzione è -5 in x=0, e il più grande è 3 in x=2. I compiti sulle proprietà e sui grafici di una funzione quadratica, come dimostra la pratica, causano serie difficoltà. Questo è piuttosto strano, perché la funzione quadratica viene superata nell'ottavo grado, e quindi l'intero primo quarto del nono grado viene "torturato" dalle proprietà della parabola ei suoi grafici sono costruiti per vari parametri. Ciò è dovuto al fatto che costringendo gli studenti a costruire parabole, praticamente non dedicano tempo alla "lettura" dei grafici, cioè non si esercitano a comprendere le informazioni ricevute dall'immagine. Apparentemente, si presume che, dopo aver costruito due dozzine di grafici, uno studente intelligente scoprirà e formulerà la relazione tra i coefficienti nella formula e l'aspetto del grafico. In pratica, questo non funziona. Per una tale generalizzazione è necessaria una seria esperienza nella mini-ricerca matematica, che, ovviamente, la maggior parte degli alunni della nona elementare non ha. Nel frattempo, nel GIA propongono di determinare i segni dei coefficienti proprio secondo il programma. Non chiederemo l'impossibile agli scolari e offriremo semplicemente uno degli algoritmi per risolvere tali problemi. Quindi, una funzione della forma y=ax2+bx+cè detto quadratico, il suo grafico è una parabola. Come suggerisce il nome, il componente principale è ascia 2. Questo è UN non dovrebbe essere uguale a zero, i restanti coefficienti ( B E Con) può essere uguale a zero. Vediamo come i segni dei suoi coefficienti influenzano l'aspetto della parabola. La dipendenza più semplice per il coefficiente UN. La maggior parte degli scolari risponde con sicurezza: "se UN> 0, allora i rami della parabola sono diretti verso l'alto, e se UN < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой UN > 0. y = 0,5x2 - 3x + 1 In questo caso UN = 0,5 E ora per UN < 0: y = - 0,5x2 - 3x + 1 In questo caso UN = - 0,5 Influenza del coefficiente Con anche abbastanza facile da seguire. Immagina di voler trovare il valore di una funzione in un punto X= 0. Sostituisci zero nella formula: si = UN 0 2 + B 0 + C = C. Si scopre che y = c. Questo è Conè l'ordinata del punto di intersezione della parabola con l'asse y. Di norma, questo punto è facile da trovare sul grafico. E determina se si trova sopra o sotto lo zero. Questo è Con> 0 o Con < 0. Con > 0: y=x2+4x+3 Con < 0 y = x 2 + 4x - 3 Di conseguenza, se Con= 0, allora la parabola passerà necessariamente per l'origine: y=x2+4x Più difficile con il parametro B. Il punto in cui lo troveremo dipende non solo da B ma anche da UN. Questo è il vertice della parabola. La sua ascissa (coordinata dell'asse X) si trova con la formula x in \u003d - b / (2a). Così, b = - 2ax in. Cioè, agiamo come segue: sul grafico troviamo la parte superiore della parabola, determiniamo il segno della sua ascissa, cioè guardiamo a destra dello zero ( x dentro> 0) o verso sinistra ( x dentro < 0) она лежит. Tuttavia, questo non è tutto. Dobbiamo anche prestare attenzione al segno del coefficiente UN. Cioè, per vedere dove sono diretti i rami della parabola. E solo dopo, secondo la formula b = - 2ax in determinare segno B. Considera un esempio: Rami rivolti verso l'alto UN> 0, la parabola attraversa l'asse A sotto zero significa Con < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x dentro> 0. Quindi b = - 2ax in = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: UN > 0, B < 0, Con < 0. Lezione: come costruire una parabola o una funzione quadratica? Una parabola è un grafico di una funzione descritta dalla formula ax 2 +bx+c=0. 1) Formula della parabola y=ax 2 +bx+c, 2), si trova con la formula x=(-b)/2a, sostituiamo la x trovata nell'equazione della parabola e troviamo si; 3)Funzione zeri o in altre parole, i punti di intersezione della parabola con l'asse OX, sono detti anche radici dell'equazione. Per trovare le radici, uguagliamo l'equazione a 0 ax2+bx+c=0; Tipi di equazioni: a) L'equazione quadratica completa è ax2+bx+c=0 ed è risolto dal discriminante; 4) Trova alcuni punti aggiuntivi per costruire la funzione. E così ora, con un esempio, analizzeremo tutto per azioni: x -4 -3 -1 0 Sostituiamo invece di x nell'equazione y \u003d x 2 + 4x + 3 valori Esempio #2: Esempio #3 Prendiamo alcuni punti arbitrari vicini alla parte superiore x=0 sottoscrivi al canale su YOUTUBE per tenersi aggiornati su tutte le novità e prepararsi con noi agli esami.
PARTE TEORICA
Per costruire una parabola, devi seguire un semplice algoritmo di azioni:
Se a>0 quindi vengono diretti i rami della parabola su,
e poi vengono diretti i rami della parabola giù.
membro libero C questo punto interseca la parabola con l'asse OY;
b) Equazione quadratica incompleta della forma ax2+bx=0. Per risolverlo, devi prendere x tra parentesi, quindi equiparare ogni fattore a 0:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 e ax+b=0;
c) Equazione quadratica incompleta della forma ax2+c=0. Per risolverlo, devi spostare l'ignoto da una parte e il noto dall'altra. x =±√(c/a);PARTE PRATICA
Esempio 1:
y=x2+4x+3
c=3 significa che la parabola interseca OY nel punto x=0 y=3. I rami della parabola guardano in alto perché a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 la cima è nel punto (-2;-1)
Trova le radici dell'equazione x 2 +4x+3=0
Troviamo le radici dal discriminante
a=1 b=4 c=3
RE=si 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3
Prendiamo alcuni punti arbitrari vicini alla parte superiore x=-2
e 3 0 0 3
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)2+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Si può vedere dai valori della funzione che la parabola è simmetrica rispetto alla retta x \u003d -2
y=-x 2 +4x
c=0 significa che la parabola interseca OY nel punto x=0 y=0. I rami della parabola guardano in basso perché a=-1 -1 Trova le radici dell'equazione -x 2 +4x=0
Un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +bx=0. Per risolverlo, devi togliere x dalle parentesi, quindi equiparare ogni fattore a 0.
x(-x+4)=0, x=0 e x=4.
Prendiamo alcuni punti arbitrari vicini al vertice x=2
x 0 1 3 4
e 0 3 3 0
Sostituiamo invece di x nell'equazione y \u003d -x 2 +4x valori
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Si può vedere dai valori della funzione che la parabola è simmetrica rispetto alla retta x \u003d 2
y=x 2 -4
c=4 significa che la parabola interseca OY nel punto x=0 y=4. I rami della parabola guardano in alto perché a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 il vertice è nel punto (0;-4 )
Trova le radici dell'equazione x 2 -4=0
Un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 +c=0. Per risolverlo, devi spostare l'ignoto da una parte e il noto dall'altra. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x 2 \u003d -2
x -2 -1 1 2
e 0 -3 -3 0
Sostituiamo invece di x nell'equazione y \u003d x 2 -4 valori
y=(-2)2-4=4-4=0
y=(-1)2-4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Si può vedere dai valori della funzione che la parabola è simmetrica rispetto alla retta x=0
