Il teorema di Talete è un segmento che collega le basi. Il teorema di Talete

Il teorema non ha restrizioni sulla posizione relativa delle secanti (è vero sia per le rette intersecanti che per quelle parallele). Inoltre, non importa dove si trovano i segmenti sulle secanti.

Dimostrazione nel caso di rette parallele

Disegniamo una linea retta BC. Gli angoli ABC e BCD sono uguali come trasversali interni con le parallele AB e CD e la secante BC, e gli angoli ACB e CBD sono uguali come trasversali interni con le parallele AC e BD e la secante BC. Allora, secondo il secondo criterio di uguaglianza dei triangoli, i triangoli ABC e DCB sono uguali. Ne consegue che AC = BD e AB = CD. ■

C'è anche teorema del segmento proporzionale:

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Il teorema di Talete è un caso speciale del teorema dei segmenti proporzionali, poiché segmenti uguali possono essere considerati segmenti proporzionali con un coefficiente di proporzionalità pari a 1.

Teorema inverso

Se nel teorema di Talete i segmenti uguali iniziano dal vertice (questa formulazione è spesso usata nella letteratura scolastica), allora sarà vero anche il teorema contrario. Per le secanti intersecanti si formula come segue:

Quindi (vedi figura) dal fatto che $\backslash frac(CB\_1)(CA\_1)=\backslash frac(B\_1B\_2)(A\_1A\_2)=\backslash ldots\; =\; (\backslash rm\; idem)$ ne consegue direttamente $A\_1B\_1||A\_2B\_2||\backslash ldots$.

Se le secanti sono parallele, allora è necessario richiedere che i segmenti su entrambe le secanti siano uguali tra loro, altrimenti questa affermazione diventa falsa (un controesempio è un trapezio intersecato da una linea passante per i punti medi delle basi).

Variazioni e generalizzazioni

La seguente affermazione è duale rispetto al lemma di Sollertinsky:

Argomento della lezione

Obiettivi della lezione

• Conosci nuove definizioni e ricorda alcune già studiate.
• Formulare e dimostrare le proprietà di un quadrato, dimostrarne le proprietà.
• Impara ad applicare le proprietà delle forme durante la risoluzione dei problemi.
• Sviluppo – sviluppare l’attenzione, la perseveranza, la perseveranza, il pensiero logico, il discorso matematico degli studenti.
• Educativo: attraverso la lezione, coltivare un atteggiamento attento verso l'altro, instillare la capacità di ascoltare i compagni, l'assistenza reciproca e l'indipendenza.

Obiettivi della lezione

• Testare le capacità di problem solving degli studenti.

Piano di lezione

1. Riferimento storico.
2. Talete matematico e le sue opere.
3. È utile ricordare.

Riferimento storico

• Il teorema di Talete è ancora utilizzato nella navigazione marittima secondo la regola secondo cui una collisione tra navi che si muovono a velocità costante è inevitabile se le navi mantengono la rotta l'una verso l'altra.

• Al di fuori della letteratura in lingua russa, il teorema di Talete è talvolta chiamato un altro teorema della planimetria, vale a dire l'affermazione che l'angolo inscritto basato sul diametro di un cerchio è retto. La scoperta di questo teorema è infatti attribuita a Talete, come testimonia Proclo.

• Talete imparò le basi della geometria in Egitto.

Scoperte e meriti del suo autore

Sapevi che Talete di Mileto era uno dei sette più famosi dell'epoca, il saggio della Grecia. Fondò la scuola ionica. L'idea promossa da Talete in questa scuola era l'unità di tutte le cose. Il saggio credeva che esistesse un unico inizio da cui hanno avuto origine tutte le cose.

Il grande merito di Talete di Mileto è la creazione della geometria scientifica. Questo grande insegnamento ha saputo, dall'arte egizia della misurazione, creare una geometria deduttiva, la cui base è un terreno comune.

Oltre alla sua enorme conoscenza della geometria, Talete era anche esperto di astronomia. Fu il primo a predire un'eclissi totale di Sole. Ma questo non è accaduto nel mondo moderno, ma nel 585, anche prima della nostra era.

Talete di Mileto fu l'uomo che si rese conto che il nord poteva essere determinato con precisione dalla costellazione dell'Orsa Minore. Ma questa non fu la sua ultima scoperta, poiché riuscì a determinare con precisione la durata dell'anno, a dividerlo in trecentosessantacinque giorni e a stabilire anche il tempo degli equinozi.

Talete era infatti un uomo evoluto e saggio. Oltre ad essere famoso come eccellente matematico, fisico e astronomo, era anche un vero meteorologo ed era in grado di prevedere con precisione la raccolta delle olive.

Ma la cosa più notevole è che Talete non limitò mai le sue conoscenze solo al campo scientifico e teorico, ma cercò sempre di consolidare nella pratica l'evidenza delle sue teorie. E la cosa più interessante è che il grande saggio non si concentrava su nessuna area della sua conoscenza, il suo interesse aveva varie direzioni.

Il nome Talete divenne già allora un nome familiare per il saggio. La sua importanza e significato per la Grecia erano grandi quanto il nome di Lomonosov per la Russia. Naturalmente, la sua saggezza può essere interpretata in diversi modi. Ma possiamo dire con certezza che era caratterizzato da ingegno, ingegno pratico e, in una certa misura, distacco.

Talete di Mileto era un eccellente matematico, filosofo, astronomo, amava viaggiare, era un commerciante e imprenditore, era impegnato nel commercio ed era anche un buon ingegnere, diplomatico, veggente e partecipava attivamente alla vita politica.

Riuscì persino a determinare l'altezza della piramide con l'aiuto di un bastone e di un'ombra. Ed è stato così. In una bella giornata di sole, Talete pose il suo bastone sul confine dove terminava l'ombra della piramide. Successivamente, aspettò che la lunghezza dell'ombra del suo bastone fosse uguale alla sua altezza e misurò la lunghezza dell'ombra della piramide. Sembrerebbe quindi che Talete abbia semplicemente determinato l'altezza della piramide e dimostrato che la lunghezza di un'ombra è correlata alla lunghezza di un'altra ombra, proprio come l'altezza della piramide è correlata all'altezza del bastone. Questo è ciò che colpì lo stesso faraone Amasis.

Grazie a Talete, tutta la conoscenza allora conosciuta fu trasferita nel campo dell'interesse scientifico. È stato in grado di trasmettere i risultati a un livello adatto al consumo scientifico, evidenziando un certo insieme di concetti. E forse con l'aiuto di Talete iniziò il successivo sviluppo della filosofia antica.

Il teorema di Talete gioca un ruolo importante in matematica. Era conosciuto non solo nell'antico Egitto e in Babilonia, ma anche in altri paesi e costituì la base per lo sviluppo della matematica. E nella vita di tutti i giorni, durante la costruzione di edifici, strutture, strade, ecc., non si può fare a meno del teorema di Talete.

Il teorema di Talete nella cultura

Il teorema di Talete divenne famoso non solo in matematica, ma fu introdotto anche nella cultura. Un giorno, il gruppo musicale argentino Les Luthiers (spagnolo) ha presentato al pubblico una canzone, che hanno dedicato a un famoso teorema. I membri di Les Luthiers, nel loro videoclip specifico per questa canzone, hanno fornito dimostrazioni del teorema diretto per i segmenti proporzionali.

Domande

1. Quali rette si chiamano parallele?
2. Dove viene applicato praticamente il teorema di Talete?
3. Cosa dice il teorema di Talete?

Elenco delle fonti utilizzate

1. Enciclopedia per bambini. T.11. Matematica/Redattore capo M.D.Aksenova.-m.: Avanta+, 2001.
2. “Esame di Stato Unificato 2006. Matematica. Materiali didattici e formativi per la preparazione degli studenti / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometria, 7 – 9: libro di testo per le istituzioni educative”

A proposito di parallele e secanti.

Al di fuori della letteratura in lingua russa, il teorema di Talete è talvolta chiamato un altro teorema della planimetria, vale a dire l'affermazione che l'angolo inscritto sotteso dal diametro di un cerchio è un angolo retto. La scoperta di questo teorema è infatti attribuita a Talete, come testimonia Proclo.

Formulazioni

Se più segmenti uguali sono disposti in successione su una delle due linee e attraverso le loro estremità vengono disegnate linee parallele che intersecano la seconda linea, allora verranno tagliati segmenti uguali sulla seconda linea.

Una formulazione più generale, detta anche teorema del segmento proporzionale

Le linee parallele tagliano segmenti proporzionali alle secanti:

Appunti

• Il teorema non ha restrizioni sulla posizione relativa delle secanti (è vero sia per le rette intersecanti che per quelle parallele). Inoltre, non importa dove si trovano i segmenti sulle secanti.

• Il teorema di Talete è un caso speciale del teorema dei segmenti proporzionali, poiché segmenti uguali possono essere considerati segmenti proporzionali con un coefficiente di proporzionalità pari a 1.

Dimostrazione nel caso delle secanti

Consideriamo l'opzione con coppie di segmenti non collegati: lascia che l'angolo sia intersecato da linee rette A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) e in che cosa A B = C D (\displaystyle AB=CD).

1. Disegniamo i punti A (\displaystyle A) E C (\displaystyle C) rette parallele all'altro lato dell'angolo. A B 2 B 1 A 1 (\displaystyle AB_(2)B_(1)A_(1)) E C D 2 D 1 C 1 (\displaystyle CD_(2)D_(1)C_(1)). Secondo la proprietà del parallelogramma: A B 2 = A 1 B 1 (\displaystyle AB_(2)=A_(1)B_(1)) E C D 2 = C 1 D 1 (\displaystyle CD_(2)=C_(1)D_(1)).
2. triangoli △ A B B 2 (\displaystyle \bigtriangleup ABB_(2)) E △ C D D 2 (\displaystyle \bigtriangleup CDD_(2)) sono uguali in base al secondo segno di uguaglianza dei triangoli

Dimostrazione nel caso di rette parallele

Facciamo una diretta AVANTI CRISTO.. Angoli ABC E GAV uguali come interni trasversali con linee parallele AB E CD e secante AVANTI CRISTO. e gli angoli ACB E CBD uguali come interni trasversali con linee parallele AC. E B.D e secante AVANTI CRISTO.. Quindi, secondo il secondo criterio di uguaglianza dei triangoli, triangoli ABC E DCB sono uguali. Ne consegue che AC. = B.D E AB = CD. ■

Variazioni e generalizzazioni

Teorema inverso

Se nel teorema di Talete i segmenti uguali iniziano dal vertice (questa formulazione è spesso usata nella letteratura scolastica), allora sarà vero anche il teorema contrario. Per le secanti intersecanti si formula come segue:

Quindi (vedi figura) dal fatto che C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), segue quello A1B1 | | A2B2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Se le secanti sono parallele, allora è necessario richiedere che i segmenti su entrambe le secanti siano uguali tra loro, altrimenti questa affermazione diventa falsa (un controesempio è un trapezio intersecato da una linea passante per i punti medi delle basi).

Questo teorema viene utilizzato nella navigazione: una collisione tra navi che si muovono a velocità costante è inevitabile se viene mantenuta la direzione da una nave all'altra.

Lemma di Sollertinsky

La seguente affermazione è duale rispetto al lemma di Sollertinsky:

Questa tomba è piccola, ma la gloria su di essa è immensa.
Il multi-intelligente Talete è nascosto lì davanti a te.

Iscrizione sulla tomba di Talete di Mileto

Immagina questa immagine. 600 a.C Egitto. Di fronte a te c'è un'enorme piramide egizia. Per sorprendere il faraone e rimanere tra i suoi preferiti, è necessario misurare l'altezza di questa piramide. Non hai... niente a tua disposizione. Puoi cadere nella disperazione o comportarti come se... Talete di Mileto: Utilizzare il teorema di similarità dei triangoli. Sì, si scopre che tutto è abbastanza semplice. Talete di Mileto aspettò che la lunghezza della sua ombra e la sua altezza coincidessero, quindi, utilizzando il teorema sulla somiglianza dei triangoli, trovò la lunghezza dell'ombra della piramide, che, di conseguenza, era uguale all'ombra proiettata dal piramide.

Chi è questo ragazzo? Talete di Mileto? L'uomo che divenne famoso come uno dei “sette saggi” dell'antichità? Talete di Mileto è un filosofo greco antico che si distinse con successo nel campo dell'astronomia, oltre che della matematica e della fisica. Gli anni della sua vita sono stati stabiliti solo approssimativamente: 625-645 a.C

Tra le prove della conoscenza dell'astronomia di Talete, si può fornire il seguente esempio. 28 maggio 585 a.C La previsione di Mileto di un'eclissi solare contribuì a porre fine alla guerra tra Lidia e Media che durava da 6 anni. Questo fenomeno spaventò così tanto i Medi che accettarono condizioni sfavorevoli per concludere la pace con i Lidi.

Esiste una leggenda abbastanza conosciuta che caratterizza Talete come una persona intraprendente. Talete sentiva spesso commenti poco lusinghieri sulla sua povertà. Un giorno decise di dimostrare che i filosofi possono vivere nell'abbondanza se lo desiderano. Anche in inverno Talete, osservando le stelle, determinò che in estate ci sarebbe stato un buon raccolto di olive. Allo stesso tempo assunse frantoi a Mileto e Chio. Questo gli è costato pochissimo, poiché in inverno non c'è praticamente alcuna richiesta per loro. Quando le olive produssero un ricco raccolto, Talete iniziò ad affittare i suoi frantoi. La grande quantità di denaro raccolta con questo metodo era considerata una prova che i filosofi possono guadagnare denaro con la mente, ma la loro vocazione è più alta di tali problemi terreni. Questa leggenda, tra l'altro, fu ripetuta dallo stesso Aristotele.

Per quanto riguarda la geometria, molte delle sue “scoperte” furono prese in prestito dagli egiziani. Eppure questo trasferimento di conoscenze alla Grecia è considerato uno dei principali meriti di Talete di Mileto.

I risultati di Talete sono considerati la formulazione e la prova di quanto segue teoremi:

• gli angoli verticali sono uguali;
• I triangoli uguali sono quelli il cui lato e due angoli adiacenti sono rispettivamente uguali;
• gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali;
• il diametro divide il cerchio a metà;
• l'angolo inscritto sotteso dal diametro è retto.

Un altro teorema prende il nome da Talete, utile per risolvere problemi geometrici. Esiste la sua forma generalizzata e particolare, il teorema inverso, le formulazioni possono anche differire leggermente a seconda della fonte, ma il significato rimane sempre lo stesso. Consideriamo questo teorema.

Se le linee parallele intersecano i lati di un angolo e tagliano segmenti uguali da un lato, tagliano segmenti uguali dall'altro lato.

Diciamo che i punti A 1, A 2, A 3 sono i punti di intersezione di linee parallele con un lato dell'angolo e B 1, B 2, B 3 sono i punti di intersezione di linee parallele con l'altro lato dell'angolo . È necessario dimostrare che se A 1 A 2 = A 2 A 3, allora B 1 B 2 = B 2 B 3.

Attraverso il punto B 2 tracciamo una linea parallela alla linea A 1 A 2. Indichiamo la nuova linea C 1 C 2. Considera i parallelogrammi A 1 C 1 B 2 A 2 e A 2 B 2 C 2 A 3 .

Le proprietà di un parallelogramma ci permettono di affermare che A1A2 = C 1 B 2 e A 2 A 3 = B 2 C 2. E poiché, secondo la nostra condizione, A 1 A 2 = A 2 A 3, allora C 1 B 2 = B 2 C 2.

E infine, considera i triangoli Δ C 1 B 2 B 1 e Δ C 2 B 2 B 3 .

C 1 B 2 = B 2 C 2 (dimostrato sopra).

Ciò significa che Δ C 1 B 2 B 1 e Δ C 2 B 2 B 3 saranno uguali secondo il secondo segno di uguaglianza dei triangoli (per lato e angoli adiacenti).