Урок «Функція y=ax2, її графік та властивості. Презентація «Функція y=ax2, її графік та властивості Вида y ax2 bx c
Урок на тему «Функція y=ax^2, її графік та властивості» вивчається в курсі алгебри 9 класу в системі уроків на тему «Функції». Цей урок вимагає ретельної підготовки. А саме, таких методів та засобів навчання, які дадуть справді добрі результати.
Автор цього відеоуроку подбав про те, щоб допомогти вчителям під час підготовки до уроків з цієї теми. Він розробив відеоурок із урахуванням усіх вимог. Матеріал підібраний за віком школярів. Він не перевантажений, але досить ємний. Автор докладно розповідає матеріал, зупиняючись на найважливіших моментах. Кожен теоретичний пункт супроводжується прикладом, щоб сприйняття навчального матеріалу було набагато ефективнішим та якіснішим.
Урок може бути використаний вчителем на звичайному уроці алгебри в 9 класі як певний етап уроку - пояснення нового матеріалу. Вчителю не доведеться у цей період нічого говорити чи розповідати. Йому достатньо включити цей відеоурок та стежити за тим, щоб учні уважно слухали та записували важливі моменти.
Урок може використовуватись і школярами при самостійній підготовці до уроку, а також для самоосвіти.
Тривалість уроку складає 8:17 хвилин. На початку уроку автор зауважує, що з важливих функцій є квадратична функція. Потім вводиться квадратична функція з математичної точки зору. Дається її визначення із поясненнями.
Далі автор знайомить учнів із областю визначення квадратичної функції. На екрані з'являється правильний математичний запис. Після цього автор розглядає приклад квадратичної функції на реальній ситуації: за основу взято фізичне завдання, де показано, як залежить від часу при рівноприскореному русі.
Після цього автор розглядає функцію y=3x2. На екрані з'являється побудова таблиці значень цієї функції та функції y=x^2. За даними цих таблиць будуються графіки функцій. Тут же у рамці з'являється пояснення, як виходить графік функції y=3x^2 з y=x^2.
Розглянувши два окремі випадки, приклад функції y=ax^2, автор приходить до правила, як виходить графік цієї функції з графіка y=x^2.
Далі розглядається функція y=ax^2, де a<0. И, подобно тому, как строились графики функций до этого, автор предлагает построить график функции y=-1/3 x^2. При этом он строит таблицу значений, строит графики функций y=-1/3 x^2 и, замечая при этом закономерность расположения графиков между собой.
Потім із властивостей виводяться слідства. Їх чотири. Серед них з'являється нове поняття – вершини параболи. Далі слідує зауваження, де йдеться, які перетворення можливі для графіка цієї функції. Після цього йдеться про те, як виходить графік функції y = f (x) з графіка функції y = f (x), а також y = af (x) з y = f (x).
На цьому урок, що містить навчальний матеріал, закінчується. Залишається його закріпити, підібравши відповідні завдання залежно від здібностей учнів.
Презентація «Функція y=ax 2 , її графік та властивості» є наочним посібником, який створений для супроводу пояснення вчителя на цю тему. У цій презентації докладно розглядається квадратична функція, її властивості, особливості побудови графіка, практичний додаток використовуваних методів вирішення завдань у фізиці.
Надаючи високий рівень наочності, даний матеріал допоможе вчителю підвищити ефективність навчання, дасть можливість більш раціонально розподілити час на уроці. За допомогою анімаційних ефектів, виділення понять та важливих моментів кольором, увага учнів акцентується на предметі, що вивчається, досягається краще запам'ятовування визначень і ходу міркування при вирішенні завдань.
Презентація починається з ознайомлення з назвою презентації та поняттям квадратичної функції. Наголошується на важливості цієї теми. Учням пропонується запам'ятати визначення квадратичної функції як функціональної залежності виду y=ax 2 +bx+c, у якій є незалежною змінною, а - числа, причому a≠0. Окремо на слайді 4 відзначається для запам'ятовування, що область визначення цієї функції є вся вісь дійсних значень. Умовно це твердження позначається D(x)=R.
Прикладом квадратичної функції є її додаток у фізиці - формула залежності шляху при рівноприскореному русі від часу. Паралельно під час уроків фізики учні вивчають формули різних видів руху, тому вміння вирішувати подібні завдання їм буде потрібно. На слайді 5 учням нагадується, що при русі тіла з прискоренням і на початок відліку часу відомий пройдений шлях і швидкість руху, то функціональна залежність, що представляє такий рух, виражатиметься формулою S=(at 2)/2+v 0 t+S 0 . Нижче наводиться приклад перетворення цієї формули на задану квадратичну функцію, якщо значення прискорення =8, початкової швидкості =3 і початкового шляху =18. У цьому випадку функція набуде вигляду S=4t 2 +3t+18.
На слайді 6 розглядається вид квадратичної функції y = ax 2 в якому вона представляється при. Якщо =1, то квадратична функція має вигляд y=x 2 . Зазначається, що графіком цієї функції буде парабола.
Наступна частина презентації присвячена побудові графіка квадратичної функції. Пропонується розглянути побудову графіка функції y = 3x2. Спочатку таблиці відзначається відповідність значень функції значенням аргументу. Зазначається, що відмінність побудованого графіка функції y=3x 2 від графіка функції y=x 2 у тому, що кожне значення її буде більшим за відповідний втричі. У табличному поданні ця різниця добре відстежується. Поруч у графічному поданні також добре помітна різниця у звуженні параболи.
Наступного слайду розглядається побудова графіка квадратичної функції y=1/3 x 2 . Для побудови графіка необхідно у таблиці вказати значення функції у її точок. Зазначається, що кожне значення функції y=1/3 x 2 менше від відповідного значення функції y=x 2 в 3 рази. Ця різниця, крім таблиці, добре видно і графіку. Її парабола більш розширена щодо осі ординат, ніж парабола функції y=x2.
Приклади допомагають засвоїти загальне правило, згідно з яким можна простіше і швидко проводити побудову відповідних графіків. На слайді 9 виділено окремо правило, що графік квадратичної функції y=ax 2 можна побудувати залежно від значення коефіцієнта розтягуванням або звуження графіка. Якщо a>1, то графік розтягується від осі х раз. Якщо ж 0 Висновок про симетричність графіків функцій y=ax 2 та y=-ax2 (при ≠0) щодо осі абсцис окремо виділено на слайді 12 для запам'ятовування та наочно відображено на відповідному графіку. Далі поняття про графік квадратичної функції y=x 2 поширюється більш загальний випадок функції y=ax 2 , стверджуючи, що такий графік також буде називатися параболою. На слайді 14 розглядаються властивості квадратичної функції y = ax 2 за позитивного. Зазначається, що її графік проходить через початок координат, а всі точки, крім, лежать у верхній півплощині. Відзначено симетричність графіка щодо осі ординат, уточнюючи, що протилежним значенням аргументу відповідають однакові значення функції. Вказано, що проміжок зменшення цієї функції (-∞;0], а зростання функції виконується на проміжку. Значення цієї функції охоплюють всю позитивну частину дійсної осі, нулю вона дорівнює в точці, а найбільшого значення не має. На слайді 15 описуються властивості функції y = ax 2 якщо негативний. Зазначається, що її графік також проходить через початок координат, але всі його точки, крім, лежать у нижній півплощині. Відзначено симетричність графіка щодо осі, та протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції. Зростає функція на проміжку, зменшується. Значення цієї функції лежать у проміжку, нулю вона дорівнює точці, а найменшого значення немає. Узагальнюючи розглянуті характеристики, на слайді 16 виводиться, що гілки параболи спрямовані вниз, а вгору - при. Парабола симетрична щодо осі, а вершина параболи розташовується у точці її перетину з віссю. У параболи y=ax 2 вершина – початок координат. Також важливий висновок про перетворення параболи відображається на слайді 17. На ньому представлені варіанти перетворення графіка квадратичної функції. Відзначено, що графік функції y=ax 2 перетворюється на симетричне відображення графіка щодо осі. Також можливе стиснення або розтягнення графіка щодо осі. На останньому слайді робляться узагальнюючі висновки про перетворення графіка функції. Наведено висновки про те, що графік функції виходить симетричним перетворенням щодо осі. А графік функції виходить зі стиском або розтягуванням вихідного графіка від осі. При цьому розтяг від осі в раз спостерігається у випадку, коли. Стисненням до осі в 1/a раз графік утворюється у разі. Презентація «Функція y=ax 2 , її графік та властивості» може бути використана вчителем як наочний посібник на уроці алгебри. Також цей посібник добре розкриває тему, даючи поглиблене розуміння предмета, тому може бути запропонована для самостійного вивчення учнями. Також цей матеріал допоможе вчителю дати пояснення під час дистанційного навчання. Розглянемо вираз виду ах 2 + вх + с, де а, в, с - дійсні числа, а на відміну від нуля. Цей математичний вираз відомий як квадратний тричлен. Нагадаємо, що ах 2 – це старший член цього квадратного тричлена, а – його старший коефіцієнт. Але не завжди у квадратного тричлена присутні всі три доданки. Візьмемо наприклад вираз 3х 2 + 2х, де а=3, в=2, с=0. Перейдемо до квадратичної функції у=ах 2 +вх+с, де а, в, з будь-які довільні числа. Ця функція є квадратичною, оскільки містить член другого ступеня, тобто x у квадраті. Досить легко побудувати графік квадратичної функції, наприклад, можна скористатися методом виділення повного квадрата. Розглянемо приклад побудови графіка функції рівно -3х 2 - 6х + 1. Для цього перше, що згадаємо, схему виділення повного квадрата в тричлені -3х2 - 6х + 1. Винесемо -3 у перших двох доданків за дужки. Маємо -3 помножити на суму х квадрат плюс 2х і додати 1. Додавши та відібравши одиницю в дужках, отримуємо формулу квадрата суми, яку можна згорнути. Отримаємо -3 помножити на суму (х+1) у квадраті мінус 1 додати 1. Розкриваючи дужки та наводячи подібні доданки, виходить вираз: -3 помножене на квадрат суми (х+1) додати 4. Побудуємо графік отриманої функції, перейшовши до допоміжної системи координат із початком у точці з координатами (-1; 4). На малюнку з відео ця система позначена пунктирними лініями. Прив'яжемо функцію рівно -3х 2 до побудованої системі координат. Для зручності візьмемо контрольні точки. Наприклад, (0; 0), (1; -3), (-1; -3), (2; -12), (-2; -12). При цьому відкладемо їх у побудованій системі координат. Отримана при побудові парабола є необхідним графіком. На малюнку це червона парабола. Застосовуючи метод виділення повного квадрата, маємо квадратичну функцію виду: у = а*(х+1) 2 + m. Графік параболи у = ах 2 + bx + c легко отримати з параболи у = ах 2 паралельним перенесенням. Це підтверджено теоремою, яку можна довести, виділивши повний квадрат двочлену. Вираз ах 2 + bx + c після послідовних перетворень перетворюється на вираз виду: а * (х + l) 2 + m. Накреслимо графік. Виконаємо паралельне переміщення параболи у = ах 2 суміщаючи вершину з точкою з координатами (-l; m). Важливо, що х= -l, отже -b/2а. Значить ця пряма є віссю параболи ах 2 + bx + c, її вершина знаходиться в точці з абсцисою х нульове і мінус в, поділене на 2а, а ордината обчислюється за громіздкою формулою 4ас - b 2 /. Але цю формулу запам'ятовувати необов'язково. Оскільки підставивши значення абсциси у функцію, отримаємо ординату. Для визначення рівняння осі, напряму її гілок та координат вершини параболи розглянемо наступний приклад. Візьмемо функцію у = -3х2 - 6х + 1. Склавши рівняння осі параболи, маємо, що х = -1. А це значення є координатою x вершини параболи. Залишилося знайти лише ординату. Підставивши значення -1 у функцію, отримаємо 4. Вершина параболи знаходиться у точці (-1; 4). Графік функції у = -3х2 - 6х + 1 отриманий при паралельному перенесенні графіка функції у = -3х2, отже, і веде себе аналогічно. Старший коефіцієнт негативний, тому гілки спрямовані вниз. Ми бачимо, що для будь-якої функції виду y = ах 2 + bx + c найлегшим є останнє питання, тобто напрямок гілок параболи. Якщо коефіцієнт позитивний, то гілки - вгору, а якщо негативний, то - вниз. Наступним за складністю йде перше питання, бо потребує додаткових обчислень. І найскладніший другий, оскільки, крім обчислень, ще необхідні знання формул, якими перебувають х нульове і нульове. Побудуємо графік функції у = 2х2 – х + 1. Визначаємо відразу - графіком є парабола, гілки спрямовані вгору, оскільки старший коефіцієнт дорівнює 2, але це позитивне число. За формулою знаходимо абсцис х нульове, вона дорівнює 1,5. Для знаходження ординати пригадаємо, що в нульовому рівні функції від 1,5, при обчисленні отримаємо -3,5. Вершина – (1,5;-3,5). Вісь - х = 1,5. Візьмемо точки х=0 та х=3. у=1. Зазначимо ці точки. За трьома відомими точками будуємо шуканий графік. Для побудови графіка функції ах 2 + bx + c необхідно: Знайти координати вершини параболи та відзначити їх на малюнку, потім провести вісь параболи; На осі ох взяти дві симетричні відносно осі, параболи точки, знайти значення функції в цих точках і відзначити їх на координатній площині; Через три точки побудувати параболу, за потреби можна взяти ще кілька точок і будувати графік за ними. У наступному прикладі ми навчимося знаходити найбільше та найменше значення функції -2х 2 + 8х - 5 на відрізку. По алгоритму: а=-2, в=8, отже х нульове дорівнює 2, а нульове - 3, (2;3) - вершина параболи, а х=2 є віссю. Візьмемо значення х=0 та х=4 і знайдемо ординати цих точок. Це -5. Будуємо параболу і визначаємо, що найменше значення функції -5 при x = 0, а найбільше 3, при x = 2. Завдання на характеристики і графіки квадратичної функції викликають, як показує практика, серйозні труднощі. Це досить дивно, бо квадратичну функцію проходять у 8 класі, а потім усю першу чверть 9-го класу "вимучують" властивості параболи та будують її графіки для різних параметрів. Це з тим, що змушуючи учнів будувати параболи, мало приділяють часу на " читання " графіків, тобто практикують осмислення інформації, отриманої з картинки. Очевидно, передбачається, що, побудувавши зо два десятки графіків, кмітливий школяр сам виявить і сформулює зв'язок коефіцієнтів у формулі і зовнішній вигляд графіка. На практиці так не виходить. Для такого узагальнення необхідний серйозний досвід математичних міні досліджень, яким більшість дев'ятикласників, звичайно, не має. А тим часом, у ДПА пропонують саме за графіком визначити знаки коефіцієнтів. Не вимагатимемо від школярів неможливого і просто запропонуємо один із алгоритмів вирішення подібних завдань. Отже, функція виду y = ax 2 + bx + cназивається квадратичною, графіком її є парабола. Як випливає з назви, головним доданком є ax 2. Тобто ане повинно дорівнювати нулю, інші коефіцієнти ( bі з) нулю дорівнювати можуть. Подивимося, як впливають зовнішній вигляд параболи знаки її коефіцієнтів. Найпростіша залежність для коефіцієнта а. Більшість школярів впевнено відповідає: а> 0, то гілки параболи спрямовані вгору, і якщо а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0. y = 0,5x 2 - 3x + 1 В даному випадку а = 0,5 А тепер для а < 0: y = - 0,5x2 - 3x + 1 В даному випадку а = - 0,5 Вплив коефіцієнта зтеж досить просто простежити. Уявімо, що ми хочемо знайти значення функції у точці х= 0. Підставимо нуль у формулу: y = a 0 2 + b 0 + c = c. Виходить що у = с. Тобто з- це ордината точки перетину параболи з віссю. Як правило, цю точку легко знайти на графіку. І визначити вище за нуль вона лежить або нижче. Тобто з> 0 або з < 0. з > 0: y = x 2 + 4x + 3 з < 0 y = x 2 + 4x - 3 Відповідно, якщо з= 0, то парабола обов'язково проходитиме через початок координат: y = x 2 + 4x Складніше з параметром b. Точка, за якою ми його знаходитимемо, залежить не тільки від bале і від а. Це вершина параболи. Її абсцисса (координата з осі х) знаходиться за формулою х в = - b/(2а). Таким чином, b = - 2ах. Тобто, діємо наступним чином: на графіку знаходимо вершину параболи, визначаємо знак її абсциси, тобто дивимося правіше за нуль ( х в> 0) або лівіше ( х в < 0) она лежит. Однак, це не все. Потрібно ще звернути увагу на знак коефіцієнта а. Тобто подивитися, куди спрямовані гілки параболи. І лише після цього за формулою b = - 2ахвизначити знак b. Розглянемо приклад: Гілки спрямовані вгору, отже а> 0, парабола перетинає вісь унижче за нуль, значить з < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в> 0. Значить b = - 2ах = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, з < 0. Урок: як побудувати параболу чи квадратичну функцію? Парабола — це графік функції, описаний формулою ax 2 +bx+c=0. 1) Формула параболи y=ax 2 +bx+c, 2) , її знаходять за формулою x=(-b)/2aзнайдений x підставляємо в рівняння параболи і знаходимо y; 3)Нулі функціїабо інакше точки перетину параболи з віссю OX вони ще називаються корінням рівняння. Щоб знайти коріння ми рівняння прирівнюємо до 0 ax 2 +bx+c=0; Види рівнянь: a) Повне квадратне рівняння має вигляд ax 2 +bx+c=0і вирішується за дискримінантом; 4) Знайти кілька додаткових точок для побудови функції. І так тепер на прикладі розберемо все за діями: х -4 -3 -1 0 Підставляємо замість х рівняння y=x 2 +4x+3 значення Приклад №2: Приклад №3 Візьмемо кілька довільних точок, що знаходяться поруч із вершиною х=0 Підписуйтесь на канал на YOUTUBEщоб бути в курсі всіх новинок і готується з нами до іспитів.
ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
Щоб побудувати параболу потрібно слідувати простому алгоритму дій:
якщо а>0то гілки параболи направлені вгору,
а то гілки параболи спрямовані вниз.
Вільний член cця точка перетинається параболи з віссю OY;
b) Неповне квадратне рівняння виду ax 2 + bx = 0.Щоб його вирішити, потрібно винести х за дужки, потім кожен множник прирівняти до 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 та ax+b=0;
c)Неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0.Щоб його вирішити, потрібно невідомі перенести в один бік, а відомі в інший. x =±√(c/a);ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
Приклад №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 означає парабола перетинає OY у точці х=0 у=3. Гілки параболи дивляться нагору оскільки а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 вершина знаходиться у точці (-2;-1)
Знайдемо коріння рівняння x2+4x+3=0
За дискримінантом знаходимо коріння
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Візьмемо кілька довільних точок, що знаходяться поруч із вершиною х=-2
у 3 0 0 3
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно за значеннями функції, що парабола симетрична щодо прямої х = -2
y=-x 2 +4x
c=0 означає парабола перетинає OY у точці х=0 у=0. Гілки параболи дивляться вниз оскільки а=-1 -1 Знайдемо коріння рівняння -x 2 +4x=0
Неповне квадратне рівняння виду ax2+bx=0. Щоб його вирішити, потрібно винести х за дужки, потім кожен множник прирівняти до 0.
х(-x+4)=0, х=0 та x=4.
Візьмемо кілька довільних точок, що знаходяться поруч із вершиною х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Підставляємо замість х рівняння y=-x 2 +4x значення
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно за значеннями функції, що парабола симетрична щодо прямої х = 2
y=x 2 -4
c=4 означає парабола перетинає OY у точці х=0 у=4. Гілки параболи дивляться нагору оскільки а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина знаходиться в точці (0;-4 )
Знайдемо коріння рівняння x 2 -4 = 0
Неповне квадратне рівняння виду ax2+c=0. Щоб його вирішити, потрібно невідомі перенести в один бік, а відомі в інший. x =±√(c/a)
x 2 = 4
x 1 =2
x 2 =-2
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Підставляємо замість х рівняння y= x 2 -4 значення
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно за значеннями функції, що парабола симетрична щодо прямої х = 0
