Дата: 20.11.2014

Що таке похідна?

Таблиця похідних.

Похідна – одне з головних понять вищої математики. У цьому уроці ми познайомимося із цим поняттям. Саме познайомимося, без строгих математичних формулювань та доказів.

Це знайомство дозволить:

Розуміти суть нескладних завдань із похідною;

Успішно вирішувати ці нескладні завдання;

Підготуватися до серйозніших уроків з похідної.

Спочатку – приємний сюрприз.)

Суворе визначення похідної ґрунтується на теорії меж і штука досить складна. Це засмучує. Але практичне застосування похідної, як правило, не потребує таких великих і глибоких знань!

Для успішного виконання більшості завдань у школі та ВНЗ достатньо знати всього кілька термінів- щоб зрозуміти завдання, та лише кілька правил- Щоб його вирішити. І все. Це радує.

Приступимо до знайомства?)

Терміни та позначення.

В елементарної математики багато всяких математичних операцій. Додавання, віднімання множення, зведення в ступінь, логарифмування і т.д. Якщо до цих операцій додати ще одну, елементарна математика стає вищою. Ця нова операція називається диференціювання.Визначення та зміст цієї операції буде розглянуто в окремих уроках.

Тут важливо зрозуміти, що диференціювання - це просто математична операція над функцією. Беремо будь-яку функцію і, за певними правилами, перетворюємо її. В результаті вийде нова функція. Ось ця нова функція і називається: похідна.

Диференціювання- Дія над функцією.

Похідна- Результат цієї дії.

Так само, як, наприклад, сума- Результат додавання. Або приватне- Результат поділу.

Знаючи терміни, можна, як мінімум, розуміти завдання.) Формулювання бувають такі: знайти похідну функції; взяти похідну; продиференціювати функцію; обчислити похіднуі т.п. Це все одне і теж.Зрозуміло, бувають і складніші завдання, де перебування похідної (диференціювання) буде лише одним із кроків вирішення завдання.

Позначається похідна за допомогою штришку вгорі праворуч над функцією. Ось так: y"або f"(x)або S"(t)і так далі.

Читається ігрек штрих, еф штрих від ікс, ес штрих від те,Ну ви зрозуміли...)

Штрих також може позначати похідну конкретної функції, наприклад: (2х+3)", (x 3 )" , (Sinx)"і т.д. Часто похідна позначається за допомогою диференціалів, але таке позначення в цьому уроці ми не розглядатимемо.

Припустимо, що розуміти завдання ми навчилися. Залишилося всього нічого – навчитися їх вирішувати.) Нагадаю ще раз: знаходження похідної – це перетворення функції за певними правилами.Цих правил, на диво, зовсім небагато.

Щоб знайти похідну функції, треба знати лише три речі. Три кити, на яких стоїть все диференціювання. Ось вони ці три кити:

1. Таблиця похідних (формули диференціювання).

3. Похідна складної функції.

Почнемо по порядку. У цьому вся уроці розглянемо таблицю похідних.

Таблиця похідних.

У світі - безліч функцій. Серед цієї множини є функції, які найбільш важливі для практичного застосування. Ці функції сидять у всіх законах природи. З цих функцій, як із цеглинок, можна сконструювати всі інші. Цей клас функцій називається елементарні функції.Саме ці функції і вивчаються у школі – лінійна, квадратична, гіпербола тощо.

Диференціювання функцій "з нуля", тобто. виходячи з визначення похідної та теорії меж - штука досить трудомістка. А математики – теж люди, так-так!) От і спростили собі (і нам) життя. Вони вирахували похідні елементарних функцій до нас. Вийшла таблиця похідних, де вже готово.)

Ось вона, ця табличка для найпопулярніших функцій. Ліворуч - елементарна функція, справа - її похідна.

	Функція y	Похідна функції y y"
1	C (постійна величина)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - будь-яке число)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctg x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	log a x
	ln x ( a = e)

Рекомендую звернути увагу на третю групу функцій у таблиці похідних. Похідна статечної функції - одна з найуживаніших формул, якщо тільки не найвживаніша! Натяк зрозумілий?) Так, таблицю похідних бажано знати напам'ять. До речі, це не так важко, як це може здатися. Спробуйте вирішувати більше прикладів, таблиця сама і запам'ятається!)

Знайти табличне значення похідної, як ви розумієте, завдання не найважче. Тому дуже часто у подібних завданнях зустрічаються додаткові фішки. Або у формулюванні завдання, або у вихідній функції, якої в таблиці - начебто і немає.

Розглянемо кілька прикладів:

1. Знайти похідну функції y = x 3

Такої функції у таблиці немає. Але є похідна статечної функції у загальному вигляді (третя група). У разі n=3. Ось і підставляємо трійку замість n та акуратно записуємо результат:

(x 3) " = 3 · x 3-1 = 3x 2

Ось і всі справи.

Відповідь: y" = 3x 2

2. Знайти значення похідної функції y = sinx у точці х = 0.

Це завдання означає, що треба спочатку знайти похідну від синуса, а потім підставити значення х = 0в цю похідну. Саме у такому порядку!А то, буває, відразу підставляють нуль у вихідну функцію... Нас просять знайти не значення вихідної функції, а значення її похідною.Похідна, нагадаю – це вже нова функція.

По табличці знаходимо синус та відповідну похідну:

y" = (sin x)" = cosx

Підставляємо нуль у похідну:

y"(0) = cos 0 = 1

Це буде відповідь.

3. Продиференціювати функцію:

Що, вселяє?) Такої функції таблиці похідних і близько немає.

Нагадаю, що продиференціювати функцію – це просто знайти похідну цієї функції. Якщо забути елементарну тригонометрію, шукати похідну нашої функції досить клопітно. Таблиця не допомагає...

Але якщо побачити, що наша функція – це косинус подвійного кута, То все відразу налагоджується!

Так Так! Запам'ятайте, що перетворення вихідної функції до диференціюванняцілком допускається! І, трапляється, здорово полегшує життя. За формулою косинуса подвійного кута:

Тобто. наша хитра функція є не що інше, як y = cosx. А це – таблична функція. Відразу отримуємо:

Відповідь: y" = - sin x.

Приклад для просунутих випускників та студентів:

4. Знайти похідну функції:

Такої функції у таблиці похідних немає, очевидно. Але якщо згадати елементарну математику, дії зі ступенями... То можна спростити цю функцію. Ось так:

А ікс ступеня одна десята - це вже таблічна функція! Третя група, n = 1/10. Просто за формулою та записуємо:

От і все. Це буде відповідь.

Сподіваюся, що з першим китом диференціювання – таблицею похідних – все ясно. Залишилося розібратися з двома китами, що залишилися. У наступному уроці освоїмо правила диференціювання.

Опис відеоуроку

Функцією називається залежність змінної ігор від змінної ікс, при якій кожному значенню змінної ікс відповідає єдине значення змінної ігор.

Ікс називається незалежною змінною чи аргументом. Гравець називається залежною змінною, значенням функції або просто функцією.

Якщо залежність змінної ігор від змінної ікс є функцією, то коротко записують так: ігрек дорівнює еф від ікс. Цим символом позначають значення функції, відповідне значенню аргументу ікс.

Нехай функція задана формулою ігор дорівнює три ікс квадрат мінус п'ять. Тоді можна записати, що еф від ікс дорівнює три ікс квадрат мінус п'ять. Знайдемо значення функції еф для значень ікс, рівних двом та мінус п'яти. Вони будуть рівні семи та сімдесяти.

Зауважимо, що в записі ігор дорівнює еф від ікс замість еф можна використовувати й інші літери: а, фі і так далі.

Усі значення ікс утворюють область визначення функції. Всі значення, які приймає гравець, утворюють область значень функції.

Функція вважається заданою, якщо зазначена її область визначення та правило, згідно з яким кожному значенню ікс поставлено у відповідність єдине значення ігор.

Якщо функція ігор дорівнює еф від ікс задана формулою і її область визначення не вказана, то вважають, що область визначення функції складається з усіх значень змінної ікс, при яких вираз еф від ікс має сенс.

Графіком функції називається безліч всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати - відповідним значенням функції.

На малюнку зображено графік функції ігор дорівнює еф від ікс, областю визначення якої є відрізок від одиниці до п'яти. За допомогою графіка можна знайти, наприклад, що функція від числа одна дорівнює мінус трьом, функція від двох дорівнює двом, функція від числа чотири дорівнює мінус двом, функція від числа п'ять дорівнює мінус чотирьом. Найменше значення функції дорівнює мінус чотирьом, а найбільше – двом. При цьому будь-яке число мінус чотирьох до двох, включаючи ці числа, є значенням даної функції. Таким чином, областю значень функції ігор дорівнює еф від ікс є відрізок від мінус чотирьох до двох.

Раніше нами вже були вивчені деякі види функцій:

• Лінійна функція, що задається формулою ігор дорівнює ка ікс плюс бе, де ка і бе - деякі числа;
• Пряма пропорційність - окремий випадок лінійної функції, вона задається формулою ігор дорівнює ка ікс, де ка не дорівнює нулю;
• Зворотна пропорційність - функція ігор дорівнює ка ділене на ікс, де ка не дорівнює нулю.

Графіком функції ігор дорівнює як ікс плюс бе є пряма. Область визначення цієї функції – безліч усіх чисел. Області значень цієї функції при ка не рівному нулю є безліч всіх чисел, а при ка рівному нулю її область значень складається з одного числа бе.

Графік функції ігор рівно ділене на ікс називається гіперболою.

На малюнку зображено графік функції ігорок рівно ділене на ікс, для більшого нуля. Область визначення цієї функції є безліч всіх чисел, крім нуля. Це безліч є і областю її значень.

Функціями описуються багато реальних процесів і закономірності. Наприклад, прямою пропорційністю є залежність маси тіла від його об'єму за постійної щільності; залежність довжини кола від її радіусу. Зворотною пропорційністю є залежність сили струму на ділянці ланцюга від опору провідника за постійної напруги; залежність часу, що витрачає тіло, що рівномірно рухається на проходження заданого шляху, від швидкості руху.

Вивчалися також функції, задані формулами ігорок ікс квадрат, ігорок ікс куб, ігрек і корінь квадратний з ікс.

Розглянемо функцію, задану формулою ігор і модуль ікс.

Так як вираз модуль ікс має сенс за будь-якого ікс, то областю визначення цієї функції є безліч всіх чисел. За визначенням модуль ікс дорівнює ікс, якщо ікс більший або дорівнює нулю, і мінус ікс, якщо ікс менший за нуль. Тому функцію ігор і модуль ікс можна задати наступною системою.

Графік функції, що розглядається в проміжку від нуля до плюс нескінченності, включаючи нуль, збігається з графіком функції ігор дорівнює ікс, а в проміжку від мінус нескінченності до нуля - з графіком функції ігор дорівнює мінус ікс. Графік функції ігор і модуль ікс складається з двох променів, які виходять з початку координат і є бісектрисами першого і другого координатних кутів.

Матеріал, представлений у відеоуроці, є продовженням теми побудови графіків функцій шляхом різних перетворень. Ми розглянемо, як будується графік функції y=f(kx), якщо відомий графік функції у=f(x) . В даному випадку k- будь-яке дійсне число, що не дорівнює нулю.

Спочатку розглянемо випадок, коли k- додатне число. Наприклад побудуємо графік функції у=f(3 x) , якщо графік функції у=f(х)у нас є. На малюнку на осі координат зображено графік у=f(х), на якому є точки з координатами А та В. Вибираючи довільні значення хта підставляючи їх у функцію у=f(3 x), знаходять відповідні значення функції у. Таким чином, отримують точки графіка функції у=f(3 x) А 1 і В 1 , у яких ординати такі ж, як у точок А та В. Тобто ми можемо сказати, що з графіка функції у=f(x) шляхом стиснення з коефіцієнтом kдо осі ординат можна отримати графік функції y=f(kx) . Важливо відзначити, що точки перетину з віссю ординат при стисканні залишаються на колишньому місці.

У випадку, коли k- Негативне число, графік функції y=f(kx) перетворюється з графіка функції у=f(x) шляхом розтягування від осі ординат з коефіцієнтом 1/ k.

1) спочатку будується частина хвилі графіка функції у =sinх(Див. малюнок);

2) т.к. k= 2, виконується стиск графіка функції у=sinxдо осі ординат, коефіцієнт стиснення дорівнює 2. Знаходимо точку перетину з віссю x. Т.к. графік функції у =sinхперетинає вісь абсцис у точці π, то графік функції у =sin 2хперетинає вісь абсцис у точці π/k = π/2. Аналогічним способом знаходяться всі інші точки графіка функції у =sin 2xі за цими точками будується весь графік.

Розглянемо 2-й приклад – побудова графіка функції у =cos (x/2).

1) будуємо частину хвилі графіка функції у = cos х(Див. малюнок);

2) т.к. k=1/2, виконуємо розтягування графіка функції у =sinхвід осі ординат з коефіцієнтом?

Знайдемо точку перетину графіка з віссю х. Т.к. графік функції у =cosхперетинає вісь абсцис у точці π/2, то графік функції у =cos (x/2)перетинає вісь абсцис у точці π. Так само знаходимо всі інші точки графіка функції у =cos (x/2), Побудуємо по цих точках весь графік.

Далі розглянемо варіант побудови графіка функції y= f(kx), де k- Число негативне. Наприклад, при k= -1 функція y= f(kx) = f(- x). На малюнку зображено графік у=f(х),на якому є точки з координатами А і В. Вибравши довільні значення х та підставивши їх у функцію y= f(- x), знаходимо відповідні значення функції у. Отримаємо точки графіка функції y= f(- x) А 1 і В 1 які будуть симетричні точкам А і В щодо осі ординат. Тобто при використанні симетрії щодо осі ординат із графіка функції у=f(kx) отримуємо графік функції y=f(- x).

Переходимо до побудови графіка функції y= f(kx) при k<0 на примере функции у = 4 sin (- x/2).

1) побудуємо частину хвилі графіка у =sinх;

2) т.к. k= 4, виконаємо розтяг напівхвилі графіка щодо осі абсцис, де коефіцієнт розтягу дорівнює 4;

3) виконаємо симетричне перетворення щодо осі абсцис;

4) зробимо розтяг від осі ординат (коефіцієнт розтягу дорівнює 2);

5) завершимо побудову всього графіка.

У цьому відеоуроці ми докладно розглянули, як поетапно можна побудувати графік функції. y=f(kx) при різних значеннях k.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:

Сьогодні познайомимося із перетворенням, яке допоможе навчитися будувати графік функції у = f(kx)

(Ігрек дорівнює еф від аргументу, який представляє твір ка і ікс), якщо відомий графік функції у = f (x) (Ігрек дорівнює еф від ікс), де ка - будь-яке дійсне число (крім нуля) ».

1) Розглянемо випадок, коли k – позитивне число на конкретному прикладі, коли k = 3. Тобто потрібно побудувати графік функції

у = f (3x) (гравець дорівнює еф від трьох ікс), якщо відомий графік функції у = f (x). Нехай на графіку функції у = f (x) є точка А з координатами (6; 5) і з координатами (-3; 2). Це означає, що f(6) = 5 і f(-3) = 2 (еф від шести дорівнює п'яти і еф від мінус трьох дорівнює двом). Простежимо за переміщенням цих точок при побудові графіка функції у = f(3x).

Візьмемо довільне значення х = 2, обчислимо у, підставивши значення х графік функції у = f (3x) , отримаємо, що у = 5. (на екрані: у = f (3x) = f (3∙2)= f ( 6) = 5.) ​​Тобто на графіку функції у = f (3x) є точка з А1 координатами (2; 5). Якщо ж х = - 1, то підставивши значення х графік функції у = f (3x), отримаємо значення у = 2.

(На екрані: у = f(3x) = f(-1∙3)=f(-3)=2.)

Тобто на графіку функції у = f (3x) є точка з координатами 1 (- 1; 2). Отже, на графіку функції у = f (3x) є точки з тією ж ординатою, що і на графіку функції у = f (x), при цьому абсцис точки в два рази менше за модулем.

Те саме буде справедливо і для інших точок графіка функції у = f(x), коли ми переходимо до графіка функції у = f(3x).

Зазвичай таке перетворення називають стиском до осі у (гравець) з коефіцієнтом 3.

Отже, графік функції у = f (kx) виходить із графіка функції у = f (x) за допомогою стиснення до осі у (гравець) з коефіцієнтом k. Зауважимо, що з такому перетворенні дома залишається точка перетину графіка функції у = f (x) з віссю ординат.

Якщо ж k менше одиниці, то говорять не про стиснення з коефіцієнтом k, а про розтяг від осі у з коефіцієнтом (тобто, якщо k = , то говорять про розтяг з коефіцієнтом 4).

ПРИКЛАД 1. Побудувати графік функції у = sin 2x (гравець дорівнює синусу двох ікс).

Рішення. Спочатку збудуємо напівхвилю графіка у = sin x на проміжку від нуля до пі. Оскільки коефіцієнт дорівнює двом, отже k - позитивне число більше одиниці, отже здійснимо стиск графіка функції у = sin x до осі ординат з коефіцієнтом 2. Знайдемо точку перетину з віссю ОХ. Якщо графік функції у = sin x перетинає вісь ОХ в точці π, то графік функції у = sin 2x буде перетинати в точці (π: k =π: 2 =)(поділимо на як рівно поділене на два рівно пі на два) . Аналогічним способом знайдемо решту точок графіка функції у = sin2 x. Так, точці графіка функції у = sin x з координатами (; 1) буде відповідати точка графіка функції у = sin 2x з координатами (; 1). Таким чином, отримаємо одну напівхвилю графіка функції у = sin 2x. Використовуючи періодичність функції, побудуємо весь графік.

ПРИКЛАД 2. Побудувати графік функції у = cos (гравець дорівнює косинус приватного ікс і двох).

Рішення. Спочатку збудуємо напівхвилю графіка у = cos x. Так як k - позитивне число менше е одиниці, значить здійснимо розтягнення графіка функції у = cos x від осі ординат з коефіцієнтом 2.

Знайдемо точку перетину з віссю ОХ. Якщо графік функції у = cos x перетинає вісь ОХ у точці, то графік функції у = cos перетинатиме у точці π. (: k = π: = π). Аналогічним способом знайдемо решту точок графіка функції у = cos. Таким чином отримаємо одну напівхвилю шуканого графіка функції. Використовуючи періодичність функції, побудуємо весь графік.

Розглянемо випадок, коли k дорівнює мінус одиниці. Тобто потрібно побудувати графік функції у = f(-x) (гравець дорівнює еф від мінус ікс), якщо відомий графік функції у = f(x). Нехай на графіку є точка А з координатами (4; 5) та точка В (-5; 1). Це означає, що f(4) = 5 і f(-5) = 1.

Так як при підстановці у формулу у = f(-x) замість х = - 4 отримаємо у = f(4) = 5, то на графіку функції у = f(-x) є точка з координатами А 1

(- 4; 5) (мінус чотири, п'ять). Аналогічно, графіку функції у = f (-x) належить точка В 1 (5; 1). Тобто графіку функції у = f (x) належать точки А (4; 5) і В (-5; 1), а графіку функції у = f(-x) належать точки А 1 (-4; 5) та В 1 (5; 1). Ці пари точок симетричні щодо осі ординат.

Отже, графік функції у = f(-x) за допомогою перетворення симетрії щодо осі ординат можна отримати з графіка функції у = f(x).

3) І, нарешті, розглянемо випадок, коли k – негативне число. Враховуючи, що рівність f (kx) = f (- |k|x) (еф від твору ка на ікс і еф від твору мінус модуля ка та ікса) справедлива, то йдеться про побудову графіка функції у = f (- |k |x), який можна побудувати поетапно:

1) побудувати графік функції у = f(x);

2) побудований графік піддати стиску чи розтягу до осі ординат з коефіцієнтом |k| (модуль ка);

3) здійснити перетворення симетрії щодо осі у

(гравець) отриманого у другому пункті графіка.

ПРИКЛАД 3. Побудувати графік функції у = 4 sin(-) (гравець дорівнює чотири, помножене на синус приватного мінус ікс на два).

Рішення. Насамперед пригадаємо, що sin(-t) = -sint(синус від мінус те дорівнює мінус синусу те), значить, у = 4 sin(-) = - 4 sin (гравець дорівнює мінус чотирьом, помноженим на синус приватного ікс на два ). Будувати будемо поетапно:

1) Побудуємо одну напівхвилю графіка функції у = sinх.

2) Здійснимо розтягнення побудованого графіка від осі абсцис з коефіцієнтом 4 і отримаємо одну напівхвилю графіка функції

у = 4sinх (гравець дорівнює чотири, помножене на синус ікс).

3) До побудованої напівхвилі графіка функції у = 4sinх застосуємо перетворення симетрії щодо осі х (ікс) і отримаємо напівхвилю графіка функції у = - 4sinх.

4) Для напівхвилі графіка функції у = - 4sinх здійснимо розтяг від осі ординат з коефіцієнтом 2; отримаємо напівхвилю графіка функції - 4 sin.

5) За допомогою отриманої напівхвилі побудуємо весь графік.

Будучи нерозривно пов'язаними між собою, вони вже кілька століть активно використовуються при вирішенні практично всіх завдань, які виникали в процесі науково-технічної діяльності людини.

Виникнення поняття про диференціал

Вперше роз'яснив, що таке диференціал, один із творців (поряд з Ісааком Ньютоном) диференціального числення знаменитий німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц. До цього математиками 17 ст. використовувалося дуже нечітке і розпливчасте уявлення про деяку нескінченно малу «неподільну» частину будь-якої відомої функції, що представляла дуже малу постійну величину, але не рівну нулю, менше якої значення функції бути просто не можуть. Звідси був лише один крок до введення уявлення про нескінченно малі прирощення аргументів функцій і відповідні їм прирощення самих функцій, що виражаються через похідні останніх. І цей крок було зроблено практично одночасно двома вищезгаданими великими вченими.

Виходячи з необхідності вирішення нагальних практичних завдань механіки, які ставила перед наукою бурхливо розвивається промисловість і техніка, Ньютон і Лейбніц створили загальні способи знаходження швидкості зміни функцій (насамперед стосовно механічної швидкості руху тіла за відомою траєкторією), що призвело до введення таких понять, як похідна та диференціал функції, а також знайшли алгоритм вирішення зворотного завдання, як за відомою (змінною) швидкістю знайти пройдений шлях, що призвело до появи поняття інтеграла.

У працях Лейбніца і Ньютона вперше з'явилося уявлення у тому, що диференціали - це пропорційні приростам аргументів Δх основні частини прирощень функцій Δу, які можуть бути успішно застосовані до обчислення значень останніх. Інакше кажучи, ними було відкрито, що збільшення функції може бути в будь-якій точці (всередині області її визначення) виражено через її похідну як Δу = y"(x) Δх + αΔх, де α Δх - залишковий член, що прагне до нуля при Δх→ 0, набагато швидше, ніж саме Δх.

Згідно з основоположниками матаналізу, диференціали - це якраз і є перші члени у виразах прирощень будь-яких функцій. Ще не маючи чітко сформульованого поняття межі послідовностей, вони інтуїтивно зрозуміли, що величина диференціала прагне похідної функції при Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

На відміну від Ньютона, який був насамперед фізиком, і розглядав математичний апарат як допоміжний інструмент дослідження фізичних завдань, Лейбніц приділяв більшу увагу самому цьому інструментарію, включаючи систему наочних і зрозумілих позначень математичних величин. Саме він запропонував загальноприйняті позначення диференціалів функції dy=y"(x)dx, аргументу dx та похідної функції у вигляді їх відношення y"(x)=dy/dx.

Сучасне визначення

Що таке диференціал із погляду сучасної математики? Він був із поняттям збільшення змінної величини. Якщо змінна y приймає спочатку значення y = y 1 , а потім y = y 2 то різниця y 2 ─ y 1 називається збільшенням величини y.

Приріст може бути позитивним. негативним та рівним нулю. Слово «прирощення» позначається Δ, запис Δу (читається «дельта ігрок») позначає збільшення величини y. отже Δу = y 2 ─ y 1 .

Якщо величину Δу довільної функції y = f (x) можливо представити у вигляді Δу = A Δх + α, де A немає залежності від Δх, тобто A = const при даному х, а доданок α при Δх→0 прагне до йому ще швидше, ніж саме Δх, тоді перший («головний») член, пропорційний Δх, і є для y = f (x) диференціалом, що позначається dy або df(x) (читається «де игрек», «де еф від ікс »). Тому диференціали - це «головні» лінійні щодо Δх складові прирощень функцій.

Механічне тлумачення

Нехай s = f(t) - відстань прямолінійно рухається від початкового положення (t - час перебування в дорозі). Приріст Δs - це шлях точки за інтервал часу Δt, а диференціал ds = f" (t) Δt - це шлях, який точка пройшла б за той же час Δt, якби вона зберегла швидкість f"(t), досягнуту до моменту t . При нескінченно малому Δt уявний шлях ds відрізняється від істинного Δs на нескінченно малу величину, що має вищий порядок щодо Δt. Якщо швидкість момент t не дорівнює нулю, то ds дає наближену величину малого зміщення точки.

Геометрична інтерпретація

Нехай лінія L є графіком y = f(x). Тоді Δ х= MQ, Δу = QM" (див. рисунок нижче). Дотична MN розбиває відрізок Δу на дві частини, QN і NM". Перша пропорційна Δх і дорівнює QN = MQ∙tg (кута QMN) = Δх f "(x), тобто QN є диференціал dy.

Друга частина NM" дає різницю Δу ─ dy, при Δх→0 довжина NM" зменшується ще швидше, ніж збільшення аргументу, тобто у неї порядок трохи вище, ніж у Δх. У даному випадку, при f "(x) ≠ 0 (дотична не паралельна ОХ), відрізки QM" і QN еквівалентні; іншими словами NM" зменшується швидше (порядок трохи її вище), ніж повне збільшення Δу = QM". Це видно на малюнку (з наближенням M" до М відрізок NM" становить все менший відсоток відрізка QM").

Отже, графічно диференціал довільної функції дорівнює величині збільшення ординати її дотичної.

Похідна та диференціал

Коефіцієнт A у першому доданку виразу прирощення функції дорівнює величині її похідної f "(x). Таким чином, має місце наступне співвідношення - dy = f "(x)Δх, або df (x) = f "(x)Δх.

Відомо, що збільшення незалежного аргументу дорівнює його диференціалу х = dx. Відповідно, можна написати: f"(x) dx = dy.

Знаходження (іноді кажуть, «рішення») диференціалів виконується за тими самими правилами, що й для похідних. Перелік їх наведено нижче.

Що універсальніше: збільшення аргументу чи його диференціал

Тут потрібно зробити деякі пояснення. Подання величиною f"(x)Δх диференціала можливе при розгляді х як аргумент. Але функція може бути складною, в якій х може бути функцією деякого аргументу t. Тоді подання диференціала виразом f"(x)Δх, як правило, неможливо; окрім випадку лінійної залежності х = at + b.

Що ж до формули f "(x)dx= dy, то й у разі незалежного аргументу х (тоді dx = Δх), і у разі параметричної залежності х від t, вона представляє диференціал.

Наприклад, вираз 2 x Δх представляє для y = x 2 її диференціал, коли є аргумент. Покладемо тепер х = t 2 і вважатимемо t аргументом. Тоді y = x2 = t4.

Цей вираз не пропорційний Δt і тому тепер 2xΔх не є диференціалом. Його можна знайти з рівняння y = x2 = t4. Він виявляється дорівнює dy=4t 3 Δt.

Якщо ж взяти вираз 2xdx, воно представляє диференціал y = x 2 при будь-якому аргументі t. Дійсно, при х = t2 отримаємо dx = 2tΔt.

Значить 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, тобто вирази диференціалів, записані через дві різні змінні, збіглися.

Заміна прирощень диференціалами

Якщо f "(x) ≠ 0, то Δу та dy еквівалентні (при Δх→0); при f "(x) = 0 (що означає і dy = 0), вони не еквівалентні.

Наприклад, якщо y = x 2 то Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2 , а dy = 2xΔх. Якщо х=3, то маємо Δу = 6Δх + Δх 2 та dy = 6Δх, які еквівалентні внаслідок Δх 2 →0, при х=0 величини Δу = Δх 2 та dy=0 не еквівалентні.

Цей факт, разом із простою структурою диференціала (тобто лінійності по відношенню до Δх), часто використовується в наближених обчисленнях, припущення, що Δу ≈ dy для малих Δх. Знайти диференціал функції, як правило, легше, ніж обчислити точне значення збільшення.

Наприклад, маємо металевий куб із ребром х=10,00 см. При нагріванні ребро подовжилося на Δх = 0,001 см. Наскільки збільшився об'єм V куба? Маємо V = х 2 так що dV = 3x 2 Δх = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (см 3). Збільшення обсягу ΔV еквівалентно диференціалу dV, так що ΔV = 3 см 3 . Повне обчислення дало б V =10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Але в цьому результаті всі цифри, крім першої, ненадійні; отже, однаково, потрібно округлити його до 3 см 3 .

Очевидно, що такий підхід є корисним, тільки якщо можливо оцінити величину помилки, що привноситься при цьому.

Диференціал функції: приклади

Спробуємо знайти диференціал функції y = x3, не знаходячи похідної. Дамо аргументу збільшення і визначимо Δу.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

Тут коефіцієнт A = 3x 2 не залежить від Δх, так що перший член пропорційний Δх, інший член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 зменшується швидше, ніж приріст аргументу. Отже, член 3x 2 Δх є диференціал y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx або d(x 3) = 3x 2 dx.

У цьому d(x 3) / dx = 3x 2 .

Знайдемо тепер dy функції y = 1/x через її похідну. Тоді d(1/x) / dx = ─1/х2. Тому dy = ─ Δх/х2.

Диференціали основних функцій алгебри наведені нижче.

Наближені обчислення із застосуванням диференціалу

Обчислити функцію f(x), а також її похідну f"(x) при x=a часто неважко, а ось зробити те ж саме на околиці точки x=a буває нелегко. Тоді на допомогу приходить наближений вираз

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

Воно дає наближене значення функції при малих збільшеннях через її диференціал f "(a)Δх.

Отже, дана формула дає наближений вираз для функції кінцевої точки деякої ділянки довжиною Δх у вигляді суми її значення в початковій точці цієї ділянки (x=a) і диференціала в тій же початковій точці. Похибка такого способу визначення значення функції ілюструє рисунок нижче.

Однак відомий і точний вираз значення функції для x=a+Δх, що дається формулою кінцевих прирощень (або, інакше, формулою Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

де точка x = a+ ξ знаходиться на відрізку від x = a до x = a + Δх, хоча точне положення її невідоме. Точна формула дозволяє оцінювати похибку наближеної формули. Якщо ж у формулі Лагранжа покласти ξ = Δх /2, то хоч вона і перестає бути точною, але дає, як правило, набагато краще наближення, ніж вихідний вираз через диференціал.

Оцінка похибки формул за допомогою диференціала

У принципі неточні, і привносять у дані вимірів відповідні помилки. Їх характеризують граничною чи, коротше, граничною похибкою - позитивним числом, явно перевищує цю помилку за абсолютною величиною (чи крайньому разі рівним їй). Граничною називають частки від її поділу на абсолютне значення виміряної величини.

Нехай точна формула y=f(x) використана для обчислення функції y, але значення x є результатом вимірювання і тому привносить у y помилку. Тоді, щоб знайти граничну абсолютну похибку │‌‌Δу│функції y використовують формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

де │Δх│ є граничною похибкою аргументу. Величину │‌‌Δу│ слід округлити у бік збільшення, т.к. неточною є сама заміна обчислення збільшення обчислення диференціала.

Функція $f(x)=|x|$

$|x|$ - модуль. Він визначається так: Якщо дійсне число буде невід'ємним, то значення модуля збігається з самим числом. Якщо негативно, то значення модуля збігається з абсолютним значенням даного числа.

Математично це можна записати так:

Приклад 1

Функція $f(x)=[x]$

Функція $ f \ left (x \ right) = [x] $ - функція цілої частини числа. Вона знаходиться округленням числа (якщо воно не ціле) «у меншу сторону».

Приклад: $ = 2. $

Приклад 2

Досліджуємо та побудуємо її графік.

1. $ D \ left (f \ right) = R $.
2. Очевидно, що ця функція набирає тільки цілі значення, тобто $ \ E \ left (f \ right) = Z $
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Отже, ця функція матиме загальний вигляд.
4. $ (0,0) $ - єдина точка перетину з осями координат.
5. $f"\left(x\right)=0$
6. Функція має точки розриву (стрибка функції) за всіх $x\in Z$.

Малюнок 2.

Функція $f\left(x\right)=\(x\)$

Функція $f \ left (x \ right) = \ (x \) $ - функція дробової частини числа. Вона є «відкиданням» цілої частини цього числа.

Приклад 3

Досліджуємо та побудуємо графік функції

Функція $f(x)=sign(x)$

Функція $f \ left (x \ right) = sign (x) $ - сигнум-функція. Ця функція показує, який знак дійсне число. Якщо число негативне, функція має значення $-1$. Якщо число позитивне, то функція дорівнює одиниці. При нульовому значенні числа значення функції також прийматиме нульове значення.