Akar kuadrat dari derajat ke-4. Rumus kekuatan dan akar
Formula kekuatan digunakan dalam proses pengurangan dan penyederhanaan ekspresi kompleks, dalam menyelesaikan persamaan dan ketidaksetaraan.
Nomor C adalah N-th kekuatan nomor A Kapan:
Operasi dengan derajat.
1. Mengalikan derajat dengan basis yang sama, indikatornya bertambah:
sayaa n = a m + n .
2. Dalam pembagian derajat dengan basis yang sama, indikatornya dikurangi:
3. Derajat perkalian 2 faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor berikut:
(abc…) n = a n b n c n …
4. Derajat pecahan sama dengan rasio derajat pembagi dan pembagi:
(a/b) n = a n / b n .
5. Menaikkan pangkat menjadi pangkat, eksponennya dikalikan:
(am) n = a m n .
Setiap rumus di atas benar dengan arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.
Misalnya. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Operasi dengan akar.
1. Akar hasil kali beberapa faktor sama dengan hasil kali akar faktor berikut:
2. Akar rasio sama dengan rasio dividen dan pembagi akar:
3. Saat menaikkan akar menjadi pangkat, cukup menaikkan bilangan akar menjadi pangkat ini:
4. Jika kita meningkatkan derajat root in N sekali dan pada saat yang sama naikkan menjadi N pangkat th adalah bilangan akar, maka nilai akar tidak akan berubah:
5. Jika kita menurunkan derajat root in N akar secara bersamaan N derajat th dari bilangan radikal, maka nilai akarnya tidak akan berubah:
Derajat dengan eksponen negatif. Derajat suatu bilangan dengan eksponen non-positif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi dengan derajat bilangan yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut dari eksponen non-positif:
Rumus saya:a n = a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk M> N, tetapi juga pada M< N.
Misalnya. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
untuk formula saya:a n = a m - n menjadi adil di m=n, Anda membutuhkan kehadiran derajat nol.
Gelar dengan eksponen nol. Kekuatan angka bukan nol dengan eksponen nol sama dengan satu.
Misalnya. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Gelar dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan real A sampai taraf tertentu M N, Anda perlu mengekstrak root N derajat th M th kekuatan nomor ini A.
Seringkali transformasi dan penyederhanaan ekspresi matematika membutuhkan transisi dari akar ke pangkat dan sebaliknya. Artikel ini berbicara tentang cara mengubah root menjadi kekuatan dan sebaliknya. Teori, contoh praktis dan kesalahan paling umum dipertimbangkan.
Transisi dari pangkat dengan eksponen pecahan ke akar
Katakanlah kita memiliki angka dengan eksponen dalam bentuk pecahan biasa - a m n. Bagaimana cara menulis ekspresi seperti root?
Jawabannya mengikuti dari definisi derajat!
Definisi
Bilangan positif a yang dipangkatkan m n adalah akar ke-n dari a m .
Dalam hal ini, kondisi berikut harus dipenuhi:
a> 0 m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Kekuatan pecahan dari angka nol didefinisikan dengan cara yang sama, namun, dalam hal ini, angka m diambil bukan sebagai bilangan bulat, tetapi sebagai bilangan asli, sehingga pembagian dengan 0 tidak terjadi:
0 m n = 0 m n = 0 .
Menurut definisi, pangkat a m n dapat direpresentasikan sebagai akar a m n .
Contoh: 3 2 5 = 3 2 5 , 1 2 3 - 3 4 = 1 2 3 - 3 4 .
Namun, seperti yang telah disebutkan, kita tidak boleh melupakan kondisi: a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ.
Jadi, ekspresi - 8 1 3 tidak dapat direpresentasikan sebagai - 8 1 3, karena notasi - 8 1 3 sama sekali tidak masuk akal - tingkat bilangan negatif tidak ditentukan Pada saat yang sama, akarnya sendiri - 8 1 3 masuk akal.
Transisi dari derajat dengan ekspresi dalam indikator dasar dan pecahan dilakukan dengan cara yang sama di seluruh rentang nilai yang dapat diterima (selanjutnya - ODZ) dari ekspresi asli di dasar derajat.
Misalnya, ekspresi x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 dapat direpresentasikan sebagai akar kuadrat x 2 + 2 x + 1 - 4. Ekspresi pangkat x 2 + x y z - z 3 - 7 3 berubah menjadi ekspresi x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 untuk semua x , y , z dari ODZ ekspresi yang diberikan.
Penggantian terbalik akar dengan derajat, ketika alih-alih ekspresi dengan akar, ekspresi dengan gelar ditulis, juga dimungkinkan. Balikkan persamaan dari paragraf sebelumnya dan dapatkan:
Sekali lagi, transisinya jelas untuk bilangan positif a . Misalnya, 7 6 4 = 7 6 4 , atau 2 7 - 5 3 = 2 7 - 5 3 .
Untuk a negatif, akarnya masuk akal. Misalnya - 4 2 6 , - 2 3 . Namun, tidak mungkin untuk menyatakan akar ini sebagai pangkat - 4 2 6 dan - 2 1 3.
Apakah mungkin untuk mengubah ekspresi seperti itu dengan kekuatan? Ya, jika Anda melakukan beberapa transformasi awal. Mari kita lihat yang mana.
Menggunakan properti derajat, Anda dapat melakukan transformasi ekspresi - 4 2 6 .
4 2 6 = - 1 2 4 2 6 = 4 2 6 .
Sejak 4 > 0 , kita dapat menulis:
Dalam kasus akar ganjil dari bilangan negatif, kita dapat menulis:
A 2 m + 1 = - a 2 m + 1 .
Kemudian ekspresi - 2 3 akan berbentuk:
2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .
Mari kita sekarang memahami bagaimana akar, di mana ungkapan-ungkapan terkandung, digantikan oleh derajat yang mengandung ungkapan-ungkapan ini di pangkalan.
Dilambangkan dengan huruf A beberapa ekspresi. Namun, jangan terburu-buru untuk merepresentasikan Am n sebagai Am n . Mari kita jelaskan apa yang dimaksud di sini. Misalnya, ekspresi x - 3 2 3 , berdasarkan persamaan dari paragraf pertama, ingin direpresentasikan sebagai x - 3 2 3 . Penggantian seperti itu hanya mungkin untuk x - 3 ≥ 0, dan tidak cocok untuk sisa x dari ODZ, karena untuk negatif a rumus a m n = a m n tidak masuk akal.
Jadi, dalam contoh yang dipertimbangkan, transformasi bentuk A m n = A m n adalah transformasi yang mempersempit ODZ, dan karena penerapan rumus A m n = A m n yang tidak akurat, sering terjadi kesalahan.
Untuk berpindah dengan benar dari akar A m n ke derajat A m n, beberapa poin harus diperhatikan:
- Jika angka m adalah bilangan bulat dan ganjil, dan n adalah bilangan asli dan genap, maka rumus A m n = A m n berlaku untuk seluruh ODZ variabel.
- Jika m bilangan bulat dan ganjil, dan n bilangan asli dan ganjil, maka ekspresi A m n dapat diganti:
- pada A m n untuk semua nilai variabel yang A ≥ 0 ;
- pada - - A m n untuk semua nilai variabel yang A< 0 ; - Jika m adalah bilangan bulat dan genap, dan n adalah sembarang bilangan asli, maka A m n dapat diganti dengan A m n .
Mari kita rangkum semua aturan ini dalam sebuah tabel dan berikan beberapa contoh penggunaannya.
Mari kembali ke ekspresi x - 3 2 3 . Di sini m = 2 adalah bilangan bulat dan genap, dan n = 3 adalah bilangan asli. Jadi, ekspresi x - 3 2 3 akan ditulis dengan benar sebagai:
x - 3 2 3 = x - 3 2 3 .
Ini adalah contoh lain dengan akar dan kekuatan.
Contoh. Mengubah akar menjadi kekuatan
x + 5 - 3 5 = x + 5 - 3 5 , x > - 5 - - x - 5 - 3 5 , x< - 5
Mari kita buktikan hasil yang diberikan dalam tabel. Jika angka m adalah bilangan bulat dan ganjil, dan n adalah bilangan bulat positif dan genap, untuk semua variabel dari ODZ dalam ekspresi A m n nilai A adalah positif atau non-negatif (untuk m > 0). Itu sebabnya A m n = A m n .
Dalam kasus kedua, ketika m adalah bilangan bulat, positif dan ganjil, dan n adalah bilangan asli dan ganjil, nilai A m n dipisahkan. Untuk variabel dari ODZ dengan A non-negatif, A m n = A m n = A m n . Untuk variabel di mana A negatif, kita mendapatkan A m n = - A m n = - 1 m · A m n = - A m n = - A m n = - A m n .
Demikian pula, pertimbangkan kasus berikut, ketika m adalah bilangan bulat dan genap, dan n adalah bilangan asli. Jika nilai A positif atau non-negatif, maka untuk nilai variabel seperti itu dari ODZ A m n = A m n = A m n . Untuk negatif A kita dapatkan A m n = - A m n = - 1 m · A m n = A m n = A m n .
Jadi, dalam kasus ketiga, untuk semua variabel dari ODZ, kita dapat menulis A m n = A m n .
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter
Akar ke-n dari bilangan x adalah bilangan non-negatif z yang, jika dipangkatkan ke-n, menjadi x. Definisi root termasuk dalam daftar operasi aritmatika dasar yang kita kenal di masa kanak-kanak.
Notasi matematika
"Root" berasal dari kata Latin radix dan saat ini kata "radikal" digunakan sebagai sinonim untuk istilah matematika ini. Sejak abad ke-13, ahli matematika telah menandai operasi mengekstraksi akar dengan huruf r dengan garis horizontal di atas ekspresi akar. Pada abad ke-16, penunjukan V diperkenalkan, yang secara bertahap menggantikan tanda r, tetapi garis horizontal tetap dipertahankan. Mudah untuk mengetiknya di percetakan atau menulis dengan tangan, tetapi penunjukan huruf dari root - sqrt telah menyebar di publikasi dan pemrograman elektronik. Beginilah cara kami menunjukkan akar kuadrat dalam artikel ini.
Akar pangkat dua
Radikal kuadrat dari bilangan x adalah bilangan z yang, jika dikalikan dengan dirinya sendiri, menjadi x. Misalnya, jika kita mengalikan 2 dengan 2, kita mendapatkan 4. Dua dalam hal ini adalah akar kuadrat dari empat. Kalikan 5 dengan 5, kita mendapatkan 25 dan sekarang kita sudah mengetahui nilai dari ekspresi sqrt(25). Kita dapat mengalikan dan -12 dengan -12 dan mendapatkan 144, dan akar 144 akan menjadi 12 dan -12. Jelas, akar kuadrat dapat berupa bilangan positif dan negatif.
Dualisme khas dari akar semacam itu penting untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, oleh karena itu, ketika mencari jawaban untuk masalah seperti itu, diperlukan untuk menunjukkan kedua akar tersebut. Saat memecahkan ekspresi aljabar, akar kuadrat aritmatika digunakan, yaitu hanya nilai positifnya.
Bilangan yang akar kuadratnya adalah bilangan bulat disebut kuadrat sempurna. Ada seluruh urutan angka seperti itu, yang awalnya terlihat seperti:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256…
Akar kuadrat dari bilangan lain adalah bilangan irasional. Misalnya, sqrt(3) = 1,73205080757... dan seterusnya. Angka ini tidak terbatas dan tidak periodik, yang menyebabkan beberapa kesulitan dalam menghitung radikal tersebut.
Kursus matematika sekolah menyatakan bahwa Anda tidak dapat mengambil akar kuadrat dari bilangan negatif. Seperti yang kita pelajari di kursus analisis matematika sekolah menengah, ini dapat dan harus dilakukan - untuk itulah diperlukan bilangan kompleks. Namun, program kami dirancang untuk mengekstraksi nilai sebenarnya dari akar, sehingga tidak menghitung radikal genap dari bilangan negatif.
akar pangkat tiga
Radikal kubik dari bilangan x adalah bilangan z yang, jika dikalikan dengan dirinya sendiri tiga kali, menghasilkan bilangan x. Misalnya, jika kita mengalikan 2 × 2 × 2, kita mendapatkan 8. Jadi, dua adalah akar pangkat tiga dari delapan. Kalikan empat kali dengan sendirinya dan dapatkan 4 × 4 × 4 = 64. Jelas, empat adalah akar pangkat tiga dari 64. Ada barisan bilangan tak terhingga yang akar pangkat tiganya adalah bilangan bulat. Awalannya terlihat seperti:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744…
Untuk bilangan lainnya, akar pangkat tiga adalah bilangan irasional. Tidak seperti akar kuadrat, akar pangkat tiga, seperti akar ganjil lainnya, dapat diambil dari bilangan negatif. Ini semua tentang produk angka kurang dari nol. Minus demi minus memberi plus - aturan yang diketahui dari bangku sekolah. Minus dikali plus jadi minus. Jika kita mengalikan bilangan negatif dengan bilangan ganjil, maka hasilnya juga akan negatif, oleh karena itu, tidak ada yang menghalangi kita untuk mengekstraksi akar ganjil dari bilangan negatif.
Namun, program kalkulator bekerja secara berbeda. Faktanya, mengekstraksi root meningkatkan ke kekuatan terbalik. Akar kuadrat dianggap sebagai pangkat 1/2, dan kubus - 1/3. Rumus untuk menaikkan pangkat 1/3 dapat dibalik dan dinyatakan sebagai 2/6. Hasilnya sama, tetapi tidak mungkin mengekstrak akar seperti itu dari bilangan negatif. Jadi, kalkulator kami menghitung akar aritmatika hanya dari bilangan positif.
Akar ke-N
Cara menghitung radikal yang berornamen seperti itu memungkinkan Anda untuk menentukan akar derajat apa pun dari ekspresi apa pun. Anda dapat mengekstraksi akar pangkat lima dari sebuah angka, atau radikal ke-19 dari angka ke-12. Semua ini diimplementasikan secara elegan sebagai eksponensial masing-masing dengan pangkat 3/5 atau 12/19.
Pertimbangkan sebuah contoh
Persegi diagonal
Ketidakrasionalan diagonal sebuah bujur sangkar diketahui oleh orang Yunani kuno. Mereka dihadapkan pada masalah menghitung diagonal persegi datar, karena panjangnya selalu sebanding dengan akar kuadrat dari dua. Rumus untuk menentukan panjang diagonal diturunkan dari dan akhirnya berbentuk:
d = a × kuadrat(2).
Mari kita tentukan akar kuadrat dari dua menggunakan kalkulator kita. Masukkan nilai 2 di sel "Angka (x)", dan juga 2 di sel "Daya (n)". Hasilnya, kita mendapatkan ekspresi sqrt (2) = 1,4142. Jadi, untuk perkiraan kasar diagonal sebuah bujur sangkar, cukup dengan mengalikan sisinya dengan 1,4142.
Kesimpulan
Pencarian radikal adalah operasi aritmatika standar, yang tanpanya kalkulasi ilmiah atau desain sangat diperlukan. Tentu saja, kita tidak perlu menentukan akar untuk menyelesaikan soal sehari-hari, tetapi kalkulator online kami pasti akan berguna bagi anak sekolah atau siswa untuk memeriksa pekerjaan rumah mereka dalam aljabar atau kalkulus.
Dari artikel ini Anda akan belajar:
- apa itu "ekstraksi root";
- dalam kasus apa itu diekstraksi;
- prinsip untuk mencari nilai akar;
- metode dasar mengekstraksi akar dari bilangan asli dan pecahan.
Apa itu "ekstraksi akar"
Pertama, mari perkenalkan definisi "ekstraksi akar".
Definisi 1
Ekstraksi akar adalah proses menemukan nilai akar.
Saat mengambil akar ke-n dari a, kita menemukan bilangan b yang pangkat ke-nnya adalah a. Jika kami telah menemukan angka seperti itu b , kami dapat mengatakan bahwa root telah diekstraksi.
Catatan 1
Ungkapan "mengekstrak akar" dan "menemukan nilai akar" adalah setara.
Kapan root diekstraksi?
Definisi 2Akar ke-n dapat diekstraksi dari suatu bilangan dengan tepat jika a dapat direpresentasikan sebagai pangkat ke-n dari suatu bilangan b.
Contoh 1
4 \u003d 2 × 2, oleh karena itu, dari angka 4 Anda dapat mengekstraksi akar kuadrat dengan tepat, yaitu sama dengan 2
Definisi 3
Ketika akar ke-n dari bilangan a tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat ke-n dari bilangan b, maka akar tersebut tidak diambil atau hanya perkiraan nilai yang diambil akar akurat ke setiap tempat desimal.
Contoh 2
2 ≈ 1 , 4142 .
Prinsip mencari nilai akar dan cara mengekstraknya
- Menggunakan meja persegi, meja kubus, dll.
- Dekomposisi ekspresi radikal (bilangan) menjadi faktor prima
- Mengekstrak akar bilangan negatif
Perlu dipahami dengan prinsip apa makna akar itu ditemukan, dan bagaimana akar itu diekstraksi.
Definisi 4
Prinsip utama mencari nilai akar adalah didasarkan pada sifat-sifat akar, termasuk persamaan: b n n = b , yang berlaku untuk sembarang bilangan tak negatif b .
Anda harus mulai dengan cara paling sederhana dan paling jelas: tabel persegi, kubus, dll.
Jika tidak ada meja, metode penguraian bilangan akar menjadi faktor-faktor sederhana akan membantu Anda (metode ini bersahaja).
Perlu diperhatikan untuk mengekstraksi akar dari bilangan negatif, yang dimungkinkan untuk akar dengan eksponen ganjil.
Pelajari cara mengekstrak akar dari bilangan pecahan, termasuk bilangan campuran, pecahan, dan desimal.
Dan perlahan pertimbangkan metode bitwise menemukan nilai root - yang paling kompleks dan multi-tahap.
Menggunakan tabel kotak, kubus, dll.
Tabel kuadrat mencakup semua angka dari 0 hingga 99 dan terdiri dari 2 zona: di zona pertama, Anda dapat membuat angka hingga 99 menggunakan kolom vertikal dengan puluhan dan garis horizontal dengan satuan, zona kedua berisi semua kotak dari bilangan yang terbentuk.
Tabel kotak
| Tabel kotak | unit | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| puluhan | 0 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| 1 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | |
| 2 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 | 676 | 729 | 784 | 841 | |
| 3 | 900 | 961 | 1024 | 1089 | 1156 | 1225 | 1296 | 1369 | 1444 | 1521 | |
| 4 | 1600 | 1681 | 1764 | 1849 | 1936 | 2025 | 2116 | 2209 | 2304 | 2041 | |
| 5 | 2500 | 2601 | 2704 | 2809 | 2916 | 3025 | 3136 | 3249 | 3364 | 3481 | |
| 6 | 3600 | 3721 | 3844 | 3969 | 4096 | 4225 | 4356 | 4489 | 4624 | 4761 | |
| 7 | 4900 | 5041 | 5184 | 5329 | 5476 | 5625 | 5776 | 5929 | 6084 | 6241 | |
| 8 | 6400 | 6561 | 6724 | 6889 | 7056 | 7225 | 7396 | 7569 | 7744 | 7921 | |
| 9 | 8100 | 8281 | 8464 | 8649 | 8836 | 9025 | 9216 | 9409 | 9604 | 9801 | |
Ada juga tabel kubus, pangkat empat, dll., yang dibuat dengan prinsip yang mirip dengan tabel bujur sangkar.
Meja kubus
| Meja kubus | unit | ||||||||||
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | ||
| puluhan | 0 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
| 1 | 1000 | 1 331 | 1 728 | 2 197 | 2 744 | 3 375 | 4 096 | 4 913 | 5 832 | 6 859 | |
| 2 | 8000 | 9 261 | 10 648 | 12 167 | 13 824 | 15 625 | 17 576 | 19 683 | 21 952 | 24 389 | |
| 3 | 27000 | 29 791 | 32 768 | 35 937 | 39 304 | 42 875 | 46 656 | 50 653 | 54 872 | 59 319 | |
| 4 | 64000 | 68 921 | 74 088 | 79 507 | 85 184 | 91 125 | 97 336 | 103 823 | 110 592 | 117 649 | |
| 5 | 125000 | 132 651 | 140 608 | 148 877 | 157 464 | 166 375 | 175 616 | 185 193 | 195 112 | 205 379 | |
| 6 | 216000 | 226 981 | 238 328 | 250 047 | 262 144 | 274 625 | 287 496 | 300 763 | 314 432 | 328 509 | |
| 7 | 343000 | 357 911 | 373 248 | 389 017 | 405 224 | 421 875 | 438 976 | 456 533 | 474 552 | 493 039 | |
| 8 | 512000 | 531 441 | 551 368 | 571 787 | 592 704 | 614 125 | 636 056 | 658 503 | 681 472 | 704 969 | |
| 729000 | 753 571 | 778 688 | 804 357 | 830 584 | 857 375 | 884 736 | 912 673 | 941 192 | 970 299 | ||
Prinsip pengoperasian tabel semacam itu sederhana, tetapi seringkali tidak tersedia, yang sangat mempersulit proses ekstraksi root, jadi Anda perlu mengetahui setidaknya beberapa metode ekstraksi root.
Dekomposisi bilangan akar menjadi faktor prima
Cara paling mudah untuk menemukan nilai akar setelah tabel kuadrat dan kubus.
Definisi 5
Metode penguraian bilangan akar menjadi faktor prima menyiratkan penyajian bilangan sebagai derajat dengan indikator yang diperlukan, yang memungkinkan kita memperoleh nilai akar.
Contoh 3
Mari kita akar kuadrat dari 144.
Mari kita faktorkan 144 menjadi faktor prima:
Jadi: 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = (2 × 2) 2 × 3 2 = (2 × 2 × 3) 2 = 12 2 . Oleh karena itu, 144 = 12 2 = 12 .
Selain itu, saat menggunakan properti degree dan root, Anda dapat menulis transformasi sedikit berbeda:
144 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2 4 x 3 2 = 2 4 x 3 2 = 2 2 x 3 = 12
144 = 12 adalah jawaban terakhir.
Mengekstraksi akar dari bilangan pecahan
Kita ingat: Setiap bilangan pecahan harus ditulis sebagai pecahan.
Definisi 6
Mengikuti properti dari akar hasil bagi, persamaan berikut ini benar:
p q n = p n q n . Berdasarkan persamaan ini, perlu digunakan aturan untuk mengekstrak akar dari pecahan: Akar pecahan sama dengan membagi akar pembilang dengan akar penyebut.
Contoh 4
Perhatikan contoh mengekstrak akar dari pecahan desimal, karena Anda dapat mengekstrak akar dari pecahan biasa menggunakan tabel.
Perlu untuk mengekstrak akar pangkat tiga dari 474 , 552 . Pertama-tama, mari kita nyatakan pecahan desimal dalam bentuk biasa: 474 , 552 = 474552 / 1000 . Ini mengikuti dari ini: 474552 1000 3 = 474552 3 1000 3 . Kemudian Anda dapat melanjutkan ke proses mengekstraksi akar pangkat tiga di pembilang dan penyebut:
474552 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 13 × 13 × 13 = (2 × 3 × 13) 3 = 783 dan 1000 = 103 lalu
474552 3 = 78 3 3 = 78 dan 1000 3 = 10 3 3 = 10 .
Kami menyelesaikan perhitungannya: 474552 3 1000 3 = 78 10 = 7 , 8 .
Mengekstraksi akar bilangan negatif
Jika penyebutnya adalah bilangan ganjil, maka bilangan di bawah tanda akar bisa negatif. Ini mengikuti dari ini: untuk bilangan negatif - a dan eksponen ganjil dari akar 2 n - 1, persamaannya benar:
A 2 × n - 1 = - a 2 × n - 1
Definisi 7
Aturan untuk mengekstraksi derajat ganjil dari bilangan negatif: Untuk mengekstrak akar dari bilangan negatif, Anda harus mengekstrak akar dari bilangan positif yang berlawanan dan meletakkan tanda minus di depannya.
Contoh 5
12 209 243 5 . Pertama, Anda perlu mengubah ekspresi sehingga angka positif muncul di bawah tanda root:
12 209 243 5 = 12 209 243 - 5
Maka Anda harus mengganti angka campuran dengan pecahan biasa:
12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5
Menggunakan aturan mengekstraksi akar dari pecahan biasa, kami mengekstrak:
3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5
Kami menghitung akar di pembilang dan penyebut:
3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3
Ringkasan solusi:
12 209 243 5 = 12 209 243 - 5 = 3125 243 - 5 = - 3125 5 243 5 = - 5 5 5 3 5 5 = - 5 3 = - 1 2 3 .
Jawaban: - 12 209 243 5 = - 1 2 3 .
Bitwise Menemukan Nilai Akar
Ada kasus ketika ada angka di bawah root yang tidak dapat direpresentasikan sebagai kekuatan ke-n dari angka tertentu. Tetapi perlu untuk mengetahui nilai root hingga tanda tertentu.
Dalam hal ini, perlu menggunakan algoritme bitwise untuk menemukan nilai root, yang dengannya Anda bisa mendapatkan jumlah nilai yang cukup dari angka yang diinginkan.
Contoh 6
Bagaimana ini terjadi, mari kita lihat contoh mengekstraksi akar kuadrat dari 5.
Pertama, Anda perlu menemukan nilai digit satuan. Untuk melakukan ini, mari kita mulai mengulangi nilai 0 , 1 , 2 , . . . , 9 , sambil menghitung 0 2 , 1 2 , . . . , 9 2 dengan nilai yang diminta, yang lebih besar dari bilangan akar 5 . Semua ini dengan mudah disajikan dalam bentuk tabel:
Nilai deret satuan adalah 2 (jadi 2 2< 5 , а 2 3 >5) . Kami lolos ke kategori persepuluhan - kami akan mengkuadratkan angka 2, 0, 2, 1, 2, 2,. . . , 2 , 9 , membandingkan nilai yang diperoleh dengan angka 5 .
Sejak 2 , 2 2< 5 , а 2 , 3 2 >5 , maka nilai kesepuluh adalah 2 . Mari beralih ke mencari nilai perseratus:
Jadi, nilai dari akar lima ditemukan - 2, 23. Anda dapat menemukan nilai root lebih lanjut:
2 , 236 , 2 , 2360 , 2 , 23606 , 2 , 236067 , . . .
Jadi, kami telah mempelajari beberapa cara paling umum untuk menemukan nilai akar, yang dapat digunakan dalam situasi apa pun.
Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, sorot dan tekan Ctrl+Enter
Agar berhasil menggunakan operasi ekstraksi root dalam praktiknya, Anda harus mengenal properti dari operasi ini.
Semua properti dirumuskan dan dibuktikan hanya untuk nilai non-negatif dari variabel yang terkandung di bawah tanda akar.
Teorema 1. Akar ke-n (n=2, 3, 4,...) hasil kali dua chipset non-negatif sama dengan hasil kali akar ke-n dari bilangan-bilangan ini:
Komentar:
1.
Teorema 1 tetap berlaku untuk kasus di mana ekspresi akar adalah produk dari lebih dari dua bilangan non-negatif.
Teorema 2.Jika,
dan n adalah bilangan asli lebih besar dari 1, maka persamaannya
Singkat(walaupun tidak akurat) formulasi yang lebih mudah digunakan dalam praktik: akar dari pecahan sama dengan pecahan dari akar.
Teorema 1 memungkinkan kita untuk mengalikan m hanya akar dengan derajat yang sama
, yaitu hanya akar dengan eksponen yang sama.
Teorema 3. Jika ,k adalah bilangan asli dan n adalah bilangan asli lebih besar dari 1, maka persamaannya
Dengan kata lain, untuk menaikkan akar ke kekuatan alami, cukup dengan menaikkan ekspresi akar ke kekuatan ini.
Ini adalah konsekuensi dari Teorema 1. Memang, misalnya, untuk k = 3 kita dapatkan
Teorema 4. Jika ,k, n adalah bilangan asli lebih besar dari 1, maka persamaannya
Dengan kata lain, untuk mengekstraksi akar dari akar, cukup mengalikan eksponen akar.
Misalnya,
Hati-hati! Kami belajar bahwa empat operasi dapat dilakukan pada akar: perkalian, pembagian, eksponensial, dan ekstraksi akar (dari akar). Tapi bagaimana dengan penambahan dan pengurangan akar? Mustahil.
Misalnya, Anda tidak dapat menulis alih-alih Memang, Tapi sudah jelas
Teorema 5. Jika indikator akar dan ekspresi akar dikalikan atau dibagi dengan bilangan asli yang sama, maka nilai akarnya tidak akan berubah, yaitu
Contoh pemecahan masalah
Contoh 1 Menghitung
Larutan. Menggunakan properti pertama dari akar (Teorema 1), kita mendapatkan:
Contoh 2 Menghitung
Larutan. Ubahlah pecahan campuran menjadi pecahan biasa.
Kami telah Menggunakan properti kedua dari root ( teorema 2
), kita mendapatkan:
Contoh 3 Menghitung: 
Larutan. Rumus aljabar apa pun, seperti yang Anda ketahui, digunakan tidak hanya "dari kiri ke kanan", tetapi juga "dari kanan ke kiri". Jadi, properti pertama dari root berarti dapat direpresentasikan sebagai dan, sebaliknya, dapat diganti dengan ekspresi. Hal yang sama berlaku untuk sifat kedua dari akar. Dengan pemikiran ini, mari kita lakukan perhitungan.
