Je možné násobit čísla s různou mocninou? Násobení a dělení čísel pomocí mocnin

Pojem diplom z matematiky se zavádí v 7. ročníku v hodině algebry. A následně v celém průběhu studia matematiky je tento pojem v různých podobách aktivně využíván. Stupně jsou poměrně obtížné téma, které vyžaduje zapamatování hodnot a schopnost správně a rychle počítat. Aby matematici pracovali se stupni rychleji a lépe, přišli s vlastnostmi stupňů. Pomáhají redukovat velké výpočty, do určité míry převádějí obrovský příklad do jediného čísla. Vlastností není tolik a všechny jsou snadno zapamatovatelné a aplikovatelné v praxi. Proto článek pojednává o základních vlastnostech stupně a také o tom, kde se uplatňují.

Vlastnosti stupně

Podíváme se na 12 vlastností stupňů, včetně vlastností stupňů se stejnými základy, a ke každé vlastnosti uvedeme příklad. Každá z těchto vlastností vám pomůže rychleji řešit problémy se stupni a také vás ušetří četných chyb ve výpočtu.

1. nemovitost.

Mnoho lidí na tuto vlastnost velmi často zapomíná a dělá chyby, když číslo s nulovou mocninou představuje nula.

2. nemovitost.

3. nemovitost.

Je třeba si uvědomit, že tuto vlastnost lze použít pouze při násobení čísel, nepracuje se součtem! A nesmíme zapomenout, že tato a následující vlastnosti platí pouze pro mocniny se stejnými bázemi.

4. nemovitost.

Pokud je číslo ve jmenovateli umocněno na zápornou mocninu, pak při odečítání je stupeň jmenovatele uveden v závorce, aby se správně změnilo znaménko v dalších výpočtech.

Vlastnost funguje pouze při dělení, neplatí při odečítání!

5. nemovitost.

6. nemovitost.

Tato vlastnost může být aplikována i v opačném směru. Jednotka dělená číslem do určité míry je toto číslo na mínus mocninu.

7. nemovitost.

Tuto vlastnost nelze použít na součet a rozdíl! Zvýšení součtu nebo rozdílu na mocninu používá spíše zkrácené násobící vzorce než mocninné vlastnosti.

8. nemovitost.

9. nemovitost.

Tato vlastnost funguje pro jakoukoli zlomkovou mocninu s čitatelem rovným jedné, vzorec bude stejný, pouze mocnina odmocniny se bude měnit v závislosti na jmenovateli mocniny.

Tato vlastnost se také často používá obráceně. Odmocnina jakékoli mocniny čísla může být reprezentována jako toto číslo k mocnině jedné dělené mocninou odmocniny. Tato vlastnost je velmi užitečná v případech, kdy nelze extrahovat kořen čísla.

10. nemovitost.

Tato vlastnost funguje nejen s odmocninami a sekundami. Pokud se stupeň kořene a stupeň, do kterého je tento kořen vyvýšen, shodují, pak bude odpovědí radikální výraz.

11. nemovitost.

Tuto vlastnost musíte mít při řešení včas vidět, abyste se ušetřili obrovských výpočtů.

12. nemovitost.

Každá z těchto vlastností se na vás v úkolech setká vícekrát, může být uvedena v čisté podobě, nebo může vyžadovat určité transformace a použití jiných vzorců. Ke správnému rozhodnutí tedy nestačí znát pouze vlastnosti, je potřeba procvičit a začlenit další matematické znalosti.

Aplikace stupňů a jejich vlastnosti

Aktivně se používají v algebře a geometrii. Tituly v matematice mají samostatné, důležité místo. S jejich pomocí se řeší exponenciální rovnice a nerovnice, rovnice a příklady související s jinými odvětvími matematiky jsou často komplikovány mocninami. Mocniny pomáhají vyhnout se velkým a zdlouhavým výpočtům, mocniny se snáze zkracují a počítají. Ale abyste mohli pracovat s velkými mocninami nebo s mocninami velkých čísel, musíte znát nejen vlastnosti mocniny, ale také kompetentně pracovat se základnami, umět je rozšiřovat, abyste si usnadnili svůj úkol. Pro větší pohodlí byste také měli znát význam čísel umocněných. Tím se zkrátí váš čas při řešení a odpadá nutnost zdlouhavých výpočtů.

Koncept stupně hraje v logaritmech zvláštní roli. Protože logaritmus je v podstatě mocninou čísla.

Dalším příkladem použití mocnin jsou vzorce pro zkrácené násobení. Vlastnosti stupňů v nich nelze použít, jsou rozšířeny podle zvláštních pravidel, ale v každém vzorci zkráceného násobení jsou stupně vždy.

Tituly se také aktivně používají ve fyzice a informatice. Veškeré převody do soustavy SI se provádějí pomocí mocnin a v budoucnu se při řešení úloh využívají vlastnosti mocniny. V informatice se mocniny dvou aktivně používají pro pohodlí počítání a zjednodušení vnímání čísel. Další výpočty pro převod měrných jednotek nebo výpočty problémů, stejně jako ve fyzice, probíhají pomocí vlastností stupňů.

Stupně jsou velmi užitečné i v astronomii, kde málokdy uvidíte využití vlastností stupně, ale samotné stupně se aktivně využívají ke zkrácení zápisu různých veličin a vzdáleností.

Stupně se také používají v každodenním životě při výpočtu ploch, objemů a vzdáleností.

Stupně se používají k záznamu velmi velkých a velmi malých množství v jakékoli oblasti vědy.

Exponenciální rovnice a nerovnice

Vlastnosti stupňů zaujímají zvláštní místo právě v exponenciálních rovnicích a nerovnicích. Tyto úkoly jsou velmi časté, a to jak ve školních kurzech, tak při zkouškách. Všechny jsou řešeny aplikací vlastností stupně. Neznámá se vždy nachází v samotném stupni, takže znát všechny vlastnosti, vyřešit takovou rovnici nebo nerovnici není těžké.

Je zřejmé, že čísla s mocninami lze sčítat jako jiné veličiny , a to tak, že je přidáte jeden po druhém se svými znaky.

Takže součet a 3 a b 2 je a 3 + b 2.
Součet a 3 - b n a h 5 - d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kurzy stejné mocniny stejných proměnných lze přidat nebo odečíst.

Takže součet 2a2 a 3a2 se rovná 5a2.

Je také zřejmé, že když vezmete dvě pole a, nebo tři pole a, nebo pět polí a.

Ale stupně různé proměnné A různé stupně identické proměnné, musí být složen tak, že je sečte se svými znaménky.

Takže součet 2 a 3 je součet 2 + a 3.

Je zřejmé, že druhá mocnina a a krychle a se nerovnají dvojnásobku druhé mocniny a, ale dvojnásobku krychle a.

Součet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Odčítání mocniny se provádějí stejným způsobem jako sčítání, s tím rozdílem, že znaménka subtrahendů musí být odpovídajícím způsobem změněna.

Nebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobení mocnin

Čísla s mocninami lze násobit, stejně jako jiné veličiny, jejich psaním za sebou, s násobícím znaménkem nebo bez něj.

Výsledkem vynásobení a 3 b 2 je tedy a 3 b 2 nebo aaabb.

Nebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Výsledek v posledním příkladu lze seřadit přidáním identických proměnných.
Výraz bude mít tvar: a 5 b 5 y 3.

Porovnáním několika čísel (proměnných) s mocninami můžeme vidět, že pokud se kterákoli dvě z nich vynásobí, pak výsledkem je číslo (proměnná) s mocninou rovnou množství stupně termínů.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Zde 5 je mocnina výsledku násobení, rovna 2 + 3, součet mocnin členů.

Takže a n .a m = a m+n .

Pro a n se a bere jako faktor tolikrát, jako je mocnina n;

A m se bere jako faktor tolikrát, kolikrát je stupeň m roven;

Proto, mocniny se stejnými základy lze násobit sečtením mocnin.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Nebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpověď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí i pro čísla, jejichž exponenty jsou negativní.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. To lze zapsat jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Pokud a + b vynásobíme a - b, výsledkem bude a 2 - b 2: tzn

Výsledek vynásobení součtu nebo rozdílu dvou čísel se rovná součtu nebo rozdílu jejich druhých mocnin.

Pokud vynásobíte součet a rozdíl dvou čísel umocněných na náměstí, výsledek se bude rovnat součtu nebo rozdílu těchto čísel v Čtvrtý stupně.

Takže (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Dělení stupňů

Čísla s mocninami lze dělit jako ostatní čísla odečtením od dělence nebo jejich umístěním ve zlomkovém tvaru.

Takže a 3 b 2 děleno b 2 se rovná a 3.

Nebo:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zápis 5 děleno 3 vypadá jako $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to se rovná 2. V řadě čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
libovolné číslo lze vydělit jiným a exponent bude roven rozdíl ukazatele dělitelných čísel.

Při dělení stupňů se stejným základem se jejich exponenty odečítají..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac(yyy)(yy) = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Nebo:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí i pro čísla s negativní hodnoty stupňů.
Výsledkem dělení -5 a -3 je -2.
Také $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 nebo $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Násobení a dělení mocnin je nutné velmi dobře ovládat, protože takové operace jsou v algebře velmi rozšířené.

Příklady řešení příkladů se zlomky obsahujícími čísla s mocninami

1. Zmenšete exponenty o $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpověď: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Snižte exponenty o $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpověď: $\frac(2x)(1)$ nebo 2x.

3. Snižte exponenty a 2 /a 3 a a -3 /a -4 a přiveďte na společného jmenovatele.
a 2 .a -4 je a -2 první čitatel.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitatel.
a 3 .a -4 je a -1 , společný čitatel.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Zmenšete exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a přiveďte na společného jmenovatele.
Odpověď: 2a 3 /5a 7 a 5a 5 /5a 7 nebo 2a 3 /5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydělte a 4 /y 3 a 3 /y 2 . Odpověď: a/y.

9. Vydělte (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.

První úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexní průvodce (2019)

Proč jsou potřebné tituly? Kde je budete potřebovat? Proč byste měli věnovat čas jejich studiu?

Chcete-li se dozvědět vše o titulech, k čemu jsou potřeba a jak své znalosti využít v každodenním životě, přečtěte si tento článek.

A samozřejmě znalost titulů vás přiblíží k úspěšnému složení Unified State Exam nebo Unified State Exam a ke vstupu na univerzitu vašich snů.

Pojďme... (Pojďme!)

Důležitá poznámka! Pokud místo vzorců vidíte gobbledygook, vymažte mezipaměť. Chcete-li to provést, stiskněte CTRL+F5 (v systému Windows) nebo Cmd+R (v systému Mac).

PRVNÍ ÚROVEŇ

Umocňování je matematická operace stejně jako sčítání, odčítání, násobení nebo dělení.

Nyní vše vysvětlím lidskou řečí na velmi jednoduchých příkladech. Buď opatrný. Příklady jsou elementární, ale vysvětlují důležité věci.

Začněme sčítáním.

Tady není co vysvětlovat. Všechno už víte: je nás osm. Každý má dvě láhve coly. Kolik je tam coly? Správně - 16 lahví.

Nyní násobení.

Stejný příklad s kolou lze napsat jinak: . Matematici jsou mazaní a líní lidé. Nejprve si všimnou některých vzorců a pak vymyslí způsob, jak je „spočítat“ rychleji. V našem případě si všimli, že každý z osmi lidí má stejný počet lahví coly a přišli s technikou zvanou násobení. Souhlasíte, je to považováno za jednodušší a rychlejší než.

Chcete-li tedy počítat rychleji, snadněji a bez chyb, stačí si pamatovat násobilka. Vše samozřejmě zvládnete pomaleji, obtížněji a s chybami! Ale…

Zde je tabulka násobení. Opakovat.

A další, krásnější:

Jaké další chytré počítací triky vymysleli líní matematici? Že jo - zvýšení čísla na mocninu.

Zvyšování čísla na mocninu

Pokud potřebujete vynásobit číslo samo o sobě pětkrát, pak matematici říkají, že toto číslo musíte zvýšit na pátou mocninu. Například, . Matematici si pamatují, že dvě až pátá mocnina je... A takové problémy řeší v hlavě – rychleji, snadněji a bez chyb.

Vše, co musíte udělat, je zapamatujte si, co je barevně zvýrazněno v tabulce mocnin čísel. Věřte mi, že vám to hodně usnadní život.

Mimochodem, proč se tomu říká druhý stupeň? náměstíčísla a třetí - krychle? Co to znamená? Velmi dobrá otázka. Nyní budete mít čtverce i kostky.

Příklad ze života #1

Začněme druhou mocninou čísla.

Představte si čtvercový bazén o rozměrech jeden metr krát jeden metr. Bazén je u vaší dachy. Je horko a moc se mi chce plavat. Ale... bazén nemá dno! Dno bazénu musíte obložit dlaždicemi. Kolik dlaždic potřebujete? Abyste to mohli určit, musíte znát spodní část bazénu.

Jednoduše spočítáte ukazováním prstem, že dno bazénu se skládá z kostek metr po metru. Pokud máte dlaždice metr krát jeden metr, budete potřebovat kusy. Je to jednoduché... Ale kde jste takové dlaždice viděli? Dlaždice bude s největší pravděpodobností cm krát cm. A pak vás bude mučit „počítání prstem“. Pak musíte násobit. Takže na jednu stranu dna bazénu položíme dlaždice (kusy) a na druhou také dlaždice. Vynásobte a dostanete dlaždice ().

Všimli jste si, že pro určení plochy dna bazénu jsme stejné číslo vynásobili sami? Co to znamená? Protože násobíme stejné číslo, můžeme použít techniku „umocňování“. (Samozřejmě, když máte jen dvě čísla, je potřeba je ještě vynásobit nebo umocnit na mocninu. Pokud jich ale máte hodně, pak je umocnění na mocninu mnohem jednodušší a také je méně chyb ve výpočtech U jednotné státní zkoušky je to velmi důležité).
Takže třicet až druhá mocnina bude (). Nebo můžeme říci, že bude třicet čtverečních. Jinými slovy, druhá mocnina čísla může být vždy reprezentována jako čtverec. A naopak, pokud vidíte čtverec, je to VŽDY druhá mocnina nějakého čísla. Čtverec je obrazem druhé mocniny čísla.

Příklad ze života číslo 2

Zde je úkol pro vás: spočítejte, kolik je políček na šachovnici pomocí druhé mocniny čísla... Na jedné straně buněk a na druhé také. Chcete-li vypočítat jejich počet, musíte vynásobit osm osmi nebo... pokud si všimnete, že šachovnice je čtverec se stranou, pak můžete odmocnit osm. Získáte buňky. () Tak?

Příklad ze života číslo 3

Nyní krychle nebo třetí mocnina čísla. Stejný bazén. Nyní však musíte zjistit, kolik vody bude nutné do tohoto bazénu nalít. Musíte vypočítat objem. (Mimochodem, objemy a kapaliny se měří v metrech krychlových. Nečekané, že?) Nakreslete bazén: dno má velikost metr a hloubku metr a zkuste spočítat, kolik krychlí o rozměrech metr krát metr bude vejde se do vašeho bazénu.

Stačí ukázat prstem a počítat! Jeden, dva, tři, čtyři...dvacet dva, dvacet tři...Kolik jsi jich dostal? Neztratil se? Je těžké počítat prstem? Aby! Vezměte si příklad od matematiků. Jsou líní, a tak si všimli, že pro výpočet objemu bazénu je potřeba vynásobit jeho délku, šířku a výšku navzájem. V našem případě bude objem bazénu roven kostkám... Jednodušší, že?

A teď si představte, jak jsou matematici líní a mazaní, když to zjednodušili. Vše jsme zredukovali na jednu akci. Všimli si, že délka, šířka a výška jsou stejné a že stejné číslo se samo násobí... Co to znamená? To znamená, že můžete využít titul. Takže to, co jste kdysi spočítali prstem, udělají jednou akcí: tři kostky se rovnají. Píše se to takto: .

Zbývá jen zapamatujte si tabulku stupňů. Pokud ovšem nejste líní a mazaní jako matematici. Pokud rádi tvrdě pracujete a děláte chyby, můžete i nadále počítat prstem.

Abychom vás konečně přesvědčili, že tituly vymysleli lidé, kteří se vzdávají, a mazaní lidé, aby řešili své životní problémy, a ne aby vám dělali problémy, zde je pár dalších příkladů ze života.

Příklad ze života #4

Máte milion rublů. Na začátku každého roku za každý vydělaný milion vyděláte další milion. To znamená, že každý milion, který máte, se na začátku každého roku zdvojnásobuje. Kolik peněz budete mít za roky? Pokud teď sedíte a „počítáte prstem“, pak jste velmi pracovitý člověk a... hloupý. Ale s největší pravděpodobností dáš odpověď za pár sekund, protože jsi chytrý! Takže v prvním roce - dva vynásobené dvěma... ve druhém roce - co se stalo, ještě dva, ve třetím roce... Stop! Všimli jste si, že číslo se násobí samo sebou krát. Takže dvě ku páté mocnině je milion! A teď si představte, že máte soutěž a ten, kdo umí nejrychleji počítat, získá tyto miliony... Stojí za to si připomenout sílu čísel, nemyslíte?

Příklad ze života číslo 5

Máte milion. Na začátku každého roku získáte za každý vydělaný milion dva další. Skvělé, že? Každý milion se ztrojnásobí. Kolik peněz budete mít za rok? Pojďme počítat. První rok - násobte, pak výsledek dalším... Už je to nuda, protože už jste všemu rozuměli: trojka se sama násobí krát. Takže na čtvrtou mocninu se rovná milionu. Jen si musíte pamatovat, že tři až čtvrtá mocnina je nebo.

Nyní víte, že zvýšením čísla na mocninu si hodně usnadníte život. Pojďme se dále podívat na to, co můžete dělat s tituly a co o nich potřebujete vědět.

Termíny a pojmy... abych se nepletl

Nejprve si tedy definujme pojmy. Co myslíš, co je exponent? Je to velmi jednoduché – je to číslo, které je „nahoře“ mocniny čísla. Není to vědecké, ale jasné a snadno zapamatovatelné...

No a zároveň co takový diplomový základ? Ještě jednodušší - toto je číslo, které se nachází níže, na základně.

Tady je nákres pro dobrou míru.

No, obecně řečeno, abychom to zobecnili a lépe si zapamatovali... Titul se základem „ “ a exponentem „ “ se čte jako „do stupně“ a zapisuje se takto:

Mocnina čísla s přirozeným exponentem

Pravděpodobně už tušíte: protože exponent je přirozené číslo. Ano, ale co to je přirozené číslo? Základní! Přirozená čísla jsou ta čísla, která se používají při počítání při vypisování objektů: jedna, dva, tři... Když počítáme předměty, neříkáme: „mínus pět“, „mínus šest“, „mínus sedm“. Také neříkáme: „jedna třetina“ nebo „nula pět“. To nejsou přirozená čísla. Jaká čísla to podle vás jsou?

Čísla jako „mínus pět“, „mínus šest“, „mínus sedm“ označují celá čísla. Obecně platí, že celá čísla zahrnují všechna přirozená čísla, čísla opačná k přirozeným číslům (tj. braná se znaménkem mínus) a číslo. Nula je snadno pochopitelná - je, když nic není. Co znamenají záporná (“mínus”) čísla? Byly však vynalezeny především k označení dluhů: pokud máte na telefonu zůstatek v rublech, znamená to, že dlužíte operátorovi v rublech.

Všechny zlomky jsou racionální čísla. Jak vznikly, co myslíte? Velmi jednoduché. Před několika tisíci lety naši předkové zjistili, že jim chybí přirozená čísla k měření délky, hmotnosti, plochy atd. A přišli na to racionální čísla... Zajímavé, že?

Existují i iracionální čísla. Jaká jsou tato čísla? Stručně řečeno, je to nekonečný desetinný zlomek. Pokud například vydělíte obvod kruhu jeho průměrem, dostanete iracionální číslo.

Souhrn:

Definujme pojem stupně, jehož exponent je přirozené číslo (tj. celé číslo a kladné číslo).

Jakékoli číslo k první mocnině se rovná samo sobě:
Odmocnit číslo znamená vynásobit ho samo sebou:
Krychlit číslo znamená vynásobit ho samo sebou třikrát:

Definice. Zvýšení čísla na přirozenou mocninu znamená vynásobení čísla samo o sobě krát:
.

Vlastnosti stupňů

Kde se tyto vlastnosti vzaly? Teď vám to ukážu.

Podívejme se: co to je A ?

A-priory:

Kolik je celkem násobitelů?

Je to velmi jednoduché: k faktorům jsme přidali multiplikátory a výsledkem jsou multiplikátory.

Ale podle definice se jedná o mocninu čísla s exponentem, tedy: , což je to, co bylo potřeba dokázat.

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení:

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení: Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle Nezbytně musí existovat stejné důvody!
Proto kombinujeme síly se základnou, ale zůstává to samostatný faktor:

pouze pro součin sil!

To v žádném případě nemůžete napsat.

2. to je ono mocnina čísla

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Ukazuje se, že výraz se násobí sám o sobě časy, to znamená, že podle definice je to ta mocnina čísla:

V podstatě to lze nazvat „vyjmutím indikátoru ze závorek“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně:

Vzpomeňme na zkrácené vzorce pro násobení: kolikrát jsme chtěli napsat?

Ale to koneckonců není pravda.

Výkon se zápornou bází

Do této chvíle jsme diskutovali pouze o tom, jaký by měl být exponent.

Co by ale mělo být základem?

V pravomocích přirozený indikátor základ může být jakékoliv číslo. Ve skutečnosti můžeme násobit libovolná čísla navzájem, ať už jsou kladná, záporná nebo sudá.

Zamysleme se nad tím, která znaménka ("" nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Je číslo například kladné nebo záporné? A? ? U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Pamatujeme si jednoduché pravidlo z 6. třídy: „mínus za mínus dává plus“. To znamená, popř. Ale když násobíme, funguje to.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli jste to?

Zde jsou odpovědi: V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: koneckonců nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní.

Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) již není tak jednoduchý!

6 příkladů k procvičení

Rozbor řešení 6 příkladů

Pokud budeme ignorovat osmou mocninu, co zde vidíme? Připomeňme si program pro 7. třídu. Tak co, vzpomínáte? To je vzorec pro zkrácené násobení, totiž rozdíl druhých mocnin! Dostaneme:

Podívejme se pozorně na jmenovatele. Vypadá to hodně jako jeden z faktorů čitatele, ale co je špatně? Pořadí pojmů je špatné. Pokud by byly obráceny, pravidlo by mohlo platit.

Ale jak to udělat? Ukazuje se, že je to velmi snadné: zde nám pomáhá sudý stupeň jmenovatele.

Kouzelně se termíny změnily. Tento „fenomén“ platí pro jakýkoli výraz rovnoměrně: znaménka v závorkách můžeme snadno změnit.

Ale je důležité si pamatovat: všechny znaky se mění současně!

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Celý nazýváme přirozená čísla, jejich protiklady (tj. brané se znaménkem " ") a číslo.

kladné celé číslo, a neliší se od přírodního, pak vše vypadá přesně jako v předchozí části.

Nyní se podívejme na nové případy. Začněme s ukazatelem rovným.

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné:

Jako vždy si položme otázku: proč tomu tak je?

Uvažujme nějaký stupeň se základnou. Vezměte si například a vynásobte:

Takže jsme číslo vynásobili a dostali jsme to samé, co bylo - . Jakým číslem vynásobit, aby se nic nezměnilo? Přesně tak, dál. Prostředek.

Totéž můžeme udělat s libovolným číslem:

Zopakujme si pravidlo:

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné.

Ale existují výjimky z mnoha pravidel. A tady je to také tam - toto je číslo (jako základ).

Na jednu stranu se musí rovnat libovolnému stupni - ať už nulu vynásobíte jakkoli, stejně dostanete nulu, to je jasné. Ale na druhou stranu, jako každé číslo s nulovou mocninou se musí rovnat. Tak kolik z toho je pravda? Matematici se rozhodli nezasahovat a odmítli zvýšit nulu na nulovou mocninu. To znamená, že nyní nemůžeme nejen dělit nulou, ale také ji zvýšit na nulovou mocninu.

Pokračujme. Kromě přirozených čísel a čísel zahrnují celá čísla také záporná čísla. Abychom pochopili, co je záporná mocnina, udělejme jako minule: vynásobte nějaké normální číslo stejným číslem na zápornou mocninu:

Odtud je snadné vyjádřit, co hledáte:

Nyní rozšíříme výsledné pravidlo na libovolnou míru:

Pojďme tedy formulovat pravidlo:

Číslo se zápornou mocninou je převrácená hodnota stejného čísla s kladnou mocninou. Ale v tu samou dobu Základ nemůže být null:(protože nelze dělit).

Pojďme si to shrnout:

I. Výraz není v případě definován. Pokud, tak.

II. Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné: .

III. Číslo, které se nerovná nule k záporné mocnině, je inverzí stejného čísla ke kladné mocnině: .

Úkoly pro samostatné řešení:

No, jako obvykle, příklady nezávislých řešení:

Analýza problémů pro samostatné řešení:

Já vím, já vím, čísla jsou děsivá, ale na Unified State Exam musíte být připraveni na všechno! Vyřešte tyto příklady nebo analyzujte jejich řešení, pokud jste je nedokázali vyřešit, a naučíte se s nimi snadno vyrovnat ve zkoušce!

Pokračujme v rozšiřování rozsahu čísel „vhodných“ jako exponent.

Nyní uvažujme racionální čísla. Jaká čísla se nazývají racionální?

Odpověď: vše, co lze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla a.

Abychom pochopili, co to je "zlomkový stupeň", zvažte zlomek:

Uveďme obě strany rovnice na mocninu:

Nyní si připomeňme pravidlo o "od stupně ke stupni":

Jaké číslo musí být zvýšeno na mocninu, abyste získali?

Tato formulace je definicí kořene tého stupně.

Dovolte mi, abych vám připomněl: odmocnina tý mocniny čísla () je číslo, které se po umocnění rovná.

To znamená, že kořen tý mocniny je inverzní operace zvýšení na mocninu: .

Ukázalo se, že. Je zřejmé, že tento speciální případ lze rozšířit: .

Nyní přidáme čitatel: co to je? Odpověď lze snadno získat pomocí pravidla výkonu k výkonu:

Ale může být základem jakékoliv číslo? Koneckonců, kořen nelze extrahovat ze všech čísel.

Žádný!

Připomeňme si pravidlo: každé číslo umocněné na sudou mocninu je kladné číslo. To znamená, že je nemožné extrahovat sudé kořeny ze záporných čísel!

To znamená, že taková čísla nelze umocnit na zlomkovou mocninu se sudým jmenovatelem, to znamená, že výraz nedává smysl.

A co výraz?

Zde ale nastává problém.

Číslo může být reprezentováno ve formě jiných, redukovatelných zlomků, například nebo.

A ukazuje se, že existuje, ale neexistuje, ale jsou to jen dva různé záznamy stejného čísla.

Nebo jiný příklad: jednou, pak si to můžete zapsat. Pokud si ale ukazatel zapíšeme jinak, opět se dostaneme do problémů: (tedy dostali jsme úplně jiný výsledek!).

Abychom se vyhnuli takovým paradoxům, uvažujeme pouze kladný základní exponent se zlomkovým exponentem.

Takže když:

- přirozené číslo;
- celé číslo;

Příklady:

Racionální exponenty jsou velmi užitečné pro transformaci výrazů s kořeny, například:

5 příkladů k procvičení

Rozbor 5 příkladů pro školení

No a teď přichází ta nejtěžší část. Teď na to přijdeme stupně s iracionálním exponentem.

Všechna pravidla a vlastnosti stupňů jsou zde úplně stejné jako u stupně s racionálním exponentem, s výjimkou

Koneckonců, iracionální čísla jsou z definice čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla (to znamená, že iracionální čísla jsou všechna reálná čísla kromě racionálních).

Při studiu titulů s přirozenými, celočíselnými a racionálními exponenty jsme pokaždé vytvořili určitý „obraz“, „analogii“ nebo popis ve známějších pojmech.

Například stupeň s přirozeným exponentem je číslo, které se samo sebou několikrát vynásobí;

...číslo na nulovou mocninu- je to jakoby číslo, které se jednou vynásobilo samo sebou, to znamená, že ho ještě nezačali násobit, což znamená, že se samotné číslo ještě ani neobjevilo - výsledkem je tedy pouze určité „prázdné číslo“ , jmenovitě číslo;

...záporné celé číslo- jako by nastal nějaký „obrácený proces“, to znamená, že číslo nebylo vynásobeno samo sebou, ale rozděleno.

Mimochodem, ve vědě se často používá titul s komplexním exponentem, to znamená, že exponent není ani skutečné číslo.

Ale ve škole o takových potížích nepřemýšlíme, na ústavu budete mít možnost těmto novým pojmům porozumět.

KAM JSME JISTÍ, ŽE PŮJDETE! (pokud se naučíte řešit takové příklady :))

Například:

Rozhodněte se sami:

Analýza řešení:

1. Začněme obvyklým pravidlem pro zvýšení moci na mocninu:

Nyní se podívejte na indikátor. Nepřipomíná vám nic? Připomeňme si vzorec pro zkrácené násobení rozdílu čtverců:

V tomto případě,

Ukázalo se, že:

Odpovědět: .

2. Zlomky v exponentech zredukujeme na stejný tvar: buď obě desetinná, nebo obě obyčejná. Dostáváme například:

Odpověď: 16

3. Nic zvláštního, používáme obvyklé vlastnosti stupňů:

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Určení stupně

Titul je vyjádřením tvaru: , kde:

— základ stupně;
- exponent.

Stupeň s přirozeným ukazatelem (n = 1, 2, 3,...)

Zvýšení čísla na přirozenou mocninu n znamená vynásobení čísla samo o sobě krát:

Stupeň s celočíselným exponentem (0, ±1, ±2,...)

Pokud je exponent kladné celé čísločíslo:

Konstrukce na nultý stupeň:

Výraz je neurčitý, protože na jedné straně je do jakéhokoli stupně toto a na druhé straně jakékoli číslo do tého stupně je toto.

Pokud je exponent záporné celé čísločíslo:

(protože nelze dělit).

Ještě jednou o nulách: výraz není v případě definován. Pokud, tak.

Příklady:

Mocnina s racionálním exponentem

- přirozené číslo;
- celé číslo;

Příklady:

Vlastnosti stupňů

Abychom usnadnili řešení problémů, pokusme se pochopit: odkud tyto vlastnosti pocházejí? Pojďme je dokázat.

Podívejme se: co je a?

A-priory:

Takže na pravé straně tohoto výrazu dostaneme následující produkt:

Ale z definice je to mocnina čísla s exponentem, tedy:

Q.E.D.

Příklad : Zjednodušte výraz.

Řešení : .

Příklad : Zjednodušte výraz.

Řešení : Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle Nezbytně musí existovat stejné důvody. Proto kombinujeme síly se základnou, ale zůstává to samostatný faktor:

Další důležitá poznámka: toto pravidlo - pouze pro součin sil!

To v žádném případě nemůžete napsat.

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Pojďme tuto práci přeskupit takto:

Ukazuje se, že výraz se násobí sám o sobě časy, to znamená, že podle definice je to ta mocnina čísla:

V podstatě to lze nazvat „vyjmutím indikátoru ze závorek“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně: !

Vzpomeňme na zkrácené vzorce pro násobení: kolikrát jsme chtěli napsat? Ale to koneckonců není pravda.

Moc s negativní bází.

Do této chvíle jsme pouze diskutovali o tom, jak by to mělo být index stupně. Co by ale mělo být základem? V pravomocích přírodní indikátor základ může být jakékoliv číslo .

Ve skutečnosti můžeme násobit libovolná čísla navzájem, ať už jsou kladná, záporná nebo sudá. Zamysleme se nad tím, která znaménka ("" nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Je číslo například kladné nebo záporné? A? ?

U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Pamatujeme si jednoduché pravidlo z 6. třídy: „mínus za mínus dává plus“. To znamená, popř. Pokud ale vynásobíme (), dostaneme - .

A tak dále ad infinitum: s každým dalším násobením se znaménko změní. Lze formulovat následující jednoduchá pravidla:

dokonce stupeň, - číslo pozitivní.
Záporné číslo zvýšeno na zvláštní stupeň, - číslo negativní.
Kladné číslo v jakémkoli stupni je kladné číslo.
Nula k libovolné mocnině se rovná nule.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Zvládli jste to? Zde jsou odpovědi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: koneckonců nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní. Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) již není tak jednoduchý. Zde musíte zjistit, co je méně: nebo? Pokud si to zapamatujeme, je jasné, že, což znamená, že základna je menší než nula. To znamená, že použijeme pravidlo 2: výsledek bude záporný.

A opět použijeme definici stupně:

Vše je jako obvykle - zapíšeme definici stupňů a rozdělíme je navzájem, rozdělíme do dvojic a dostaneme:

Než se podíváme na poslední pravidlo, vyřešme si pár příkladů.

Vypočítejte výrazy:

Řešení :

Pokud budeme ignorovat osmou mocninu, co zde vidíme? Připomeňme si program pro 7. třídu. Tak co, vzpomínáte? To je vzorec pro zkrácené násobení, totiž rozdíl druhých mocnin!

Dostaneme:

Podívejme se pozorně na jmenovatele. Vypadá to hodně jako jeden z faktorů čitatele, ale co je špatně? Pořadí pojmů je špatné. Pokud by byly obráceny, mohlo by platit pravidlo 3. Ale jak? Ukazuje se, že je to velmi snadné: zde nám pomáhá sudý stupeň jmenovatele.

Když to vynásobíte, nic se nezmění, že? Ale teď to dopadá takto:

Kouzelně se termíny změnily. Tento „fenomén“ platí pro jakýkoli výraz rovnoměrně: znaménka v závorkách můžeme snadno změnit. Ale je důležité si pamatovat: Všechna znamení se mění současně! Nemůžete to nahradit změnou pouze jedné nevýhody, která se nám nelíbí!

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Takže teď poslední pravidlo:

Jak to prokážeme? Samozřejmě, jako obvykle: rozšíříme koncept stupně a zjednodušíme ho:

No, teď otevřeme závorky. Kolik písmen je celkem? krát násobitelem - co vám to připomíná? To není nic jiného než definice operace násobení: Byli tam jen množitelé. To znamená, že toto je podle definice mocnina čísla s exponentem:

Příklad:

Stupeň s iracionálním exponentem

Kromě informací o stupních pro průměrnou úroveň budeme analyzovat stupeň s iracionálním exponentem. Všechna pravidla a vlastnosti stupňů jsou zde úplně stejné jako u stupně s racionálním exponentem, s výjimkou - ostatně iracionální čísla jsou z definice čísla, která nelze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla (tj. , iracionální čísla jsou všechna reálná čísla kromě racionálních čísel).

Při studiu titulů s přirozenými, celočíselnými a racionálními exponenty jsme pokaždé vytvořili určitý „obraz“, „analogii“ nebo popis ve známějších pojmech. Například stupeň s přirozeným exponentem je číslo, které se samo sebou několikrát vynásobí; číslo s nulovou mocninou je jakoby číslo, které se jednou vynásobí samo sebou, to znamená, že ho ještě nezačali násobit, což znamená, že samotné číslo se ještě ani neobjevilo - výsledkem je tedy pouze určitý „prázdné číslo“, jmenovitě číslo; stupeň s celočíselným záporným exponentem - jako by nastal nějaký „obrácený proces“, to znamená, že číslo nebylo samo násobeno, ale děleno.

Je extrémně obtížné si představit stupeň s iracionálním exponentem (stejně jako je obtížné si představit 4-rozměrný prostor). Je to spíše čistě matematický objekt, který matematici vytvořili, aby rozšířili pojem stupně na celý prostor čísel.

Mimochodem, ve vědě se často používá titul s komplexním exponentem, to znamená, že exponent není ani skutečné číslo. Ale ve škole o takových potížích nepřemýšlíme, na ústavu budete mít možnost těmto novým pojmům porozumět.

Co tedy uděláme, když vidíme iracionální exponent? Snažíme se, abychom se toho zbavili! :)

Například:

Rozhodněte se sami:

Odpovědi:

Připomeňme si rozdíl ve vzorcích čtverců. Odpovědět: .
Zlomky zredukujeme na stejný tvar: buď obě desetinná, nebo obě obyčejná. Dostáváme například: .
Nic zvláštního, používáme obvyklé vlastnosti stupňů:

SHRNUTÍ ODDÍLU A ZÁKLADNÍ VZORCE

Stupeň nazvaný výraz ve tvaru: , kde:

Stupeň s celočíselným exponentem

stupeň, jehož exponent je přirozené číslo (tj. celé číslo a kladné číslo).

Mocnina s racionálním exponentem

stupně, jehož exponentem jsou záporná a zlomková čísla.

Stupeň s iracionálním exponentem

stupeň, jehož exponentem je nekonečný desetinný zlomek nebo odmocnina.

Vlastnosti stupňů

Vlastnosti stupňů.

Záporné číslo zvýšeno na dokonce stupeň, - číslo pozitivní.
Záporné číslo zvýšeno na zvláštní stupeň, - číslo negativní.
Kladné číslo v jakémkoli stupni je kladné číslo.
Nula se rovná jakékoli síle.
Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná.

TEĎ MÁTE SLOVO...

Jak se vám článek líbí? Napište dole do komentářů, jestli se vám to líbilo nebo ne.

Řekněte nám o svých zkušenostech s používáním vlastností stupně.

Možná máte otázky. Nebo návrhy.

Pište do komentářů.

A hodně štěstí u zkoušek!

První úroveň

Stupeň a jeho vlastnosti. Komplexní průvodce (2019)

Proč jsou potřebné tituly? Kde je budete potřebovat? Proč byste měli věnovat čas jejich studiu?

Chcete-li se dozvědět vše o titulech, k čemu jsou potřeba a jak své znalosti využít v každodenním životě, přečtěte si tento článek.

A samozřejmě znalost titulů vás přiblíží k úspěšnému složení Unified State Exam nebo Unified State Exam a ke vstupu na univerzitu vašich snů.

Pojďme... (Pojďme!)

Důležitá poznámka! Pokud místo vzorců vidíte gobbledygook, vymažte mezipaměť. Chcete-li to provést, stiskněte CTRL+F5 (v systému Windows) nebo Cmd+R (v systému Mac).

PRVNÍ ÚROVEŇ

Umocňování je matematická operace stejně jako sčítání, odčítání, násobení nebo dělení.

Nyní vše vysvětlím lidskou řečí na velmi jednoduchých příkladech. Buď opatrný. Příklady jsou elementární, ale vysvětlují důležité věci.

Začněme sčítáním.

Tady není co vysvětlovat. Všechno už víte: je nás osm. Každý má dvě láhve coly. Kolik je tam coly? Správně - 16 lahví.

Nyní násobení.

Chcete-li tedy počítat rychleji, snadněji a bez chyb, stačí si pamatovat násobilka. Vše samozřejmě zvládnete pomaleji, obtížněji a s chybami! Ale…

Zde je tabulka násobení. Opakovat.

A další, krásnější:

Jaké další chytré počítací triky vymysleli líní matematici? Že jo - zvýšení čísla na mocninu.

Zvyšování čísla na mocninu

Vše, co musíte udělat, je zapamatujte si, co je barevně zvýrazněno v tabulce mocnin čísel. Věřte mi, že vám to hodně usnadní život.

Mimochodem, proč se tomu říká druhý stupeň? náměstíčísla a třetí - krychle? Co to znamená? Velmi dobrá otázka. Nyní budete mít čtverce i kostky.

Příklad ze života #1

Začněme druhou mocninou čísla.

Příklad ze života číslo 2

Příklad ze života číslo 3

Zbývá jen zapamatujte si tabulku stupňů. Pokud ovšem nejste líní a mazaní jako matematici. Pokud rádi tvrdě pracujete a děláte chyby, můžete i nadále počítat prstem.

Příklad ze života #4

Příklad ze života číslo 5

Nyní víte, že zvýšením čísla na mocninu si hodně usnadníte život. Pojďme se dále podívat na to, co můžete dělat s tituly a co o nich potřebujete vědět.

Termíny a pojmy... abych se nepletl

No a zároveň co takový diplomový základ? Ještě jednodušší - toto je číslo, které se nachází níže, na základně.

Tady je nákres pro dobrou míru.

No, obecně řečeno, abychom to zobecnili a lépe si zapamatovali... Titul se základem „ “ a exponentem „ “ se čte jako „do stupně“ a zapisuje se takto:

Mocnina čísla s přirozeným exponentem

Souhrn:

Definujme pojem stupně, jehož exponent je přirozené číslo (tj. celé číslo a kladné číslo).

Jakékoli číslo k první mocnině se rovná samo sobě:
Odmocnit číslo znamená vynásobit ho samo sebou:
Krychlit číslo znamená vynásobit ho samo sebou třikrát:

Definice. Zvýšení čísla na přirozenou mocninu znamená vynásobení čísla samo o sobě krát:
.

Vlastnosti stupňů

Kde se tyto vlastnosti vzaly? Teď vám to ukážu.

Podívejme se: co to je A ?

A-priory:

Kolik je celkem násobitelů?

Je to velmi jednoduché: k faktorům jsme přidali multiplikátory a výsledkem jsou multiplikátory.

Ale podle definice se jedná o mocninu čísla s exponentem, tedy: , což je to, co bylo potřeba dokázat.

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení:

Příklad: Zjednodušte výraz.

Řešení: Je důležité si uvědomit, že v našem pravidle Nezbytně musí existovat stejné důvody!
Proto kombinujeme síly se základnou, ale zůstává to samostatný faktor:

pouze pro součin sil!

To v žádném případě nemůžete napsat.

2. to je ono mocnina čísla

Stejně jako u předchozí vlastnosti se vraťme k definici stupně:

Ukazuje se, že výraz se násobí sám o sobě časy, to znamená, že podle definice je to ta mocnina čísla:

V podstatě to lze nazvat „vyjmutím indikátoru ze závorek“. Ale nikdy to nemůžete udělat úplně:

Vzpomeňme na zkrácené vzorce pro násobení: kolikrát jsme chtěli napsat?

Ale to koneckonců není pravda.

Výkon se zápornou bází

Do této chvíle jsme diskutovali pouze o tom, jaký by měl být exponent.

Co by ale mělo být základem?

V pravomocích přirozený indikátor základ může být jakékoliv číslo. Ve skutečnosti můžeme násobit libovolná čísla navzájem, ať už jsou kladná, záporná nebo sudá.

Zamysleme se nad tím, která znaménka ("" nebo "") budou mít stupně kladných a záporných čísel?

Je číslo například kladné nebo záporné? A? ? U prvního je vše jasné: bez ohledu na to, kolik kladných čísel navzájem vynásobíme, výsledek bude kladný.

Ale ty negativní jsou o něco zajímavější. Pamatujeme si jednoduché pravidlo z 6. třídy: „mínus za mínus dává plus“. To znamená, popř. Ale když násobíme, funguje to.

Určete sami, jaké znamení budou mít následující výrazy:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Zvládli jste to?

Zde jsou odpovědi: V prvních čtyřech příkladech je doufám vše jasné? Jednoduše se podíváme na základ a exponent a použijeme příslušné pravidlo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V příkladu 5) také není všechno tak děsivé, jak se zdá: koneckonců nezáleží na tom, čemu se rovná základna - stupeň je sudý, což znamená, že výsledek bude vždy pozitivní.

Tedy kromě případů, kdy je základ nula. Základ není stejný, že? Očividně ne, protože (protože).

Příklad 6) již není tak jednoduchý!

6 příkladů k procvičení

Rozbor řešení 6 příkladů

Pokud budeme ignorovat osmou mocninu, co zde vidíme? Připomeňme si program pro 7. třídu. Tak co, vzpomínáte? To je vzorec pro zkrácené násobení, totiž rozdíl druhých mocnin! Dostaneme:

Podívejme se pozorně na jmenovatele. Vypadá to hodně jako jeden z faktorů čitatele, ale co je špatně? Pořadí pojmů je špatné. Pokud by byly obráceny, pravidlo by mohlo platit.

Ale jak to udělat? Ukazuje se, že je to velmi snadné: zde nám pomáhá sudý stupeň jmenovatele.

Kouzelně se termíny změnily. Tento „fenomén“ platí pro jakýkoli výraz rovnoměrně: znaménka v závorkách můžeme snadno změnit.

Ale je důležité si pamatovat: všechny znaky se mění současně!

Vraťme se k příkladu:

A opět vzorec:

Celý nazýváme přirozená čísla, jejich protiklady (tj. brané se znaménkem " ") a číslo.

kladné celé číslo, a neliší se od přírodního, pak vše vypadá přesně jako v předchozí části.

Nyní se podívejme na nové případy. Začněme s ukazatelem rovným.

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné:

Jako vždy si položme otázku: proč tomu tak je?

Uvažujme nějaký stupeň se základnou. Vezměte si například a vynásobte:

Takže jsme číslo vynásobili a dostali jsme to samé, co bylo - . Jakým číslem vynásobit, aby se nic nezměnilo? Přesně tak, dál. Prostředek.

Totéž můžeme udělat s libovolným číslem:

Zopakujme si pravidlo:

Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné.

Ale existují výjimky z mnoha pravidel. A tady je to také tam - toto je číslo (jako základ).

Odtud je snadné vyjádřit, co hledáte:

Nyní rozšíříme výsledné pravidlo na libovolnou míru:

Pojďme tedy formulovat pravidlo:

Číslo se zápornou mocninou je převrácená hodnota stejného čísla s kladnou mocninou. Ale v tu samou dobu Základ nemůže být null:(protože nelze dělit).

Pojďme si to shrnout:

I. Výraz není v případě definován. Pokud, tak.

II. Jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné: .

III. Číslo, které se nerovná nule k záporné mocnině, je inverzí stejného čísla ke kladné mocnině: .

Úkoly pro samostatné řešení:

No, jako obvykle, příklady nezávislých řešení:

Analýza problémů pro samostatné řešení:

Pokračujme v rozšiřování rozsahu čísel „vhodných“ jako exponent.

Nyní uvažujme racionální čísla. Jaká čísla se nazývají racionální?

Odpověď: vše, co lze reprezentovat jako zlomek, kde a jsou celá čísla a.

Abychom pochopili, co to je "zlomkový stupeň", zvažte zlomek:

Uveďme obě strany rovnice na mocninu:

Nyní si připomeňme pravidlo o "od stupně ke stupni":

Jaké číslo musí být zvýšeno na mocninu, abyste získali?

Tato formulace je definicí kořene tého stupně.

Dovolte mi, abych vám připomněl: odmocnina tý mocniny čísla () je číslo, které se po umocnění rovná.

To znamená, že kořen tý mocniny je inverzní operace zvýšení na mocninu: .

Ukázalo se, že. Je zřejmé, že tento speciální případ lze rozšířit: .

Nyní přidáme čitatel: co to je? Odpověď lze snadno získat pomocí pravidla výkonu k výkonu:

Ale může být základem jakékoliv číslo? Koneckonců, kořen nelze extrahovat ze všech čísel.

Žádný!

Připomeňme si pravidlo: každé číslo umocněné na sudou mocninu je kladné číslo. To znamená, že je nemožné extrahovat sudé kořeny ze záporných čísel!

To znamená, že taková čísla nelze umocnit na zlomkovou mocninu se sudým jmenovatelem, to znamená, že výraz nedává smysl.

A co výraz?

Zde ale nastává problém.

Číslo může být reprezentováno ve formě jiných, redukovatelných zlomků, například nebo.

A ukazuje se, že existuje, ale neexistuje, ale jsou to jen dva různé záznamy stejného čísla.

Nebo jiný příklad: jednou, pak si to můžete zapsat. Pokud si ale ukazatel zapíšeme jinak, opět se dostaneme do problémů: (tedy dostali jsme úplně jiný výsledek!).

Abychom se vyhnuli takovým paradoxům, uvažujeme pouze kladný základní exponent se zlomkovým exponentem.

Takže když:

- přirozené číslo;
- celé číslo;