Как представлять одночлен в стандартном виде. Понятие одночлена

Одночлены представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней. Числа, переменные и их степени тоже считаются одночленами. Например: 12ac, -33, a^2b, a, c^9. Одночлен 5aa2b2b можно привести в вид 20a^2b^2.Такой вид называется стандартным видом одночлена.То есть, стандартный вид одночлена - это произведение коэффициента (стоящего на первом месте) и степеней переменных. Коэффициенты 1 и -1 не пишут, но от -1 сохраняют минус. Одночлен и его стандартный вид

Выражения 5a2x, 2a3(-3)x2, b2x являются произведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называются одночленами. Одночленами также считают числа, переменные и их степени.

Например, выражения - 8, 35,y и y2 - одночлены.

Стандартным видом одночлена называется одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путем перемножения всех переменных и чисел, входящих в него. Приведем пример приведения одночлена к стандартному виду:

4x2y4(-5)yx3 = 4(-5)x2x3y4y = -20x5y5

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Например коэффициент одночлена -7x2y2 равен -7. Коэффициенты одночленов x3 и -xy считают равными 1 и -1, так как x3 = 1x3 и -xy = -1xy

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных, то есть является числом, то его степень считают равной нулю.

Например степень одночлена 8x3yz2 равна 6, одночлена 6x равна 1, одночлена -10 равна 0.

Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень

При умножении одночленов и возведении одночленов в степень используется правило умножения степеней с одинаковым основанием и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.

Например

4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

((-5)x3y2)3 = (-5)3x3*3y2*3 = -125x9y6

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: интегрированный (с ИКТ), урок введения новых знаний.

Цели и задачи (алгебра): ввести понятие одночлена; степень одночлена; стандартный вид одночлена. Научить учащихся приводить одночлены к стандартному виду. Продолжить формирование навыков выполнения действий со степенями. Совершенствовать вычислительные навыки учащихся. Развивать внимательность, аккуратность.

Цели и задачи (ИКТ): научить использовать в практической деятельности встроенный редактор формул в MS Office Word; развивать навык самостоятельной работы.

Материалы, используемые на уроке: презентация, компьютерный класс с установленным пакетом MS Office (Word), опорный конспект практической работы, карточки с заданием для самостоятельной работы, мультимедиа установка.

Ход урока

I. Организационный момент .

Приветствие учащихся.

II. Устные упражнения.

(слайд на экране2).

Представить в виде степени: y 3 *y 2 ; (y 3) 5 ; y 7 *y 3 ; (y 7) 4 ; а 10 /а 8 .
Каким числом (положительным или отрицательным) является значение выражения: (-8) 10 ; (-5) 27 ; 7 5 ; -2 8 ; -(-1) 7 .
Вычислите: (3*2) 2 -3*2 2 ; (-3) 8 /3 7 .

III. Изучение нового материала.

Сообщение темы урока и целей и задач урока (слайд 3,4).

6*x 2 *у; 2*x 3 ; mn 7 ; ab; -8 (слайд 5)

Прочитайте выражения, записанные на доске.
Что собой представляют эти выражения?

Выражения такого вида называются одночленами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Одночлен – это произведение чисел и переменных, степеней переменных либо число, переменная, степень переменной.

Посмотрите внимательно на экран (слайд 7). Какие из следующих выражений являются одночленами? Почему?

IV. Закрепление нового материала.

№463 – самостоятельно. Проверка фронтальная. (Слайд 8).

V. Изучение нового материала.

Пусть у меня есть одночлены

2х 2 у*9y 2 и 8х*9ху (слайд 9)

Воспользуемся переместительным и сочетательным законами умножения. Получим:

2*9*х 2 *у*y 2 =18х 2 y 3 и 8*9*х*х*у=72х 2 у.

Что мы получили?
Что собой представляет?

Мы представили одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте и степеней различных переменных. Такой вид одночлена называется стандартным видом.

Какой же одночлен называется одночленом стандартного вида?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: одночлен называется одночленом стандартного вида, если имеет 1 числовой множитель, стоящий на первом месте (коэффициент), произведение одинаковых переменных в нем записано в виде степени.

Прочитайте те одночлены, которые записаны в стандартном виде. Назовите их коэффициенты.

VI. Закрепление нового материала.

№464 – устно, №465 – под руководством учителя.

VII. Задание, выполняемое на компьютере (практическая работа).

Программа MS Word. Встроенный редактор формул. Использование встроенного редактора формул для записи одночленов. Файл «Стандартный вид одночлена» на рабочем столе. Заполните подготовленную таблицу, используя встроенный редактор формул.

Заполните таблицу. (Слайд 15)

Проверка – на экране (слайд 16) и сохраненные файлы учащихся.

VIII. Изучение нового материала.

Что записано на доске?
Назовите показатель степени переменной Х?
Назовите показатель степени переменной Y?
Найдите сумму показателей степеней. Это число называется степенью одночлена.

На странице 84 учебника найдите определение степени одночлена. Прочитайте его.

IX. Закрепление нового материала .

№ 473 – устно;

№ 467(а; г) – комментировано у доски.

X. Самостоятельная работа .

На экране по вариантам (слайд 19). (У каждого учащегося на парте листок с заданием для выполнения работы – Приложение 2 )

Проверка – самопроверка с записью (на экране слайд 20).

XI. Подведение итогов.

Что же такое одночлен?
Одночлен, какого вида называют стандартным одночленом?
Что называется степенью одночлена?

XII. Домашнее задание.

П.19, №466, 468, 476, 470.

Спасибо за урок! (слайд 23)

Список использованной литературы:

Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2007.

Понятие одночлена

Определение одночлена: одночлен - это алгебраическое выражение, в котором используется только умножение.

Стандартный вид одночлена

Что такое стандартный вид одночлена? Одночлен записан в стандартном виде, если в нём на первом месте стоит числовой множитель и этот множитель, его называют коэффициентом одночлена, только один в одночлене, буквы одночлена расположены в алфавитном порядке и каждая буква встречается только один раз.

Пример одночлена в стандартном виде:

здесь на первом месте число, коэффициент одночлена, и это число только одно в нашем одночлене, каждая буква встречается только один раз и буквы расположены в алфавитном порядке, в данном случае это латинский алфавит.

Ещё пример одночлена в стандартном виде:

каждая буква встречается лишь однажды, расположены они в латинском алфавитном порядке, но где коэффициент одночлена, т.е. числовой множитель, который должен стоять на первом месте? Он здесь равен единице: 1adm.

Коэффициент одночлена может быть отрицательным? Да, может, пример: -5a.

Коэффициент одночлена может быть дробным? Да, может, пример: 5,2a.

Если одночлен состоит только из числа, т.е. не имеет букв, как привести его к стандартному виду? Любой одночлен, представляющий собой число, уже находится в стандартном виде, пример: число 5 - это одночлен стандартного вида.

Приведение одночленов к стандартному виду

Как привести одночлен к стандартному виду? Рассмотрим примеры.

Пусть дан одночлен 2a4b, нужно привести его к стандартному виду. Перемножаем два его числовых множителя и получаем 8ab. Теперь одночлен записан в стандартном виде, т.е. имеет только один числовой множитель, записанный на первом месте, каждая бува в одночлене встречается только один раз и расположены эти буквы в алфавитном порядке. Итак, 2a4b = 8ab.

Дано: одночлен 2a4a, привести одночлен к стандартному виду. Перемножаем числа 2 и 4, произведение aa заменяем второй степенью a 2 . Получаем: 8a 2 . Это стандартный вид данного одночлена. Итак, 2a4a = 8a 2 .

Подобные одночлены

Что такое подобные одночлены? Если одночлены различаются только лишь коэффициентами или равны, то они называются подобными.

Пример подобных одночленов: 5a и 2a. Эти одночлены различаются только коэффициентами, значит они подобны.

Подобны ли одночлены 5abc и 10cba? Приведем к стандартному виду второй одночлен, получим 10abc. Теперь видно, что одночлены 5abc и 10abc отличаются только своими коэффициентами, а это означает, что они подобны.

Сложение одночленов

Чему равна сумма одночленов? Суммировать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример сложения одночленов. Чему равна сумма одночленов 5a и 2a? Суммой этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен сумме коэффициентов слагаемых. Итак, сумма одночленов равна 5a + 2a = 7a.

Ещё примеры сложения одночленов:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Ещё раз. Складывать можно только подобные одночлены, сложение сводится к сложению их коэффициентов.

Вычитание одночленов

Чему равна разность одночленов? Вычитать мы можем только подобные одночлены. Рассмотрим пример вычитания одночленов. Чему равна разность одночленов 5a и 2a? Разностью этих одночленов будет одночлен, подобный им, коэффициент которого равен разности коэффициентов данных одночленов. Итак, разность одночленов равна 5a - 2a = 3a.

Ещё примеры вычитания одночленов:

10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Умножение одночленов

Чему равно произведение одночленов? Рассмотрим пример:

т.е. произведение одночленов равно одночлену, множители которого составлены из множителей исходных одночленов.

Ещё пример:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Как получился такой результат? В каждом сомножителе имеется «а» в степени: в первом - «а» в степени 2, а во втором - «а» в степени 5. Значит в произведении будет «а» в степени 7, ведь при умножении одинаковых букв показатели их степеней складываются:

A 2 * a 5 = a 7 .

Это же относится и к сомножителю «b».

Коэффициент первого сомножителя равен двум, а второго - одному, поэтому получаем в результате 2 * 1 = 2.

Вот так посчитался результат 2a 7 b 12 .

Из этих примеров видно, что коэффициенты одночленов перемножаются, а одинаковые буквы заменяются суммами их степеней в произведении.

Степень одночлена

Для одночлена существует понятие его степени. Разберемся, что это такое.

Определение.

Степень одночлена стандартного вида – это сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его запись; если в записи одночлена нет переменных, и он отличен от нуля, то его степень считается равной нулю; число нуль считается одночленом, степень которого не определена.

Определение степени одночлена позволяет привести примеры. Степень одночлена a равна единице, так как a это есть a 1 . Степень одночлена 5 есть нуль, так как он отличен от нуля, и его запись не содержит переменных. А произведение 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 является одночленом восьмой степени, так как сумма показателей степеней всех переменных a , x и y равна 2+1+3+2=8 .

Кстати, степень одночлена, записанного не в стандартном виде, равна степени соответствующего одночлена стандартного вида. Для иллюстрации сказанного вычислим степень одночлена 3·x 2 ·y 3 ·x·(−2)·x 5 ·y . Этот одночлен в стандартном виде имеет вид −6·x 8 ·y 4 , его степень равна 8+4=12 . Таким образом, степень исходного одночлена равна 12 .

Коэффициент одночлена

Одночлен в стандартном виде, имеющий в своей записи хотя бы одну переменную, представляет собой произведение с единственным числовым множителем – числовым коэффициентом . Этот коэффициент называют коэффициентом одночлена. Оформим приведенные рассуждения в виде определения.

Определение.

Коэффициент одночлена – это числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде.

Теперь можно привести примеры коэффициентов различных одночленов. Число 5 – это коэффициент одночлена 5·a 3 по определению, аналогично одночлен (−2,3)·x·y·z имеет коэффициент −2,3 .

Отдельного внимания заслуживают коэффициенты одночленов, равные 1 и −1 . Дело здесь в том, что они обычно не присутствуют в записи в явном виде. Считают, что коэффициент одночленов стандартного вида, не имеющих в своей записи числового множителя, равен единице. Например, одночлены a , x·z 3 , a·t·x и т.п. имеют коэффициент 1 , так как a можно рассматривать как 1·a , x·z 3 – как 1·x·z 3 и т.п.

Аналогично, коэффициентом одночленов, записи которых в стандартном виде не имеют числового множителя и начинаются со знака минус, считают минус единицу. К примеру, одночлены −x , −x 3 ·y·z 3 и т.п. имеют коэффициент −1 , так как −x=(−1)·x , −x 3 ·y·z 3 =(−1)·x 3 ·y·z 3 и т.п.

К слову, понятие коэффициента одночлена зачастую относят и к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов-чисел считают эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 7 считают равным 7 .

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.