Відповідні кути дорівнюють то прямі. Ознаки паралельності двох прямих

Нехай пряма з перетинає паралельні прямі а та b. При цьому утворюється вісім кутів. Кути при паралельних прямих і січні так часто використовуються в завданнях, що в геометрії їм дано спеціальні назви.

Кути 1 і 3 - вертикальні.Очевидно, вертикальні кути рівні,тобто
∠1 = ∠3,
∠2 = ∠4.

Звичайно, кути 5 і 7, 6 і 8 теж вертикальні.

Кути 1 і 2 - суміжніЦе ми вже знаємо. Сума суміжних кутів дорівнює 180 º.

Кути 3 і 5 (а також 2 і 8, 1 і 7, 4 і 6) - навхрест лежать. Нахрест кути, що лежать, рівні.
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Кути 1 і 6 - односторонні.Вони лежать по одну сторону від усієї «конструкції». Кути 4 і 7 – теж односторонні. Сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, тобто
∠1 + ∠6 = 180°,
∠4 + ∠7 = 180 °.

Кути 2 і 6 (а також 3 і 7, 1 і 5, 4 та 8) називаються відповідними.

Відповідні кути рівні, тобто
∠2 = ∠6,
∠3 = ∠7.

Кути 3 і 5 (а також 2 і 8, 1 і 7, 4 та 6) називають навхрест лежачими.

Нахрест кути, що лежать, рівні, тобто
∠3 = ∠5,
∠1 = ∠7,
∠2 = ∠8,
∠4 = ∠6.

Щоб застосовувати всі ці факти у вирішенні завдань ЄДІ, треба навчитися бачити їх на кресленні. Наприклад, дивлячись на паралелограм або трапецію, можна побачити пару паралельних прямих і січну, а також односторонні кути. Провівши діагональ паралелограма, бачимо навхрест кути, що лежать. Це - один із кроків, з яких і складається рішення.

1. Бісектриса тупого кута паралелограма ділить протилежну сторону щодо 3:4, рахуючи від вершини тупого кута. Знайдіть більшу сторону паралелограма, якщо його периметр дорівнює 88.

Нагадаємо, що бісектриса кута - це промінь, що виходить з вершини кута і кут, що ділить навпіл.

Нехай ВМ - бісектриса тупого кута В. За умовою, відрізки МD та АВ дорівнюють 3х і 4х відповідно.

Розглянемо кути СВМ та ВМА. Оскільки АD і ВС паралельні, ВМ - січна, кути СВМ та ВМА є навхрест лежачими. Ми знаємо, що навхрест кути, що лежать, рівні. Отже, трикутник АВМ – рівнобедрений, отже, АВ = АМ = 4х.

Периметр паралелограма – це сума всіх його сторін, тобто
7х + 7х + 4х + 4х = 88
Звідси x = 4, 7x = 28.

2. Діагональ паралелограма утворює з двома сторонами кути 26º і 34º. Знайдіть більший кут паралелограма. Відповідь дайте у градусах.

Намалюйте паралелограм та його діагональ. Помітивши на кресленні навхрест кути, що лежать, і односторонні кути, ви легко отримаєте відповідь: 120º.

3. Чому дорівнює більший кут рівнобедреної трапеції, якщо відомо, що різниця протилежних кутів дорівнює 50? Відповідь дайте у градусах.

Ми знаємо, що рівнобедреної(або рівнобокою) називається трапеція, у якої бічні сторони рівні. Отже, рівні кути при верхній підставі, а також кути при нижній основі.

Давайте подивимося на креслення. За умовою, α - β = 50 °, тобто α = β + 50 °.

Кути α і β - односторонні при паралельних прямих і січній, отже,
α + β = 180 °.

Отже, 2β + 50 ° = 180 °
β = 65 °, тоді α = 115 °.

Відповідь: 115.

EGE-Study » Методичні матеріали » Геометрія: з нуля до C4 » Висоти, медіани, бісектриси трикутника

Ознаки паралельності двох прямих

Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих січні:

навхрест лежачі кути рівні, або

відповідні кути рівні, або

сума односторонніх кутів дорівнює 180 °, то

прямі паралельні(Рис.1).

Доказ. Обмежимося підтвердженням випадку 1.

Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути, що лежать, рівні. Наприклад, ∠4 = ∠6. Доведемо, що а || b.

Припустимо, що прямі а та b не паралельні. Тоді вони перетинаються в деякій точці М і, отже, один із кутів 4 або 6 буде зовнішнім кутом трикутника АВМ. Нехай для визначеності ∠4 – зовнішній кут трикутника АВМ, а ∠6 – внутрішній. З теореми про зовнішній вугіллі трикутника випливає, що ∠4 більше ∠6, а це суперечить умові, отже, прямі а і 6 не можуть перетинатися, тому вони паралельні.

Наслідок 1 . Дві різні прямі на площині, перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої, паралельні(Рис.2).

Зауваження. Спосіб, яким ми щойно довели випадок 1 теореми 1, називається методом доказу від неприємності або приведенням до безглуздості. Першу назву цей спосіб отримав тому, що на початку міркування робиться припущення, неприємне (протилежне) тому, що потрібно довести. Приведенням до безглуздості він називається внаслідок того, що, розмірковуючи на підставі зробленого припущення, ми приходимо до безглуздого висновку (абсурду). Отримання такого висновку змушує нас відкинути зроблене спочатку припущення і прийняти те, що потрібно було довести.

Завдання 1.Побудувати пряму, що проходить через дану точку М і паралельну даній прямій а, що не проходить через точку М.

Рішення. Проводимо через точку М пряму р перпендикулярно до прямої а (рис. 3).

Потім проводимо через точку М пряму b перпендикулярно до прямої р. Пряма b паралельна прямий а відповідно до слідства теореми 1.

З розглянутого завдання випливає важливий висновок:
через точку, що не лежить на даній прямій, завжди можна провести пряму, паралельну даній.

Основна властивість паралельних прямих полягає у наступному.

Аксіома паралельних прямих. Через цю точку, що не лежить на даній прямій, проходить лише одна пряма, паралельна даній.

Розглянемо деякі властивості паралельних прямих, які випливають із цієї аксіоми.

1) Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, вона перетинає і іншу (рис.4).

2) Якщо дві різні прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні (рис.5).

Справедлива та наступна теорема.

Теорема 2. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною, то:

навхрест лежачі кути рівні;

відповідні кути рівні;

сума односторонніх кутів дорівнює 180 °.

Наслідок 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна до іншої(Див. рис.2).

Зауваження. Теорема 2 називається зворотної теореми 1. Висновок теореми 1 є умовою теореми 2. А умова теореми 1 є укладанням теореми 2. Не всяка теорема має зворотну, тобто якщо дана теорема вірна, то зворотна теорема може бути невірна.

Пояснимо це на прикладі теореми про вертикальні кути. Цю теорему можна сформулювати так: якщо два кути вертикальні, то вони рівні. Зворотна їй теорема була б такою: якщо два кути рівні, то вони вертикальні. А це, звісно, ​​не так. Два рівних кута не повинні бути вертикальними.

приклад 1.Дві паралельні прямі перетнуті третьою. Відомо, що різницю двох внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 30 °. Знайти ці кути.

Рішення. Нехай умові відповідає рисунок 6.

Які лежать в одній площині або збігаються, або не перетинаються. У деяких шкільних визначеннях прямі збігаються не вважаються паралельними, тут таке визначення не розглядається.

Властивості

1. Паралельність - бінарне відношення еквівалентності , тому розбиває безліч прямих на класи паралельних між собою прямих.
2. Через будь-яку точку можна провести одну пряму, паралельну даній. Це відмінна властивість евклідової геометрії, в інших геометріях число 1 замінено на інші (у геометрії Лобачевського таких прямих мінімум дві)
3. 2 паралельні прямі у просторі лежать у одній площині.
4. При перетині 2 паралельних прямих третьої, званої січучою:
   1. Сікаюча обов'язково перетинає обидві прямі.
   2. При перетині утворюється 8 кутів, деякі характерні пари яких мають особливі назви та властивості:
      1. Нахрест лежатькути рівні.
      2. Відповіднікути рівні.
      3. Одностороннікути у сумі становлять 180°.

У геометрії Лобачевського

У геометрії Лобачевського у площині через точку Cпоза цією прямою ABпроходить безліч прямих, що не перетинають AB. З них паралельними до ABназиваються лише дві. Пряма CEназивається рівнобіжною (паралельною) прямою ABу напрямку від Aдо B, якщо:

1. крапки Bі Eлежать по одну сторону від прямої AC ;
2. пряма CEне перетинає пряму AB, але всякий промінь, що проходить усередині кута ACE, перетинає промінь AB .

Аналогічно визначається пряма, рівнобіжна ABу напрямку від Bдо A .

Всі інші прямі, що не перетинають дану, називаються ультрапаралельнимиабо розбіжними.

також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Нахрест лежачі" в інших словниках:

Ця теорема про паралельні прямі. Про вугілля, що спирається на діаметр, див. іншу теорему. Теорема Фалеса одна з теорем планіметрії. Якщо на одній із двох прямих відкласти послідовно кілька рівних відрізків і через їх кінці провести… Вікіпедія

Російський орден Св. Анни, заснований був володарем герцогом Шлезвіг Гольштинським Карлом Фредеріком в 1736 р. на честь дружини своєї цесарівни Анни Петрівни (дочки Петра Великого) і зарахований до російських орденів імператором Петром III. Орден Св. Анни …

Для випробування мисливських рушничних стволів засновані у всіх західноєвропейських державах. Найбільш відомі з них знаходяться в Лондоні, Бірмінгемі, Люттіху, Зулі та Сент Етьєні. За новими, нещодавно введеними в Англії правилами кожен стовбур. Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Так називається один із способів кількісного визначення вмісту речовин у розчинах; методи До. застосовні до кількісного визначення всіх тих речовин, які дають пофарбовані розчини, або можуть бути, за допомогою якоїсь реакції, ... Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Скаржений за особливі заслуги або відзнаку знак, встановленої форми, що носиться на стрічці, ланцюгу чи іншим чином. Є вказівки, що у східній римській імперії ще з часів Костянтина Великого імператори встановлювали кавалерські товариства чи… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Скаржений за особливі заслуги або відзнаку знак, встановленої форми, що носиться на стрічці, ланцюгу чи іншим чином. Є вказівки, що у сх. римської імперії ще з часів Костянтина Вел., імператори встановлювали кавалерські товариства чи ордени, … Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Друге сімейство цього загону складається з одного роду і виду моржа (Odobenus rosmarus) *, найбільшого з усіх ластоногих. * Моржі мають в анатомії риси подібності з вухатими тюленями і також походять від примітивного ведмедя... Життя тварин

- (інш. грец. παραλληλόγραμμον від παράλληλος паралельний і γραμμή лінія) це чотирихуго … Вікіпедія

Перетину прямих (анімація) Аксіома паралельності Евкліда, або п'ятий постулат одна з аксіом, що лежить в літературі.

Перетин прямих (анімація) Аксіома паралельності Евкліда, або п'ятий постулат одна з аксіом, що лежать в основі класичної планіметрії. Вперше наведена в «Почалах» Евкліда: І якщо пряма, що падає на дві прямі, утворює внутрішні і … Вікіпедія