Extrémy funkce. Největší a nejmenší hodnota funkce
Z praktického hlediska je největší zájem o použití derivace k nalezení největších a nejmenších hodnot funkce. S čím to souvisí? Maximalizace zisku, minimalizace nákladů, stanovení optimálního zatížení zařízení... Jinými slovy, v mnoha oblastech života musíme řešit problémy s optimalizací některých parametrů. A to jsou úkoly hledání největších a nejmenších hodnot funkce.
Je třeba poznamenat, že největší a nejmenší hodnoty funkce se obvykle hledají na určitém intervalu X, což je buď celý definiční obor funkce, nebo část definičního oboru. Samotný interval X může být segment, otevřený interval 
, nekonečný interval.
V tomto článku budeme hovořit o hledání největších a nejmenších hodnot explicitně definované funkce jedné proměnné y=f(x) .
Navigace na stránce.
Největší a nejmenší hodnota funkce - definice, ilustrace.Podívejme se krátce na hlavní definice.
Největší hodnota funkce 
že pro kohokoli 
nerovnost je pravdivá.
Takovou hodnotou je nejmenší hodnota funkce y=f(x) na intervalu X 
že pro kohokoli nerovnost je pravdivá.
Tyto definice jsou intuitivní: největší (nejmenší) hodnota funkce je největší (nejmenší) přijatá hodnota na uvažovaném intervalu na úsečce.
Stacionární body jsou hodnoty argumentu, při kterých se derivace funkce stává nulou.
Proč potřebujeme stacionární body při hledání největších a nejmenších hodnot? Odpověď na tuto otázku dává Fermatova věta. Z této věty vyplývá, že pokud má diferencovatelná funkce v nějakém bodě extrém (lokální minimum nebo lokální maximum), pak je tento bod stacionární. Funkce tedy často nabývá svou největší (nejmenší) hodnotu na intervalu X v jednom ze stacionárních bodů z tohoto intervalu.
Funkce také může často nabývat své největší a nejmenší hodnoty v bodech, ve kterých první derivace této funkce neexistuje a funkce samotná je definována.
Pojďme si rovnou odpovědět na jednu z nejčastějších otázek na toto téma: „Je vždy možné určit největší (nejmenší) hodnotu funkce“? Ne vždy. Někdy se hranice intervalu X shodují s hranicemi definičního oboru funkce nebo je interval X nekonečný. A některé funkce v nekonečnu a na hranicích definičního oboru mohou nabývat jak nekonečně velkých, tak nekonečně malých hodnot. V těchto případech nelze nic říci o největší a nejmenší hodnotě funkce.
Pro názornost uvedeme grafické znázornění. Podívejte se na obrázky a mnohé bude jasnější.
Na segmentu
Na prvním obrázku funkce přebírá největší (max y) a nejmenší (min y) hodnoty ve stacionárních bodech umístěných uvnitř segmentu [-6;6].
Zvažte případ znázorněný na druhém obrázku. Změňme segment na . V tomto příkladu je nejmenší hodnota funkce dosažena ve stacionárním bodě a největší v bodě s úsečkou odpovídající pravé hranici intervalu.
Na obrázku 3 jsou hraniční body segmentu [-3;2] úsečkami bodů odpovídajících největší a nejmenší hodnotě funkce.
V otevřeném intervalu
Na čtvrtém obrázku funkce přijímá největší (max y) a nejmenší (min y) hodnoty ve stacionárních bodech umístěných uvnitř otevřeného intervalu (-6;6).
Na intervalu nelze vyvozovat žádné závěry o největší hodnotě.
V nekonečnu
V příkladu uvedeném na sedmém obrázku má funkce největší hodnotu (max y) ve stacionárním bodě s úsečkou x=1 a nejmenší hodnoty (min y) je dosaženo na pravé hranici intervalu. V mínus nekonečnu se hodnoty funkce asymptoticky blíží y=3.
V průběhu intervalu funkce nedosahuje ani nejmenší, ani největší hodnoty. Jak se x=2 blíží zprava, mají funkční hodnoty tendenci k mínus nekonečnu (přímka x=2 je vertikální asymptota), a jak se úsečka blíží k plus nekonečnu, funkční hodnoty se asymptoticky blíží k y=3. Grafické znázornění tohoto příkladu je na obrázku 8.
Algoritmus pro nalezení největších a nejmenších hodnot spojité funkce na segmentu.Pojďme napsat algoritmus, který nám umožní najít největší a nejmenší hodnoty funkce na segmentu.
Pojďme analyzovat algoritmus pro řešení příkladu, abychom našli největší a nejmenší hodnoty funkce na segmentu.
Příklad.
Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce
- na segmentu;
- na segmentu [-4;-1] .
Řešení.
Definiční obor funkce je celá množina reálných čísel, tedy s výjimkou nuly. Oba segmenty spadají do definiční domény.
Najděte derivaci funkce vzhledem k: 
Je zřejmé, že derivace funkce existuje ve všech bodech segmentů a [-4;-1].
Z rovnice určíme stacionární body. Jediný skutečný kořen je x=2. Tento stacionární bod spadá do prvního segmentu.
V prvním případě vypočítáme hodnoty funkce na koncích segmentu a ve stacionárním bodě, tedy pro x=1, x=2 a x=4: 
Proto největší hodnota funkce 
je dosaženo při x=1 a nejmenší hodnotě 
– při x=2.
Ve druhém případě počítáme funkční hodnoty pouze na koncích segmentu [-4;-1] (protože neobsahuje jediný stacionární bod): 
Nechte funkci y =F(X) je spojitý na intervalu [ a, b]. Jak je známo, taková funkce dosahuje na tomto segmentu maximální a minimální hodnoty. Funkce může nabývat těchto hodnot buď ve vnitřním bodě segmentu [ a, b] nebo na hranici segmentu.
Chcete-li najít největší a nejmenší hodnoty funkce na segmentu [ a, b] nutné:
1) najděte kritické body funkce v intervalu ( a, b);
2) vypočítat hodnoty funkce v nalezených kritických bodech;
3) vypočítat hodnoty funkce na koncích segmentu, tedy kdy X=A a x = b;
4) ze všech vypočtených hodnot funkce vyberte největší a nejmenší.
Příklad. Najděte největší a nejmenší hodnotu funkce
na segmentu.
Nalezení kritických bodů:
Tyto body leží uvnitř segmentu; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
na místě X= 3 a v bodě X= 0.
Studium funkce pro konvexnost a inflexní bod.Funkce y = F (X) volal konvexní mezi (A, b) , jestliže jeho graf leží pod tečnou nakreslenou v libovolném bodě tohoto intervalu a je volán konvexní dolů (konkávní), pokud její graf leží nad tečnou.
Bod, přes který je konvexnost nahrazena konkávností nebo naopak, se nazývá inflexní bod.
Algoritmus pro zkoumání konvexnosti a inflexního bodu:
1. Najděte kritické body druhého druhu, tedy body, ve kterých je druhá derivace rovna nule nebo neexistuje.
2. Nakreslete kritické body na číselnou osu a rozdělte ji do intervalů. Najděte znaménko druhé derivace na každém intervalu; if , pak je funkce konvexní směrem nahoru, if, pak je funkce konvexní směrem dolů.
3. Jestliže se při průchodu kritickým bodem druhého druhu změní znaménko a v tomto bodě je druhá derivace rovna nule, pak je tento bod úsečkou inflexního bodu. Najděte jeho pořadnici.
Definice. Zavolá se asymptota grafu funkce rovný, která má tu vlastnost, že vzdálenost od kteréhokoli bodu grafu k této přímce má tendenci k nule, když se bod na grafu nekonečně pohybuje od počátku.
Existují tři typy asymptot: vertikální, horizontální a šikmé.
Definice. Přímka se nazývá vertikální asymptota funkční grafika y = f(x), pokud je alespoň jedna z jednostranných limit funkce v tomto bodě rovna nekonečnu, tzn.
kde je bod nespojitosti funkce, to znamená, že nepatří do definičního oboru.
Příklad.
D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
X= 2 – bod zlomu.
Definice. Rovný y =A volal horizontální asymptota funkční grafika y = f(x) v , pokud
Příklad.
|
X | |||
|
y |
Definice. Rovný y =kx +b (k≠ 0) se nazývá šikmá asymptota funkční grafika y = f(x) kde
Algoritmus pro výzkum funkcí y = f(x):
1. Najděte definiční obor funkce D (y).
2. Najděte (pokud je to možné) průsečíky grafu se souřadnicovými osami (pokud X= 0 a při y = 0).
3. Prozkoumejte sudost a lichost funkce ( y (‒ X) = y (X) ‒ parita; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ zvláštní).
4. Najděte asymptoty grafu funkce.
5. Najděte intervaly monotonie funkce.
6. Najděte extrémy funkce.
7. Najděte intervaly konvexnosti (konkávnosti) a inflexní body grafu funkce.
8. Na základě provedeného výzkumu sestrojte graf funkce.
Příklad. Prozkoumejte funkci a vytvořte její graf.
1) D (y) =
X= 4 – bod zlomu.
2) Kdy X = 0,
(0; ‒ 5) – průsečík s Ach.
Na y = 0,
3)
y(‒
X)=
funkce obecného tvaru (ani sudá, ani lichá).
4) Vyšetřujeme asymptoty.
a) vertikální
b) horizontální
c) najděte šikmé asymptoty kde
‒šikmá asymptotní rovnice
5) V této rovnici není nutné hledat intervaly monotonie funkce.
6)
Tyto kritické body rozdělují celý obor definice funkce na interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) a (10; +∞). Získané výsledky je vhodné prezentovat ve formě následující tabulky.
Jak vložit matematické vzorce na web?
Pokud někdy budete potřebovat přidat jeden nebo dva matematické vzorce na webovou stránku, pak nejjednodušší způsob, jak to udělat, je ten, který je popsán v článku: matematické vzorce lze snadno vložit na web ve formě obrázků, které automaticky generuje Wolfram Alpha . Tato univerzální metoda kromě jednoduchosti pomůže zlepšit viditelnost webu ve vyhledávačích. Funguje to už dlouho (a myslím, že bude fungovat navždy), ale už je morálně zastaralé.
Pokud na svém webu pravidelně používáte matematické vzorce, pak vám doporučuji používat MathJax – speciální knihovnu JavaScript, která zobrazuje matematický zápis ve webových prohlížečích pomocí značek MathML, LaTeX nebo ASCIIMathML.
Existují dva způsoby, jak začít používat MathJax: (1) pomocí jednoduchého kódu můžete ke své webové stránce rychle připojit skript MathJax, který se ve správný čas automaticky načte ze vzdáleného serveru (seznam serverů); (2) stáhněte si skript MathJax ze vzdáleného serveru na váš server a připojte jej ke všem stránkám vašeho webu. Druhý způsob – složitější a časově náročnější – urychlí načítání stránek vašeho webu, a pokud se nadřazený server MathJax z nějakého důvodu stane dočasně nedostupným, váš vlastní web to nijak neovlivní. I přes tyto výhody jsem zvolil první metodu, protože je jednodušší, rychlejší a nevyžaduje technické dovednosti. Postupujte podle mého příkladu a za pouhých 5 minut budete moci na svém webu používat všechny funkce MathJax.
Skript knihovny MathJax můžete připojit ze vzdáleného serveru pomocí dvou možností kódu převzatých z hlavního webu MathJax nebo na stránce dokumentace:
Jednu z těchto možností kódu je třeba zkopírovat a vložit do kódu vaší webové stránky, nejlépe mezi značky a nebo bezprostředně za značku. Podle první možnosti se MathJax načítá rychleji a méně zpomaluje stránku. Ale druhá možnost automaticky sleduje a načítá nejnovější verze MathJax. Pokud vložíte první kód, bude nutné jej pravidelně aktualizovat. Pokud vložíte druhý kód, stránky se budou načítat pomaleji, ale nebudete muset neustále sledovat aktualizace MathJax.
Nejjednodušší způsob, jak připojit MathJax, je v Bloggeru nebo WordPressu: do ovládacího panelu webu přidejte widget určený pro vložení kódu JavaScript třetí strany, zkopírujte do něj první nebo druhou verzi výše uvedeného kódu pro stahování a umístěte widget blíže. na začátek šablony (mimochodem, není to vůbec nutné, protože skript MathJax se načítá asynchronně). To je vše. Nyní se naučte syntaxi značek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a jste připraveni vkládat matematické vzorce do webových stránek svého webu.
Jakýkoli fraktál je konstruován podle určitého pravidla, které je důsledně aplikováno neomezeně mnohokrát. Každý takový čas se nazývá iterace.
Iterační algoritmus pro konstrukci Mengerovy houby je poměrně jednoduchý: původní krychle se stranou 1 je rozdělena rovinami rovnoběžnými s jejími plochami na 27 stejných krychlí. Odebere se z ní jedna centrální krychle a 6 k ní přiléhajících krychlí podél stěn. Výsledkem je sada skládající se ze zbývajících 20 menších kostek. Když uděláme totéž s každou z těchto kostek, dostaneme sadu skládající se ze 400 menších kostek. Pokračujeme-li v tomto procesu donekonečna, získáme Mengerovu houbu.
Někdy jsou v úlohách B15 „špatné“ funkce, pro které je obtížné najít derivaci. Dříve se to stávalo pouze při vzorových testech, ale nyní jsou tyto úkoly tak běžné, že je již nelze ignorovat při přípravě na skutečnou jednotnou státní zkoušku.
V tomto případě fungují jiné techniky, z nichž jedna je monotónní.
O funkci f (x) se říká, že je na úsečce monotónně rostoucí, pokud pro libovolné body x 1 a x 2 této úsečky platí:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ).
O funkci f (x) se říká, že je na úsečce monotónně klesající, pokud pro libovolné body x 1 a x 2 této úsečky platí:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1 ) >f(x2).
Jinými slovy, pro rostoucí funkci platí, že čím větší x, tím větší f(x). Pro klesající funkci platí opak: čím větší x, tím méně f(x).
Například logaritmus monotónně roste, je-li základ a > 1, a monotónně klesá, je-li 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Aritmetická druhá mocnina (a nejen druhá odmocnina) roste monotónně v celé oblasti definice:
Exponenciální funkce se chová podobně jako logaritmus: roste pro a > 1 a klesá pro 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Nakonec stupně se záporným exponentem. Můžete je napsat jako zlomek. Mají bod zlomu, kde je narušena monotónnost.
Všechny tyto funkce se nikdy nenacházejí v jejich čisté formě. Sčítají polynomy, zlomky a další nesmysly, což ztěžuje výpočet derivace. Podívejme se, co se stane v tomto případě.
Souřadnice vrcholů parabolyNejčastěji je argument funkce nahrazen kvadratický trinom tvaru y = ax 2 + bx + c. Jeho graf je standardní parabola, která nás zajímá:
Největší zájem je vrchol paraboly, jehož úsečka se vypočítá podle vzorce:
Našli jsme tedy krajní bod kvadratické funkce. Ale pokud je původní funkce monotónní, bude pro ni bod x 0 také extrémním bodem. Pojďme tedy formulovat klíčové pravidlo:
Extrémní body kvadratického trinomu a komplexní funkce, ve které je zahrnut, se shodují. Proto můžete hledat x 0 pro kvadratický trinom a na funkci zapomenout.
Z výše uvedené úvahy zůstává nejasné, který bod dostaneme: maximum nebo minimum. Úkoly jsou však speciálně navrženy tak, aby to nevadilo. Posuďte sami:
Řešení problému je tedy značně zjednodušeno a spočívá pouze ve dvou krocích:
Na první pohled se tento algoritmus a jeho zdůvodnění může zdát komplikovaný. Záměrně nezveřejňuji „holé“ schéma řešení, protože bezmyšlenkovité použití takových pravidel je plné chyb.
Podívejme se na skutečné problémy z testu Jednotná státní zkouška z matematiky – zde se tato technika vyskytuje nejčastěji. Zároveň se postaráme o to, aby se tímto způsobem mnohé problémy B15 staly téměř ústními.
Pod kořenem je kvadratická funkce y = x 2 + 6x + 13. Grafem této funkce je parabola s větvemi nahoru, protože koeficient a = 1 > 0.
Vrchol paraboly:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3
Protože větve paraboly směřují vzhůru, nabývá v bodě x 0 = −3 funkce y = x 2 + 6x + 13 své minimální hodnoty.
Odmocnina se zvyšuje monotónně, což znamená, že x 0 je minimální bod celé funkce. My máme:
Úkol. Najděte nejmenší hodnotu funkce:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Pod logaritmem je opět kvadratická funkce: y = x 2 + 2x + 9. Graf je parabola s větvemi nahoru, protože a = 1 > 0.
Vrchol paraboly:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1
Takže v bodě x 0 = −1 nabývá kvadratická funkce své minimální hodnoty. Ale funkce y = log 2 x je monotónní, takže:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Exponent obsahuje kvadratickou funkci y = 1 − 4x − x 2 . Přepišme to do normálního tvaru: y = −x 2 − 4x + 1.
Je zřejmé, že grafem této funkce je parabola, která se větví dolů (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2
Původní funkce je exponenciální, je monotónní, takže největší hodnota bude v nalezeném bodě x 0 = −2:
Pozorný čtenář si pravděpodobně všimne, že jsme nezapsali rozsah přípustných hodnot kořene a logaritmu. To však nebylo nutné: uvnitř jsou funkce, jejichž hodnoty jsou vždy kladné.
Důsledky z definičního oboru funkceNěkdy pouhé nalezení vrcholu paraboly nestačí k vyřešení problému B15. Hodnota, kterou hledáte, může lhát na konci segmentu a už vůbec ne v extrémním bodě. Pokud problém vůbec neindikuje segment, podívejte se na rozsah přijatelných hodnot původní funkce. A to:
Všimněte si prosím znovu: nula může být pod kořenem, ale nikdy v logaritmu nebo ve jmenovateli zlomku. Podívejme se, jak to funguje na konkrétních příkladech:
Úkol. Najděte největší hodnotu funkce:
Pod odmocninou je opět kvadratická funkce: y = 3 − 2x − x 2 . Jeho graf je parabola, ale větví se dolů, protože a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.
Vypíšeme rozsah přípustných hodnot (APV):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3) (x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Nyní najdeme vrchol paraboly:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1
Bod x 0 = −1 patří do segmentu ODZ - a to je dobře. Nyní vypočítáme hodnotu funkce v bodě x 0 a také na koncích ODZ:
y(−3) = y(1) = 0
Dostali jsme tedy čísla 2 a 0. Jsme požádáni, abychom našli největší - toto je číslo 2.
Úkol. Najděte nejmenší hodnotu funkce:
y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)
Uvnitř logaritmu je kvadratická funkce y = 6x − x 2 − 5. Toto je parabola s větvemi dolů, ale v logaritmu nemohou být záporná čísla, takže ODZ vypíšeme:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Pozor: nerovnost je přísná, takže konce nepatří do ODZ. Tím se logaritmus liší od kořene, kde nám konce segmentu docela vyhovují.
Hledáme vrchol paraboly:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
Vrchol paraboly sedí podle ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ale protože nás konce segmentu nezajímají, počítáme hodnotu funkce pouze v bodě x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2
Pomocí této služby můžete najít největší a nejmenší hodnotu funkce jedné proměnné f(x) s řešením naformátovaným ve Wordu. Je-li tedy dána funkce f(x,y), je nutné najít extrém funkce dvou proměnných. Můžete také najít intervaly rostoucích a klesajících funkcí.
Najděte největší a nejmenší hodnotu funkcey=
na segmentu [;]Zahrňte teorii
Pravidla pro zadávání funkcí:
Nutná podmínka pro extrém funkce jedné proměnné Rovnice f" 0 (x *) = 0 je nutnou podmínkou pro extrém funkce jedné proměnné, tj. v bodě x * musí první derivace funkce zaniknout. Identifikuje stacionární body x c, ve kterých funkce neroste ani neklesá Dostatečná podmínka pro extrém funkce jedné proměnné Nechť f 0 (x) je dvakrát diferencovatelná vzhledem k x patřící do množiny D. Jestliže v bodě x *podmínka splněna:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Potom bod x * je lokální (globální) minimální bod funkce.
Pokud je v bodě x * splněna podmínka:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Potom bod x * je lokální (globální) maximum.
Příklad č. 1. Najděte největší a nejmenší hodnoty funkce: na segmentu.
Řešení. 
Kritický bod je jedna x 1 = 2 (f’(x)=0). Tento bod patří do segmentu. (Bod x=0 není kritický, protože 0∉).
Vypočítáme hodnoty funkce na koncích segmentu a v kritickém bodě.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Odpověď: f min = 5 / 2 při x=2; f max = 9 při x = 1
Příklad č. 2. Pomocí derivací vyšších řádů najděte extrém funkce y=x-2sin(x) .
Řešení.
Najděte derivaci funkce: y’=1-2cos(x) . Najděte kritické body: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Najdeme y’’=2sin(x), vypočítejte , což znamená x= π / 3 +2πk, k∈Z jsou minimální body funkce; 
, což znamená x=- π / 3 +2πk, k∈Z jsou maximální body funkce.
Příklad č. 3. Vyšetřte extrémní funkci v okolí bodu x=0.
Řešení. Zde je potřeba najít extrémy funkce. Pokud extrém x=0, zjistěte jeho typ (minimum nebo maximum). Pokud mezi nalezenými body není x = 0, pak vypočítejte hodnotu funkce f(x=0).
Je třeba si uvědomit, že když derivace na každé straně daného bodu nemění své znaménko, nejsou možné situace vyčerpány ani pro diferencovatelné funkce: může se stát, že pro libovolně malé okolí na jedné straně bodu x 0 resp. na obou stranách derivace mění znaménko. V těchto bodech je nutné použít jiné metody ke studiu funkcí v extrému.
